Zwei gekreuzte Leitern in einer Gasse Rätsel ist gelöst

Rätsel, die zum Lösen einen größeren Zeitaufwand erfordern, wie z. B. schwierige Physik- und Matherätsel.

Zwei gekreuzte Leitern in einer Gasse

Beitragvon Otmar » Donnerstag 3. Mai 2012, 23:21

Folgende Aufgabe ist ein mathematischer Klassiker:
Leitern in einer Gasse.png
Leitern in einer Gasse.png (7.71 KiB) 2419-mal betrachtet

Zwei Leitern der Länge a bzw. b stehen gekreuzt in einer Gasse. Der Kreuzungspunkt liegt in der Höhe h über dem Boden. Wie breit ist die Gasse?
Vorab, wenn a, b und h gegeben sind, ist die Aufgabe allgemein nur mit großem mathematischen Aufwand lösbar. Deshalb wird die Aufgabe oft mit speziellen Werten für a, b und h gestellt, die eine unterhaltsame rationale, oft ganzzahlige Lösung zulassen. Dadurch wird die Aufgabe wiederum relativ einfach und verliert an Charm.

Deshalb kommt sie hier und heute etwas anders:

Die Höhe h ist 1 Meter. Die lange Leiter a ist genau 5% länger als die kurze Leiter b. Die Strecken a, b und h können zu einem rechtwinkligen Dreieck zusammengelegt werden.

Gesucht ist die Breite x der Gasse mit elementaren algebraischen Mitteln. Am besten in einer geschlossenen Formel, in der nur Grundrechenarten +, -, *, /, Quadaratwurzeln, ganzzahlige Potenzen und ganze Zahlen vorkommen. Man soll x also mit einem einfachen Taschenrechner, der außer den Grundrechenarten nur Quadratwurzeln ziehen kann, ausrechnen können.

:spass:
Spoilersperre ist festgelegt - Spoiler sind geöffnet
Start: Donnerstag 3. Mai 2012, 23:21
Ende: Freitag 4. Mai 2012, 23:21
Aktuell: Freitag 29. März 2024, 13:33
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Zwei gekreuzte Leitern in einer Gasse

Beitragvon Phoenix » Freitag 4. Mai 2012, 19:37

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Alle Laengeneinheiten in Meter:
Otmar hat geschrieben:Die Höhe h ist 1 Meter. Die lange Leiter a ist genau 5% länger als die kurze Leiter b. Die Strecken a, b und h können zu einem rechtwinkligen Dreieck zusammengelegt werden.

h = 1
1.05*b = a
a^2 = b^2 + h^2
=> b^2 + 1 = 1.05^2*b^2
0.1025*b^2 = 1
b = sqrt(1/0.1025) = sqrt(400/41) = 20/sqrt(41)
a = 1.05*b = 21/sqrt(41)
Da ich bei dieser Loesungsidee mit Funktionen rechne, definiere ich das gesuchte x um zu z.
c = Hoehe, an der die Leiter a die Mauer beruehrt = sqrt(a^2 - z^2)
d = c fuer Leiter b = sqrt(b^2 - x^2)
Nun denke ich mir ein Koordinatensystem mit dem Ursprung links unten, da wo Leiter b auf dem Boden steht, und der Einheit Meter. Die Leitern erhalten folgende Funktionen:
f1(x)(Leiter a) = (1 - x/z)c
f2(x)(Leiter b) = d*x/z
Gleichgestellt und nach x aufgeloest:
x = cz/(c + d)
Eingesetzt in f2:
f2(cz/(c + d)) = cd/(c + d)
Nun wissen wir, dass dieser Funktionswert gleich der Hoehe h = 1 ist:
cd/(c + d) = 1
c = d/(d + 1)
Jetzt setzte ich fuer c und d die Werte von oben ein und quadriere die Wurzeln weg. Es bleibt (z wird wieder zu x):
-4x^6 + (8a - 2a^2 + 6b^2 - 2(ab)^2)x^4 + (2(ab)^2(a^2 + b^2) - 8ab^2 - 2(a^4 + b^4))x^2 - ((ab)^2 + a^2 - b^2)^2
Wenn ich v = x^2 definiere, habe ich eine kubische Gleichung. Ich habe mal Formeln fuer solche im Internet gesehen und will mir das nicht antun :) Meine geliebte Gleichungsloesungsfunktion des Taschenrechners sagt mir
  x = 1.9248...  
Trotz etlicher Moeglichkeiten, mich verrechnet zu haben, scheint mir die Loesung plausibel.
Natuerlich habe ich die letzte Bedingung nicht erfuellt:
Otmar hat geschrieben:Am besten in einer geschlossenen Formel, in der nur Grundrechenarten +, -, *, /, Quadaratwurzeln, ganzzahlige Potenzen und ganze Zahlen vorkommen. Man soll x also mit einem einfachen Taschenrechner, der außer den Grundrechenarten nur Quadratwurzeln ziehen kann, ausrechnen können.

