Acht Geburtstage

[Otmar]

In einer achtköpfigen Familie werden in acht verschiedenen Monaten Geburtstage gefeiert, wobei der Geburtstag von einem der Familienmitglieder nicht in jedem Jahr im Kalender zu finden ist. Die Tageszahlen werden innerhalb eines Jahres kleiner, solange es sich nicht um den Monatsersten handelt. Vermindert man das Produkt der acht Tageszahlen um Eins, erhält man das Produkt der acht Monatszahlen.

Wann werden die Geburtstage gefeiert?

Erklärung:
Die Tageszahl (1...31) sei der Tag innerhalb des Monats und die Monatszahl (1..12) der Monat des Geburtstages.

Das Produkt der Tageszahlen ist nicht durch die Zahlen der Monate, in denen keine der acht Geburtstage liegen, teilbar.

[Neuling]

Die Tageszahlen werden innerhalb eines Jahres kleiner, solange es sich nicht um den Monatsersten handelt.

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Das kann bedeuten:
1. Nach einem 1. sind alle weiteren Geburtstage auch an einem 1.
2. Nach einem 1. kann ein nächster Geburtstag auch wieder größer sein.

Auf den ersten Blick könnten damit einige Geburtstage nicht eindeutig sein, wenn mindestens zwei Geburtstage auf einen 1. fallen.
Einzige Ausnahme: Es muss innerhalb des Jahres einen Geburtstag an einem 31. geben, dann müsste davor einer am 1. Geburtstag haben und das dürfte sich nur an einer Stelle realisieren lassen.

Es kann sein, dass das alles irrelevant ist. Nämlich dann, wenn in meinen bisherigen Überlegungen ein Denkfehler ist.
Bin an einer Stelle angelangt, die besagt, dass die Geburts-Tage nur an folgenden Tagen sein können: 1, 13, 17, 19, 23, 29, 31
Da das nur 7 verschiedene Tage sind, muss also mindestens eine 1 doppelt sein.

[Otmar]

Die Tageszahlen werden innerhalb eines Jahres kleiner, solange es sich nicht um den Monatsersten handelt.

Das hatte ich so gemeint, dass für den ersten Geburtstag im Jahr die Tageszahl beliebig sein darf und jede weitere kleiner als die vorhergehende, es sei denn es ist der Monatserste. Also wäre eine Tageszahl z.B. 7, dann muss die vorhergehende größer als 7 sein. Ist eine Tageszahl hingegen 1, dann muss die vorhergehende nicht größer als 1 sein, kann also auch 1 sein. Einfacher ausgedrückt, die Tageszahlen werden so lange kleiner, bis eine Tageszahl 1 ist. Alle weiteren Tageszahlen müssen dann auch 1 sein. z.B. 26, 25, 3, 1, 1, 1, 1, 1 wären eine mögliche Folge von Tageszahlen.

[Neuling]

Nach systematischer Suche, war der

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60. Versuch (von 210 möglichen) ein Treffer!

31.1. - 29.2. - 23.4. - 13.5. - 1.7. - 1.8. - 1.10. - 1.12.

31 * 29 * 23 * 13 * 1 * 1 * 1 * 1 = 268801
1 * 2 * 4 * 5 * 7 * 8 * 10 * 12 = 268800

268801 ist nicht durch 3, 6, 9, 11 teilbar.

[Neuling]

Warum einfach, wenn's umständlich auch geht!

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Inzwischen ist mir klar, dass die Suche über die Tage schneller zum Erfolg geführt hätte, als die Suche über die Monate.

Bei den Monaten war sicher, dass Januar und Februar dabei sein müssen. Blieben noch 6 aus 10, also 210 Möglichkeiten für den Rest. Da ich mit der 60. Überprüfung eine Lösung gefunden hatte, habe ich nicht weiter gesucht und kann daher auch nicht sagen, ob es weitere Lösungen gibt.

Bei den Tagen kann man alle geraden, alle durch 3 teilbaren, die 5, 7, 11 und die 25 ausschließen. Dass die 29 und mit Januar die 31 drin sein müssen, ergibt sich auch schnell. Bleiben noch 13, 17, 19, 23. Die können entweder alle drin sein (1 Möglichkeit) oder drei davon (4 Möglichkeiten) oder zwei davon (6 Möglichkeiten) oder eine davon (4 Möglichkeiten) oder gar keine davon (1 Möglichkeit). Damit reichen 16 Überprüfungen aus, um eine Lösung zu finden und gleichzeitig sicher zu wissen, ob es weitere Lösungen gibt.

