Zeichnen einer Flugbahn

[Otmar]

Geonardo Lavinci steht vor einer eigenartigen Konstruktion mit der er die Flugbahn einer Kanonenkugel auf seine Leinwand zeichnen möchte. Dazu hat er zwei lange Latten, jede auf der Leinwand mit einem Nagel und um diesen drehbar, befestigt. Links hat er einen nach oben und unten an der verlängerten linken Leinwandkante verschiebbaren Klotz angebracht, wobei die Latte, die am oberen Nagel befestigt ist, an der oberen rechten Ecke des Klotzes und die andere Latte an der unteren linken Ecke des Klotzes verschieblich mitgeführt wird, wenn der Klotz nach oben oder unten gleitet. Geonardo will nun genau dort die Flugbahn einer reibungsfrei fliegenden Kanonenkugel auf die Leinwand zeichnen, wo sich die Latten beim Verschieben des Klotzes überkreuzen. Die Frage ist, wie hoch ist der Scheitelpunkt der Flugbahn, wenn wir noch folgendes wissen:

Die Flugbahn wird symmetrisch zur Bildmitte gezeichnet.
Die Leinwand ist 6 Ellen breit.
Der Klotz ist eine Elle breit und zwei Ellen hoch.
Der obere Nagel ist zwei Ellen und der untere Nagel eine Elle über der Unterkante der Leinwand eingeschlagen.

flugbahn.png (36.15 KiB) 2212-mal betrachtet

[Phoenix]

Mal wieder ein sehr schoenes Raetsel und diesmal war ich nicht ganz aufgeschmissen, wie es bei dem mit den drei Uhren der Fall war
Habe ich mich nicht verrechnet, bekomme ich folgendes heraus:

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3 13/15 Ellen

Und zwar so:

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Als erstes denke ich mir ein Koordinatensystem mit dem Ursprung genau an der unteren linken Ecke der Leinwand, dann definiere ich:
k = y-Koordinate der unteren Kante des Klotzes
b1 = x-Koordinate des Nagels, an dem Brett 1 (das obere) haengt
b2 = das gleiche fuer Brett 2
Daraus ergeben sich fuer Brett 1 die Punkte p1(0|k+2) und p2(b1|2) und fuer Brett 2 p3(-1|k) und p4(b2|1), aus denen schliesslich die Funktionsgleichungen
y1 = -(k/b1)x + k + 2
y2 = (1 - k)/(1 + b2)*(x + 1) + k
folgen. Die beiden gleichgestellt y1 = y2 (sie schneiden sich) ergeben nach Umstellung
k = (2b1(1 + b2)-b1(x + 1))/((1 + b2)x-b1(x + 1))
Eingesetzt in eine der beiden (ich nehme die erste):
y1 = (1 - x/b1)*(-b1x + 2b1(1 + b2) - b1)/((1 + b2 - b1)x - b1)
Jetzt kommt die Stelle, an der ich mir nicht ganz sicher bin, aber ich dachte mir, dass das x unterm Bruchstrich wegfallen muss, da es sonst das Quadrat aufheben wuerde, das wir fuer die Parabel der Flugbahn der Kugel brauchen. Also gilt:
1 + b2 - b1 = 0
1 + b2 = b1
Beides oben eingesetzt und vereinfacht gibt mir
y1 = -(1/b1)x^2 + (1/b1 + 3)x - 2b1 + 3
was gleichzeitig die Funktionsgleichung der Parabel ist. Fuer den Scheitelpunkt gilt (unter der Form y = ax^2 + bx + c):
x = -b/2a
Ich kenne x (= 3, Die Mitte der sechs Ellen breiten Leinwand, da symmetrisch), a = -1/b1 und b = 1/b1 + 3
Eingesetzt und umgeformt:
b1 = 5/3
Damit kann ich den Funktionswert an der Stelle drei ganz einfach ausrechnen
f(3, (b1 = 5/3)) = 3 13/15

Hoffentlich habe ich alles korrekt abgetippt

[Friedel]

Hallo.

Das Rätsel gefällt mir sehr gut. Ich habe mir einige Gedanken gemacht, bin aber noch weit von einer Lösung entfernt. Bisher bin ich mir nicht mal sicher, ob dabei überhaupt eine Parabel herauskommt. Ich kann für einige Anordnungen der Nägel das Maximum der Kurve angeben, für andere Anordnungen kann ich tendenzielle Aussagen über die Kurve machen und für mindestens eine Anordnung kann ich beweisen, dass keine Parabel entsteht.