Deshalb suche ich noch einen anderen Ansatz.
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Re: Zwei gekreuzte Leitern in einer Gasse

Beitragvon Otmar » Samstag 5. Mai 2012, 16:47

Hi Phoenix,
würde sagen, du stehst bereits mit einem Fuß in den Startlöchern, so dass das Raten bald losgehen kann.
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Phoenix hat geschrieben:cd/(c + d) = 1

Das ist die erste wichtige Relation. :super:

Phoenix hat geschrieben:Jetzt setzte ich fuer c und d die Werte von oben ein und quadriere die Wurzeln weg.

Sollte in eine Sackgasse führen, da du dann wieder beim allgemeinen Problem landest, und Nullstellen eines Polynoms in v = x^2 vierten Grades suchen musst. Da dabei Kubikwurzeln gebraucht werden, wird das wahrscheinlich nichts werden. Außerdem werden die Formeln riesig, so dass einem der Spass dabei vergehen kann. In deinem Polynom ist der Term mit x^8 entflohen und wenigsten einmal sah ich, dass eine Klammer um ab gefehlt hat. Damit ist die numerische Lösung noch nicht die gesuchte Breite. Aber warum sollte man sich nicht erstmal numerisch mit der Gasse anfreunden...


Phoenix hat geschrieben:Deshalb suche ich noch einen anderen Ansatz.


Genau, dazu sollte auch der zweite Fuß in ein Startloch
:tipp:
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Du kannst noch eine zweite Relation zwischen c und d finden. Dann hast du zwei Gleichungen für zwei Unbekannte und damit sehr schnell eine Gleichung für eine Unbekannte und mit etwas Glück kannst du dann noch eine Substitution finden, die das Rätsel knackt.
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Re: Zwei gekreuzte Leitern in einer Gasse

Beitragvon Otmar » Montag 7. Mai 2012, 18:22

Hi Phoenix,
jetzt hatte ich ganz vergessen:
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Phoenix hat geschrieben:b = 20/sqrt(41)
a = 21/sqrt(41)

stimmt natürlich auch, aber man braucht diese Beziehung erst ganz zum Schluss. Es reicht sogar eine von beiden. Die wesentlichen Berechnungen werden mit c und d gemacht.

:tipp:
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Die zweite Beziehung zwischen c und d erhält man aus 3 rechtwinkligen Dreiecken.
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Re: Zwei gekreuzte Leitern in einer Gasse

Beitragvon Phoenix » Dienstag 8. Mai 2012, 00:39

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Otmar hat geschrieben:Du kannst noch eine zweite Relation zwischen c und d finden.

Die habe ich gefunden:
Ich definiere x1 und x2 als die beiden Haelften der Gassenbreite x getrennt dort, wo der Schnittpunkt der zwei Leitern ueberm Boden ist, mit x1 als linke (in deiner Zeichnung, der Teil, der von Leiter b bedeckt wird) und x2 als rechte Seite, sowie e und f, wobei e der untere Teil der Leiter a bis zum Schnittpunkt ist und f der von Leiter b. Es gilt:
d/h = x/x1
c/h = x/x2
x1 = sqrt(f^2 - 1)
x2 = sqrt(e^2 - 1)
e/h = a/c
f/h = b/d
Alles miteinander vermurkst gibt mir:
c^2 = d^2 + 1
Das Problem ist jetzt nur, dass ich zusammen mit cd/(c + d) = 1 keine schoene Loesung finde, sondern wieder bei einem Polynom lande, welches jedoch sehr viel schoener ist als der vorherige:
d^4 - 2d^3 + d^2 - 2d + 1 = 0
Mein Taschenrechner sagt mir:
d = 1.8832...
und da wir wissen, dass
x = sqrt(b^2 - d^2) = 2.4919...
gilt, kann ich x ausrechnen...