@ Otmar
Ich hatte anfänglich vermutet, dass in der Aufeinanderfolge der Tage, auch so etwas wie
(31, 29, 1, 31, 29, 1, 29, 1) oder ähnliches dabei sein könnte. (Abfallende Folge ja, aber immer nur bis zur 1 und danach ...?)

War Ist eine interessante Aufgabe!

[Otmar]

@Neuling und für die gefundene Lösung. Und für die positive Rückmeldung.

Da ich heute vorzeitig aus dem Wireless LAN verschwinden muss und mein Smartphone zu Bruch ging, muss ich mich ausnahmsweise etwas vor der Spoilerendzeit melden, weil ich sonst erst am Dienstag wieder online bin.

Meine Lösung:

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Der 29.2. muss ein Geburtstag sein, da das das einzige Datum ist, welches nicht jedes Jahr im Kalender steht. Da jede Zahl durch die Monatszahl 1 teilbar ist, muss auch im Januar ein Geburtstag liegen, weil sonst der Tipp falsch wäre.

Das Produkt der Tageszahlen ist durch keine der Zahlen 2 bis 12 teilbar, denn eine Zahl von 2 bis 12 ist entweder eine Monatszahl, in der kein Geburtstag liegt, oder in der ein Geburtstag liegt. Im ersten Fall zieht der Tipp. Zweiter Fall: Angenommen im Monat m >= 2 liegt ein Geburtstag, dann ist das Produkt der Tageszahlen ein Vielfaches von m zu dem noch die Zahl 1 addiert wird. D.h. das Produkt der Tageszahlen lässt bei Division durch m den Rest 1, ist also nicht durch m teilbar.

D.h. das Produkt der Tageszahlen ist nicht durch Primzahlen kleiner als 13 teilbar. Es ist auch nicht durch Primzahlen größer als 31 teilbar, da so eine Primzahl größer als eine Tageszahl ist. Da kein Produkt aus Primzahlen zwischen 13 und 31 kleiner oder gleich 31 ist, sind die Tageszahlen entweder Primzahlen von 13 bis 31 oder 1. Wegen der fallenden Tageszahlen ist also der 31.1. auch ein Geburtstag.

Sei P das Produkt der Geburtstage Nummer 3 bis Nummer 8, dann gilt:

1*2*3*4*5*6*7*8+1 <= 31*29*P <= 1*2*7*8*9*10*11*12 oder nach Division durch 31*29 und Rundung
45 <= P <= 1480

und daraus folgt, dass P nur das Produkt aus genau zwei der vier Primzahlen 13, 17, 19 und 23 sein kann. Die letzten vier Geburtstage fallen auf den Monatsersten.

Untersucht man die verbliebenen sechs Möglichen Produkte der Monatszahlen (Produklte der Tageszahlen um eins vermindert)
a=31*29*23*19*1*1*1*1-1
b=31*29*23*17*1*1*1*1-1
c=31*29*23*13*1*1*1*1-1
d=31*29*19*17*1*1*1*1-1
e=31*29*19*13*1*1*1*1-1
f=31*29*17*13*1*1*1*1-1
auf Teilbarkeit durch 2, 3, 5, 7 und 11 findet man, dass sich nur c als Produkt von Primzahlen kleiner als 12 darstellen lässt.
c=2^9 * 3 * 5^2 * 7
Für c erhält man nur eine Produktdarstellung aus genau acht Monatszahlen: c=1*2*4*5*7*8*10*12 und daraus die gesuchten Geburtstage:
31.1. - 29.2. - 23.4. - 13.5. - 1.7. - 1.8. - 1.10. - 1.12.

Die gefundenen Monats- und Tageszahlen sind auch die einzigen, die für die maximalen Anzahl von Geburtstagen in verschiedenen Monaten ausschließlich mit der einen Eigenschaft, dass das Produkt der Tageszahlen um 1 größer ist als das Produkt der Monatszahlen, möglich sind. Die weiteren Angaben hatte ich zugefügt, so dass (jedenfalls für mich) eine Lösung in "Handarbeit" möglich wurde.