Ziegenproblem

[Cujo]

Bei einer Spielshow kann der Kandidat ein Auto gewinnen. Dem Spiel liegen die folgenden Regeln zugrunde.

1. Ein Auto und zwei Ziegen werden zufällig auf drei Tore verteilt.
2. Zu Beginn des Spiels sind alle Tore verschlossen, sodass Auto und Ziegen nicht sichtbar sind.
3. Der Kandidat wählt ein Tor aus, welches aber vorerst verschlossen bleibt.
4. Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, dann öffnet der Moderator zufällig eines der beiden anderen Tore.
5. Hat der Kandidat ein Tor mit einer Ziege gewählt, dann öffnet der Moderator dasjenige der beiden anderen Tore, hinter dem die zweite Ziege steht.
6. Der Moderator bietet dem Kandidaten an, seine Entscheidung zu überdenken und das andere ungeöffnete Tor zu wählen.
7. Das vom Kandidaten letztendlich gewählte Tor wird geöffnet und er erhält das Auto, falls es sich hinter diesem Tor befindet.

Diese Regeln sind dem Kandidaten bekannt. Wie soll er sich im vorletzten Schritt entscheiden, um seine Gewinnchance zu maximieren (mit Begründung)?

[Pauli]

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Die Gewinnchance ist in jedem Fall 50:50, egal wie er sich entscheidet, da ja sich das Auto ja in einem der 2 verbliebenen Tore befindet. (...und wehe das ist falsch )

[Cujo]

*Rüstunganzieh* *Leibwächtereinstell*

Tja, wenn die Antwort so einfach wäre, würde das Rätsel nicht bei Harte Nüsse stehen.

Ist also nicht richtig.

So, Pauli, ich bin bereit, komm her, wenn du dich traust

[kurth]

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Hallo Cujo!

Er muß wechseln.
Dann stehen die Chancen 2:1 daß er gewinnt.

Klar, zuerst hatte er eine Chance von 1/3 daß er das richtige Tor erwischt.
Für die beiden anderen Tore waren es 2/3.
Nachdem der Quizmaster freundlicherweise ein falsches Tor geöffnet hat,
ist aber natürlich die Chance von 2/3 für das andere Tor gleich geblieben!

Das ist ein Rätsel, wo lange Zeit schlaue Köpfe herumgestritten haben!

lg kurth

[Cujo]

Hallo Kurth, deine Antwort ist richtig. Und du hast auch recht damit, dass es heftige Diskussionen wegen dieses Rätsels gab. Selbst viele Professoren bestritten die Richtigkeit der Lösung. Ich selbst war auch davon überzeugt, dass 50:50 richtig war, habe dann aber mal ein Buch zu dem Thema gelesen und weiß jetzt, warum es besser ist, das Tor zu wechseln. Es handelt sich hier um einen ziemlich komplizierten Fall der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Es gibt übrigens auch einen guten Artikel bei Wikipedia zu dem Thema --> Ziegenproblem

[bsun]

Habe mich mit diesem Problem nicht weiter beschäftigt, und die angegebene Lösung immer so hingenommen. Die klingt ja auch logisch und verständlich, und ist mathematisch auch richtig, oder nicht?

Ich bezweifle, das die Situation an sich richtig beurteilt wird, denn:
Die Situation ändert sich ja während des Spiels dramatisch durch das Eingreifen des Moderators. Er öffnet immer ein Tor mit einer Niete und das ist die Regel. Also kann man sich als Kandidat auf diese Situation einstellen, das man zu diesem Zeitpunkt immer vor 2 verschlossenen Toren steht und sich für eins entscheiden muß, denn die offene Niete spielt keine Rolle mehr und die vorherige Entscheidung ist irrelevant. Und jetzt beträgt die Chance zu gewinnen 50% (die Wahrscheinlichkeit 0,5).

Ich selbst war auch davon überzeugt, dass 50:50 richtig war

Ich würde sagen, du hattest recht.

Ich finde die Sache ziemlich gemein, denn es sind zwei Spiele zu einem zusammengefaßt .
Einmal muß man sich aus 3 Toren entscheiden, das andere mal nur noch aus zweien.

gruß bsun

[Cujo]

Wie du gesagt hast, mathematisch ist die Lösung korrekt. Kannst ja vielleicht mit einem Kumpel mal eine Versuchsreihe starten und uns dann erzählen, was dabei rausgekommen ist

[bsun]

Ok, ich habe mich noch ein bißchen mit der Sache beschäftigt. Es gibt ja Simulationen zu diesem Problem. Und diese Praxis bestätigt, daß ich mich auch ins Boxhorn habe jagen lassen. Wo war aber mein Denkfehler:
Der Moderator greift zwar in das System ein, aber ist selbst beeinflußt von der Wahl des Kandidaten und wird in zwei Fällen gezwungen ein bestimmtes Tor zu öffnen und nur in einem Fall kann er es sich aussuchen. Und da wären wir wieder bei unserem richtigen Verhältnis.
C’est la vie.

der praktische Beweis:
http://www.procommerz.de/wissen/ziegenproblem/

erfürchtiger gruß
bsun

[Otmar]

Ich hab mir das immer so klar gemacht:

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1.) Ich nehmen mir vor, bei meiner ersten Wahl zu bleiben.

Dann bekomme ich das Auto mit einer Chance von 1/3, nämlich genau dann, wenn ich aus drei Türen die richtige gewählt hatte.

2.) Ich nehme mir vor zu tauschen.

Dann bekomme ich das Auto genau dann, wenn ich am Anfang eine Tür mit Ziege gewählt hatte, also mit der Chance 2/3.
Denn hatte ich am Anfang eine Ziege, muß der Moderator die zweite Ziege offenlegen und am Ende öffne ich nach Tausch das Auto.
Hatte ich am Anfang das Auto (Chance 1/3), dann bekomme ich nach Tausch eine Ziege.