Ich bleib dran!
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Re: Zwei gekreuzte Leitern in einer Gasse

Beitragvon Otmar » Dienstag 8. Mai 2012, 14:57

Hi Phoenix,
jetzt hast du den Start hintern dir und auch schon die halbe Strecke geschafft.

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Phoenix hat geschrieben:x = 2.4919...

Die numerisch Lösung ist korrekt!

und mit
Phoenix hat geschrieben:d^4 - 2d^3 + d^2 - 2d + 1 = 0
hast du auch auf das richtige Pferd gesetzt. Komischerweise hätte dir die Quartische Gleichung für c eine ähnliche, aber nicht so leicht zu vereinfachende Gleichung geliefert.
Da ich ab Samstag im Urlaub bin, kommt noch ein :tipp:
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Wenn man in
Phoenix hat geschrieben:d^4 - 2d^3 + d^2 - 2d + 1 = 0
durch d^2 dividiert, eine geeignete Substitution z = z(d) findet und einsetzt, entsteht eine quadratische Gleichung in z. Dazu ist es gut, nach der Wahl von z = z(d) vorm Einsetzen (z(d))^2 auszurechnen. Sonst sieht man vielleicht nicht, dass es funktioniert.
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Zwei gekreuzte Leitern in einer Gasse

Beitragvon Phoenix » Dienstag 8. Mai 2012, 23:26

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Das ist ja wirklich interessant, wie sehr man da herumtricksen kann!
d^4 - 2d^3 + d^2 - 2d + 1 = 0
Otmar hat geschrieben:Wenn man in
d^4 - 2d^3 + d^2 - 2d + 1 = 0
durch d^2 dividiert

d^2 - 2d + 1 - 2d^-1 + d^-2 = 0
und
... = (d + d^-1 -1)^2 -2 = 0
=> d^2 - (1 + sqrt(2))d + 1 = 0
Die pq-Formel gibt uns die beiden Loesungen fuer d 1.8832... und 0.531..., wobei die zweite fuer die Aufgabe wegfaellt, da c sonst negativ waere.
  x = sqrt(b^2 - d^2) = 2.4919... = sqrt(1600/41 - (1 + sqrt(2) + sqrt(2*sqrt(2) - 1))^2)/2  

(b = 20/sqrt(41))
Eine schoene Aufgabe, finde ich, obwohl du erwaehnt hast, dass sie nicht von dir kommt. Aber du hast a, b und h geschickt gewaehlt :icon_thumright:
Wenn ich mich nicht vertue, gilt generell:
c^2 - d^2 = (a^2 - b^2)/h^2
cd/(c + d) = h
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Re: Zwei gekreuzte Leitern in einer Gasse

Beitragvon Otmar » Mittwoch 9. Mai 2012, 06:52

Hi Phoenix,
da hast du sogar eine noch effizientere Substitution gefunden, als jene, die in der Standardlösongsmethode zur symmetrischen quartischen Gleichung verwendet wird! Und dafür solltest du noch einen Sonderpreis bekommen! :klatschen:
Auf jeden Fall hast du das Rätsel richtig gelöst und für eine "Harte Nuss" ging es verdammt schnell! :juchhu: :beifall:
Jetzt können wir die Gassenbreite aus einer Strecke mit Länge 1 Meter auch mit Zirkel und Lineal konstruieren, wobei die Euklidschen Werkzeuge wahrscheinlich etwas größer ausfallen müssen.

