4 chinesische Dörfer

[Cujo]

In der chinesischen Provinz Guangdong wurden wegen eines neuen Staudammprojekts 4 Dörfer geräumt und an anderer Stelle neu aufgebaut. Die 4 neuen Dörfer wurden so gebaut, dass sie die Ecken eines Quadrats bilden.

Jetzt sollen die 4 Dörfer noch durch Straßen miteinander verbunden werden. Die 3 chinesischen Stararchitekten Chang, Huang und Liang reichen dafür ihre Entwürfe ein. Um Geld zu sparen entscheidet sich die chinesische Regierung für den Entwurf von Liang, da bei dessen Entwurf die Straßen am kürzesten sind.

4-chinesische-doerfer.png (7.47 KiB) 1737-mal betrachtet

Sie wollen gerade Liang mit der Umsetzung seines Plans beauftragen, als sich plötzlich Yang, der 10-jährige Sohn des Regierungschefs, der zufällig bei der Sitzung anwesend war, meldet und meint, dass er eine Variante wüsste, bei der die Straßen noch etwas kürzer wären.

Habt ihr eine Idee, wie die Variante von Yang aussehen könnte?

[Otmar]

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Hab gerade wenig Zeit, aber wenn Liangs Lösung waagerecht in der Mitte aufgeschitten wird und die vorhandenen Straßen nach oben bzw. unten geschoben werden und in der Mitte durch eine kleine fünfte Straße verbunden werden, dann wird es kürzer. Sind also 5 Strecken die so aussehen wie zwei Y wobei eins gespiegelt an das andere angefügt wird.

[Neuling]

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Ja, es gibt ein kürzeres Straßennetz. So, wie in der Abbildung die rote und die blauen Linien.
Ich kann es nur nicht optimieren, habe es aber mal berechnet für rote Strecke = 1/3 der Länge der Quadratseite.
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, erhalte ich den Faktor (1/3 + 2/3 * √13) ≈ 2,737 statt 2 * √2 ≈ 2,828

Skizze Straßennetz.png (2.25 KiB) 1720-mal betrachtet

[Otmar]

Hab inzwischen Zeit für eine kleine Skizze und Begründung gefunden:

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doerfer.png (11.47 KiB) 1718-mal betrachtet

Vielleicht hat Yang mit seinen 10 Jahren ein gutes Augenmaß, so dass er der grünen Straßenführung im linken Bild die kürzere Länge angesehen hatte. Oder er hat gut nachgedacht? Denn die Lösung von Liang ist ein Spezielfall der grünen Yang Struktur, bei der die mittlere senkrechte Straße auf einen Punkt zusammenschrumpft. Nun hat sich Yang auch gefragt, wir lang die Straßen sein müssen oder in welchem Winkel sie aufeinandertreffen. Dazu hat er für seinen ersten Versuch rechts links Symmetrie angenommen und die mittlere Straße etwas zu lang gewählt. Im mittleren Bild sind die Straßen in der Nähe des Treffpunktes vergrößert grün eingetragen. Nun stellt er sich einen kleinen Kreis vor, auf dem 3 blaue Punkte in jeweils gleichem Abstand liegen. Den Kreis verschiebt er so, dass die drei Punkte auf den drei Straßen liegen. Im rechten Bild stellt er fest, dass es eine kürzere Straßenführung gibt, wenn sich die 3 grünen Straßen nicht im Winkel von 120° treffen, denn dann kann er ab den blauen Punkten die roten Straßen zeichnen, die sich im Mittelpunkt des kleinen Kreises treffen und innerhalb des Kreises eine kürzere Gesamtstecke haben, als die grünen Straßen im Kreis im mittleren Bild. Außerhalb des Kreises bleibt alles gleich. Ergo müssen sich für ein Optimum die grünen Straßen im Winkel von 120° treffen. Diese Information gibt er ins Rechenzentrum und erhält eine Straßenlänge von 1+Wurzel(3) = 2,732... der Kantenlänge des Quadrates. Liang hatte hingegen ein Straßenlänge geplant die 2*Wurzel(2)=2,828... der Kantenlänge des Quadrates betrug.

