Brüche im Unärsystem

[black]

Im Unärsystem gibt es nur ein Zahlensymbol. Dies sei |. Es gelte:

dezimal unär
  0 
  1      | 
  2      || 
  3      ||| 
  4      ||||

usw.

Nun kann man wie im Dezimalsystem auch Brüche schreiben:

dezimal unär
1/4    |/||||

Aber wie kann man diese Brüche in Kommaschreibweise notieren?

dezimal unär
 0,25    

[Friedel]

Dein "Unärsystem" ist kein Zahlensstem im Sinne des Binär-, Oktal-, Dezimal- oder Hexadezimalsystems. Ein Unänsystem im Sinne anderer Zahlensysteme würde nur die Ziffer 0 kennen. Wenn du ein System völlig neu erfindest, in dem alle Notationsregeln neu erfunden sind, kannst du auch die Schreibweise für Kommazahlen erfinden. Aber uns dann ohne Hinweise raten zu lassen, was du erfunden hast, halte ich für zumindest etwas merkwürdig. Die Kommazahlen im Dezimalsystem, aus dem du den Wert 0,25 hast, nennt man eigentlich Dezimalbrüche. Da aber eine Division durch 1 und durch Potenzen davon ändern am Wert nichts. Also kann man auch hier kein System anwenden, dass analog zum Dezimalsystem funktioniert.

[black]

Dein "Unärsystem" ist kein Zahlensstem im Sinne des Binär-, Oktal-, Dezimal- oder Hexadezimalsystems.

Falls du ein Stellenwertsystem meinst, magst du Recht haben.

Ein Unänsystem im Sinne anderer Zahlensysteme würde nur die Ziffer 0 kennen. Wenn du ein System völlig neu erfindest, in dem alle Notationsregeln neu erfunden sind, kannst du auch die Schreibweise für Kommazahlen erfinden. Aber uns dann ohne Hinweise raten zu lassen, was du erfunden hast, halte ich für zumindest etwas merkwürdig.

Das Unärsystem hab ich ja nicht neu erfunden. Es gibt genau 1 Symbol und bei der Darstellung Natürlicher Zahlen gilt Zahlenwert=Anzahl der Symbole (alle gleich).
Ob du dieses Symbol nun als 0 oder | oder schreiben willst, ist doch, solange es vorher geklärt ist, belanglos. Da das Unärsystem bei Strichlisten
üblich ist, hatte ich mich für | entschieden.

Ob es schon Notationsregeln für Kommazahlen im Unärsystem gibt, weiß ich nicht.
Meine Frage lautete jedenfalls nicht "Wie würde ich es machen?", sondern "Wie kann man diese Brüche in Kommaschreibweise notieren?".

Dass man anderen dann im Vorfeld die Notation erklären müsste, ist genauso klar, wie der Umstand dass es unendlich viele Notationsmöglichkeiten gibt.

Nenne mir eine davon, die für alle sinnvollen Brüche in Kommaschreibweise funktioniert, und ich hake das Rätsel ab.

Die Kommazahlen im Dezimalsystem, aus dem du den Wert 0,25 hast, nennt man eigentlich Dezimalbrüche. Da aber eine Division durch 1 und durch Potenzen davon ändern am Wert nichts. Also kann man auch hier kein System anwenden, dass analog zum Dezimalsystem funktioniert.

Darauf gehe ich mal noch nicht ein, um keinen Tipp zu geben.

[Otmar]

Hi Black,

also bischen komisch wird das schon, weil es so viele Möglichkeiten gibt Aber Spass macht es auf jeden Fall, über sowas nachzudenken

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Also mein Ansatz:

nach dem Komma wird eine rationale Zahl R mit 0 <= R < 1 dargestellt. Um R anzugeben, haben wir nur natürliche Zahlen, die im Unärsystem angegeben werden. Für den Sonderfall R=0 schreiben wir nach dem Komma einfach nichts.

Also 3,0 (dez) = III, (unär)

Jetzt gibt es den günstigen Umstand, das rationale Zahlen im Intervall (0,1) abzählbar sind, also auch nicht mehr sind, als wir natürliche Zahlen haben. D.h. wir machen uns eine Zählvorschrift für die rationalen Zahlen 0 < R < 1 und geben die Nummer im Unärsystem nach dem Komma an.