Deine Vermutung:
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Phoenix hat geschrieben:c^2 - d^2 = (a^2 - b^2)/h^2

gilt für h = 1. Ansonsten ist sie richtig, wenn du h weglässt.
Phoenix hat geschrieben:cd/(c + d) = h
stimmt. Oft schreibt man sie reziprok:
1/c + 1/d = 1/h und sagt, h ist das halbe harmonische Mittel von c und d.

Phoenix hat geschrieben:... obwohl du erwaehnt hast, dass sie nicht von dir kommt.

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Das stimmt, als mit jemand die Aufgabe gab - er konnte sie nicht lösen - hatte er mir keine Werte für a, b und h mitgegeben. Dann geht nichts an Ferrari und Cardano vorbei und man kann nur versuchen, die Rechnung im Rahmen zu lassen. Aber richtig schön ist das Ergebnis nicht. Bei dieser Rechnerei sind mir damals einige Sonderfälle aufgefallen, bei denen es eine "mit Zirkel und Lineal" Lösung gibt und eine besonders schöne hatte ich mir gemerkt, das war diese. So gestellt, also mit dem rechtwinkligen Zusatzdreieck, ist mir das Rätsel noch nicht über den Weg gelaufen, aber ich könnte wetten, dass man es irgendwo auch in dieser Form finden kann. Das Original ist aus einer amerikanischen Mathematikzeitschrift von 1894 und später durch Martin Gardner berühmt geworden. noch mehr...
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Re: Zwei gekreuzte Leitern in einer Gasse

Beitragvon Otmar » Donnerstag 10. Mai 2012, 22:11

Nachdem Phoenix gezeigt hat, wie man die Breite der Gasse mit Hilfe einer symmetrischen Gleichung vierten Grades bestimmt, habe ich noch eine andere Lösung, die eine Parameterdarstellung einer Hyperbel verwendet.
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Leitern in einer Gasse1.png
Leitern in einer Gasse1.png (113.44 KiB) 2329-mal betrachtet

Gleichung (1) erhält man nach Strahlensatz und (2) wenn man die letzte Gleichung in (1) durch x dividiert. In (3) benutzen wir, dass c > d ist und merken uns, dass 1/c beschränkt ist, was später in (15) benötigt wird.
Für die rechwinkligen Dreiecke ABD, ABC und EFG ist in (4) der Pythagoras aufgeschrieben und in (5) daraus die umrahmte Gleichung einer Hyperbel abgeleitet. In (6) und (7) ist für c und d eine Parameterdarstellung der Hyperbelkoordinaten c und d angegeben, von deren Gültigkeit man sich leicht überzeugen kann, wenn man (6) und (7) in die umrahmte Gleichung (5) einsetzt. Aus (2), (6) und (7) folgt nun (8) und nach Multiplikation mit sin(phi) (9). Wenn man beide Seiten von (9) quadriert, erhält man (10). In (10) wird y definiert, dass wegen (6) und (7) größer als Null sein muss und die quadratische Gleichung in y (11) liefert. Von(11) nehmen wir in (12) die größere der beiden Lösungen, da die kleinere Lösung von (11) ja negativ ist und damit für uns unbrauchbar wird.
In (13) wird y^2 wieder mit den Winkelfunktionen aus (10) geschrieben und die neue Variable z eingeführt. (14) folgt direkt aus (13) und in (15) setzen wir mit unserer vorbereiteten Abschätzung (3) eine obere Schranke für z. Diese obere Schranke ermöglicht für z die kleinere Lösung der Gleichung (14) auszuwählen, da die größere Lösung größer als ½ wäre und damit (15) verletzen würde. Wegen (6) und (13) ist das Quadrat von c ja der Reziprokwert von z, der in (17) notiert wurde. (18) erhält man aus (4) und nach Division durch a^2 und der Information dass a 5% länger ist als b wird (19) aufgeschrieben. (20) erhält man, wenn (19) nach a^2 umgestellt wird, womit wir nun alles zur Berechnung der Gassenbreite x mit Hilfe von (21) aus (4) zusammengesammelt haben, um im finalen Schritt aus (17), (20) und (21) die Gassenbreite (22) in eine Endformel zu packen.:schwitz:
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