[Neuling]

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Ich habe auch noch mal ein bisschen gerechnet und mich der "optimalen" Lösung ein ganz klein wenig genähert (falls ich mit meinen Überlegungen nicht völlig auf dem Holzweg bin).
Nimmt man für die rote Strecke 42/100 der Länge der Quadratseite, so erhält man einen Faktor ≈ 2,732055

Mein Problem, ich kann aus meinem Ansatz nicht das Minimum bestimmen. Entweder habe ich da gerade gefehlt, als das im Matheunterricht dran war oder ich habe es schlicht vergessen - Herr Alzheimer lässt grüßen!

Mein Ansatz lautet:
4 * Wurzel aus [(1/2)² + x²)] + (1 - 2*x) = y = Minimum

[Neuling]

Kleine Ergänzung zu meinen Ausführungen

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In meinem Ansatz sind die 4 blauen Linien als Hypotenusen von rechtwinkligen Dreiecken mit den beiden
Katheten 1/2 und x enthalten. Die rote Strecke beträgt dann 1 - 2x (ausgehend von einem Einheitsquadrat)

Skizze Straßennetz Minimierung.png (3.4 KiB) 1716-mal betrachtet

Das gesamte Straßennetz hat dann eine Länge von y = 4 * Wurzel aus [(1/2)² + x²)] + (1 - 2*x)
Für x = 29/100 habe ich "mein" Minimum gefunden (28/100 und 30/100 liefern bereits wieder größere Werte für y)

[Otmar]

Hallo Neuling,

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wenn man deinen Ausdruck bei Wolfram Alpha eingibt, dann erhält man:

wolfram alpha.png (28.17 KiB) 1716-mal betrachtet

Dein Ausdruck liefert wie erwartet, das gleiche Ergebnis, wie bei mir.

[Cujo]

Also...eigentlich wollte ich ja nur eine zeichnerische Lösung. Aber Neuling und Otmar haben sich auch noch die Mühe gemacht, das Ganze rechnerisch zu lösen. Ich kann dazu nur sagen, dass sowohl die zeichnerischen als auch die rechnerischen Lösungen vollkommen richtig waren

Ich beschränke mich mal auf die zeichnerische Lösung.

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Die Diagonalen sollten einen Winkel von 120° haben. Ich habe das Pi mal Daumen gemacht, denke aber, dass es ungefähr hinhaut

4-chinesische-doerfer-loesung.png (5.06 KiB) 1701-mal betrachtet

[Otmar]

Hallo Cujo,
das ist ein sehr interessantes Rätsel. Ich hatte mich gerade gefragt, ob es auch eine exakte rechnerische Lösung von Neulings Gleichung gibt, die das Optimum nur mit elementarer Mathematik insbesondere ohne Verwendung von Differentialrechnung erlaubt. Ganz einfach ist es nicht, aber es geht:

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formeln.png (92.02 KiB) 1680-mal betrachtet

(1) ist Neulings Ansatz
(2) nochmal der Satz des Pythagoras mit der Hypotenuse c und den Katheten 1/2 und x
In (3) bis (9) wird Neulings Gleichung umgeformt. Das Ziel dabei ist, auf der linken Seite ein Ausdruck zu haben, der genau dann wächst, wenn y wächst und auf der rechten Seite eine Parabel, bei der man das Minimum ja kennt. Dabei wird (2) verwendet und die Variable x bzw. x/c über t nach z substituiert. In der rechten Gleichung von (5) wird die rechte Gleichung von (2) eingesetzt.
Danach geht man wieder rückwärts zu y und x zurück und erhält das gesuchte x für das y minimal ist.
Bei den Ungleichungen und dem Ausdruck mit y-1 im Nenner wird verwendet, das y > 1 ist, was man ja aus der Problemstellung ablesen kann.

[MadMac]

Aber klar doch. Das hab ich selber schon mal (woanders) (wieder-)veröffentlicht.

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2 Y, eins oben, eins unten auf dem Kopf. Alle Winkel zwischen den Straßen betragen 120°. Um die Straßenlänge zu berechnen müsste ich jetzt die Abstände der Dörfer zueinander wissen

Bei 100km ergeben sich ca. 273,2km (wenn mein Gedächtnis mich nicht täuscht) im Gegensatz zu 282,84 beim X.

Gruß,
MadMac