Zwei Flugzeuge

[Cujo]

Zwei Flugzeuge starten zeitgleich vom Frankfurter Flughafen. Das eine fliegt eine Stunde lang genau nach Norden, das andere fliegt eine Stunde lang genau nach Osten.

Welches der beiden Flugzeuge ist nach einer Stunde weiter von Frankfurt entfernt und warum?

Es gelten die üblichen idealisierten Annahmen:

- die Flugzeuge fliegen exakt gleich hoch und gleich schnell

- die Flugzeuge und Frankfurt sind punktförmig

- es gibt keine Defekte oder dergleichen

- die Erde ist eine perfekte Kugel und dreht sich nicht

- es ist windstill, es herrscht konstanter Luftdruck

- die Schwerkraft ist überall gleich

- die Zeitzonen spielen keine Rolle

[Itsgallus]

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Ich hab zwar nicht wirklich Ahnung, aber ich tippe mal das das Flugzeug das nach Osten fliegt weiter entfernt ist, weil der Frankfurter Air port nicht über eine Startpan verfügt die nach Norden das starten erlaubt. Deshalb muss das Flugzeug das nach Norden will erst mal eine Schleife fliegen und kommt deshalb später von Frankfurt weg. Das Flugzeug was nach Osten startet, kann so durchstarten und hat somit den Vorteil, das es sofort von Frankfurt weg fliegt.

Als erstes hätt ich auch auf die Erdumdrehung getippt, die entfiel aber beim weiterlesen.

[Cujo]

Nee, damit hat es nichts zu tun. Es gibt eine physikalische Erklärung.

[Itsgallus]

Na dann rate ich auch mal hier........

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Also irgendwie hat das bestimmt was mit den Längen und Breitengraden zu tun. Ich glaube das das Flugzeug was nach Norden fliegt weiter weg ist. weil das den Längengrad abfliegt und das nach Osten fliegende fliegt die breitengrade ab. Auch wenn ich jetzt total falsch liege, haben wir auf jedenfall einen Lösungsvorschlag mehr.

[Cujo]

Auch wenn du es mir vielleicht nicht glaubst, aber deine Antwort ist richtig

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Da der Flughafen Frankfurt nicht auf dem Äquator liegt, fliegt das nach Osten fliegende Flugzeug keine gerade Linie, sondern folgt der Linkskurve des Breitengrades.

Stellt euch vor, der Flughafen wäre nur 1 km vom Nordpol entfernt, und die Flugzeuge "fliegen" mit 1 km/h. Dann ist das nach Norden fliegende am Nordpol, 1 km vom Flughafen entfernt. Das nach Osten fliegende beschreibt aber einen Bogen - es fliegt ja stets nach Osten - und ist nur etwa 959m entfernt. Nach etwa 6 Stunden wäre es sogar wieder am Flughafen, waehrend das andere Flugzeug das Problem haette, nicht mehr nach Norden fliegen zu koennen (da es ja schon am Nordpol ist).

[Itsgallus]

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Und ich hab gedacht jetzt mach ich mich zum Affen. Mit der Antwort.

[Otmar]

Die alten Rätsel sind die besten...

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Das Flugzeug nach Osten fliegt entlang eines Breitenkreises, dieser hat bei einer kugelförmigen Erde nur am Äquator den gleichen Durchmesser, wie der Längenkreis, auf dem das andere Flugzeug nach Norden fliegt. Sonst hat der Breitenkreis einen kleineren Durchmesser. Die Längen der Kreislinien sind zwar gleich, aber die Sehnen die das geflogenen Kreissegment innerhalb des Kreises begrenzen sind beim Flug nach Norden größer als beim Flug nach Osten. D.h. der Flieger nach Norden ist nach einer Stunde weiter weg.

[Friedel]

Die Aufgabe ist gar nicht eindeutig lösbar. Das lässt sich leicht zeigen.

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Sowohl in östlicher Richtung entlang des Breitenkreises, als auch in nördlicher Richtung entlang des Längenkreises, kommt das Flugzeug irgend wann wieder nach Frankfurt. Dann ist die Entfernung so klein, wie möglich. Da die Breiten- und Längenkreise durch Frankfurt unterschiedlichen Umfang haben, minimiert sich die Entfernung in unterschiedlichen Intervallen. Wenn ein Flugzeug wieder in Frankfurt ist, ist das andere weiter weg. Da wir nicht wissen, wie schnell die Flugzeuge fliegen, können wir nicht entscheiden, welches Flugzeug näher ist.

Natürlich steht meine Lösung im Widerspruch zu der von Otmar. Otmars Lösung ist imho auch korrekt, wenn man voraussetzt, dass die Flugzeuge langsam genug sind. Aber wie schnell müssten die Flugzeuge sein, damit Otmars Lösung nicht mehr gilt?

[Cujo]

Friedel, dein Einwand ist unberechtigt, wenn...

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man von der Geschwindigkeit ausgeht, zu der Flugzeuge momentan fähig sind. Kein Flugzeug schafft momentan eine Erdumrundung in weniger als einer Stunde. Also ist dein Einwand eher theoretischer Natur und zurzeit nicht praktikabel.

[Otmar]

@Friedel,

den Gedanken hatte ich auch durchgespielt mit dem Ergebnis,

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dass das nach Norden fliegende Flugzeug nach Erreichen des Nordpols nach Süden fliegen muss, was dem Rätseltext widerspricht. Für alle Flugstrecken, deren Fluglänge kleiner ist, als die Sektorlänge des Großkreises von Frankfurt zum Nordpol, gilt die obengenannte Lösung ganz unabhängig von den Geschwindigkeiten. Sie gilt auch dann, wenn "weiter weg" sich nicht auf die Sehne der Kreise bezieht, sondern auf die kürzeste Entfernung auf der Erdoberfläche, da diese streng monoton mit der Länge der Sehne wächst.