Normalerweise macht man da so eine Dreiecksmatrix in der Zeilen und Spalten jeweils Nenner und Zähler eines Bruches sind und numeriert diagonal durch, wobei Brüche weggelassen werden, die man schon hatte, das sind solche die man kürzen kann. Hier der Anfang meiner Nummerierung:

.    1   2   3   4   
     ---------------
1|  
2|   1   
3|   2   4  
4|   3   ü   8 
5|   5   7  10   . 
6|   6   ü   .   .
7|   9   .   .   .

Ein ü steht, wenn übersprungen wird, z.B in Zeile 6 und Spalte 2, weil 2/6 = 1/3 schon vorkam. Ansonsten wird jede Diagonale von links unten nach rechts bis vor ihre Mitte durchnummeriert, wobei mit der obersten Diagonale begonnen wird. D.h. für alle Brüche R mit 0 < R < 1 gibt es eine eindeutige Nummer, denn man braucht ja nur R = p/q darstellen wobei 0 < p < q gilt, da sonst R nicht im gesuchten Intervall liegt und dann aus der Matrix die Nummer aus Zeile q und Spalte p nehmen. Umgekehrt gibt es für jede Nummer einen eindeutigen Bruch, da ja gleiche Brüche übersprungen wurden, also keine 2 Nummern ein gleiches R bezeichnen, sonst hätten wir manchmal mehrere Scheibweisen für gleiche Zahlen, was eigentlich nicht üblich ist.

Beispielsweise wäre 1/4 die Nummer 3 und damit 0,25(dez) = ,III(unär).

Mal sehn, was aus meiner Strichliste wird, wenn ich morgen I,I Kaffe trinke. Natürlich muss noch einen Link zu dieser Antwort mit rein.

Gruß Otmar

[black]

@Otmar:

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Cantor wäre stolz auf dich.

Man benötigt kein Periodensymbol und erbt auch nicht so stark vom Dezimalsystem wie bei meiner Lösung.

Leider ist auch deine Lsg. zum Rechnen eher ungeeignet.
Das scheint mir aber am Zahlensystem zu liegen.

==> Man soll nicht an der Basis sparen. Mit Basis >=2 wird vieles angenehmer.

Meine Lsg.:

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Man kehrt in der Dezimaldarstellung die Reihenfolge der Nachkommastellen um und wandelt die so entstandene Zahl ins Unärsystem

0,25 (dez.) ==> umgekehrter Nachkommateil: 52 ==> ,|||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| || (unär)

(Leerzeichen dienen nur der besseren Lesbarkeit.)

Bei periodischen Dezimalbrüchen nutzt man die übliche Perodenschreibweise und behandelt den nicht- und den Periodischen Teil getrennt:
(Ich unterstreiche hier mal, da überstreichen hier nicht möglich ist.)

0,213 (dez.) ==> ,|||||||||| || ||| (unär)

Natürlich darf man die Periode nicht auf 0 enden lassen:
Statt 0,10 (dez.) würde man also 0,101 (dez.) umwandeln.

[Otmar]

Hi black,

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Deine Lösung hat auch Charm. Zuerst habe ich vergeblich mit dem Dezimalsystem probiert, bin nicht auf das Umdrehen der Ziffernreihenfolge gekommen und hatte dann das Problem mit den führenden Nullen. Wie du das wieder gemacht hast

Bei meiner Lösung ist mir heute noch eingefallen, das es gar nicht nötig gewesen wäre, diagonal zu nummerieren. Das braucht man nur, wenn man alle positiven rationalen Zahlen zählen will. In unserm Fall könnte man auch einfacher zeilenweise durchzählen, da ja jede Zeile nur endlich viele Spalten hat.

Mir fällt gerade eine Anwendung unärer Kommazahlen ein. In Bayern kann man oft bei der letzten Runde Bier auch "Schnitt" bestellen. So ein Schnitt wird nur zur Hälfte bezahlt. Wenn die Runde auf mich geht, könnte ich bei 3 Schnitt meine Strichliste um I,I (unär, otmar) oder um I,IIIII (unär, black) erweiten. Wobei die "black" Notation ein gößeres Risiko fürs Bezahlen birgt, sollte die Bedienung wohlwollend das Komma übersehen.

Gruß Otmar

[black]

Mir fällt gerade eine Anwendung unärer Kommazahlen ein. In Bayern kann man oft bei der letzten Runde Bier auch "Schnitt" bestellen. So ein Schnitt wird nur zur Hälfte bezahlt. Wenn die Runde auf mich geht, könnte ich bei 3 Schnitt meine Strichliste um I,I ... erweiten.

Jede neue Technik schafft sich ihre Anwendungsgebiete.
Jetzt ist es an dir, diese Anwendung durchzusetzen.