Die Aufgabe interessiert mich also. - Das nur mal als Feedback. Ich bin sehr auf eure Lösungen gespannt und hoffe, dass ich die Beschreibungen nachvollziehen kann.

mfg Friedel

[Otmar]

Es freut mich sehr, dass schon zwei Antworten da sind!
@Phoenix
Dein Lösungsweg ist richtig, auch die Stelle, wo du dir nicht ganz sicher bist, aber bei y2 müssen noch 2 Korrekturen gemacht werden.
@Friedel
Du hast Recht damit, dass nicht immer eine Parabel rauskommt. Wenn man die Position der Nägel zufällig wählt, dürften fast immer Hyperbeln entstehen.

Es gibt eine relativ einfache Lösung des Rätsels, bei der man zuerst die Position der Nägel bestimmt. Dazu muss man einen "kleinen" Fehler in der Skizze erkennen und davon ausgehen, dass die Konstruktion der Parabel unter den Vorgaben eindeutig möglich ist. Man kann dann im Nachhinein immer noch zeigen, dass tatsächlich eine Parabel beim Zeichnen entsteht.

[Phoenix]

aber bei y2 müssen noch 2 Korrekturen gemacht werden

Da komme ich nicht weiter:

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Ich habe die zwei Punkte p3(-1|k) und p4(b2|1). Die Steigung m ist gleich (y2 - y1)/(x2 - x1) = (1 - k)/(b2 - (-1)) = (1 - k)/(1 + b2).
Der y-Achsenabschnitt liegt bei k plus 1*m, was der Graph von -1 bis 0 zuruecklegt => y2 = mx + m + k = m(x + 1) + k = (1 - k)/(1 + b2)*(x + 1) + k
Ich finde den Fehler nicht

[Otmar]

@Phoenix,

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du hast völlig Recht. Deine Formel für y2 passt. Die zwei Korrekturen an die ich dachte heben sich auf, denn ich hatte am anderen Punkt p4 die Gerade festgemacht.
Soweit ich das jetzt nachgerechnet habe ist der Fehler viel weiter unten, kurz vorm Ziel

Beides oben eingesetzt und vereinfacht gibt mir
y1 = -(1/b1)x^2 + (1/b1 + 3)x - 2b1 + 3

Hier müsste meinen Berechnungen zufolge anstelle (1/b1 + 3) ---> (-1/b1 + 3) stehen. Sonst passt es.

[Phoenix]

Stimmt, da habe ich mich verrechnet, neuer Vorschlag:

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y = -(1/b1)x^2 + (3 - 1/b1)x - 2b1 + 3

Hier müsste meinen Berechnungen zufolge anstelle (1/b1 + 3) ---> (-1/b1 + 3) stehen

Das habe ich jetzt auch so.
Weitergerechnet wie gehabt:
x = -(b/2a); x = 3; b = 3 - 1/b1; a = -(1/b1) => b1 = 7/3
Eingesetzt:
y =

100/21 = 4,7619.... (Ellen)

In der ersten Version gab es noch einen Fehler:

Eingesetzt in eine der beiden (ich nehme die erste):
y1 = (1 - x/b1)*(-b1x + 2b1(1 + b2) - b1)/((1 + b2 - b1)x - b1)

Hier fehlt das + 2 von der Ursprungsgleichung und taucht erst spaeter im + 3 wieder auf.

[Otmar]

Damit kommen wir der Lösung wieder einen Schritt näher.

@Phoenix:

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Aber aus welchem Grund auch immer, "der Golfball ist kurz vorm Loch liegengeblieben"

y = -(1/b1)x^2 + (3 - 1/b1)x - 2b1 + 3

b1 = 7/3

stimmt beides, und wenn du b1 = 7/3 und x = 3 einsetzt, bekommst du z/21 Ellen raus. z ist aber nicht 100 sondern etwas anderes mit Quersumme 10.

[Phoenix]

Aber aus welchem Grund auch immer, "der Golfball ist kurz vorm Loch liegengeblieben"

Letzter Schlag

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4/3

z ist aber nicht 100 sondern etwas anderes mit Quersumme 10

4/3 = 28/27, 2 + 8 = 10, das passt, auch wenn die Quersumme von 100 1 sein duerfte

[Otmar]

Letzter Schlag

Neuer Ball:

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y = -(1/b1)x^2 + (3 - 1/b1)x - 2b1 + 3 mit x = 3 und b1 = 7/3

also wenn du

-(1/(7/3))3^2 + (3 - 1/(7/3))3 - 2(7/3) + 3

bei "Gib hier ein, und es wird vereinfacht"
eingibst, sollte nach einer Seite Rechnung mit Erklärung das Ergebnis erscheinen. Fand ich ziemlich lustig.