Wunderpflanzen 5

[Phoenix]

mal sehn was es demnächst im Wunderpflanzengarten angebaut wird?

Ich habe die Antwort

Dieses Mal geht es um besondere Blumen, die im Wunderpflanzengarten vor sich hin sterben. Sie sind nicht fortpflanzungsfaehig und einem (so gut wie) permanenten Verwelkungsrisiko (Tod) ausgesetzt (so wie radioaktive Substanzen, daher kam auch die Idee fuer das Raetsel), welches jedoch nicht konstant ist, sondern in Form einer natuerlichen Kurve (Sinus) und im Takt der vier Jahreszeiten steigt und faellt, wobei es mitten im Winter den doppelten (des unbeeinflussten) Wert und mitten im Sommer null (Unsterblichkeit waehrend eines Zeitpunktes) erreicht.
Das Jahr beginnt mit dem Tag 0 (am Ende, in der Mitte, wie auch immer, jedenfalls ist im Folgenden stets dieser Zeitpunkt gemeint, wenn da steht "am Tag x", und alle Angaben beziehen sich auf dasselbe Jahr) exakt in der Wintermitte, hat nur 364 Tage und es gibt keine Schaltjahre.

Am Tag 25 lebten noch anderthalb mal so viele Blumen wie am Tag 236 und im Zeitraum vom Tag 53 bis zum Tag 170 starben 9336 Stueck. Wie viele Blumen haben am Jahresbeginn (Tag 0) gelebt (natuerlich ist nur eine theoretische Antwort moeglich, ich gehe von einer (den Bedingungen entsprechend) gleichmaessigen Sterberate aus)?

Ich wuensche allen den gleichen , den ich beim loesen/entwickeln hatte

[Otmar]

Hallo Phoenix,
Also mein Tipp:

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58240.8
Ich hab mal die Formeln hingeschrieben und Stück für Stück weitergerechnet. Dabei sah ich keine Chance, das im Kopf oder nur mit Stift und Zettel auszurechenen, da Sinus und Logarithmus sich wenig vertragen und keine Lösung mit rationalen oder gar ganzen Zahlen zu erwarten war. Deshalb hab ich die Formeln in ein Rechenprogramm gesteckt, wo jetzt der Rechenweg, mehr oder weniger, verschlüsselt und wenig lesbar enthalten ist. Und ich euch erstmal wenig daran teilhaben lassen kann.
Vielleicht hab ich aber auch was übersehen oder falsch gemacht. Gibt es denn eine ganzzahlige Lösung und ganzzahlige Zwischenergebnisse?

Gab es eigentlich einen Grund, dass das Jahr nur 364 Tage hat. Ist eine ziemliche Umstellung, wenn man an 365 Tage pro Jahr gewöhnt ist. Oder meinst du, dass der letzte Tag die Nummer 364 hat, das Jahr hätte dann 365 Tage, da von 0 gezählt wird.

[Phoenix]

Gab es eigentlich einen Grund, dass das Jahr nur 364 Tage hat. Ist eine ziemliche Umstellung, wenn man an 365 Tage pro Jahr gewöhnt ist. Oder meinst du, dass der letzte Tag die Nummer 364 hat, das Jahr hätte dann 365 Tage, da von 0 gezählt wird.

Dein Ergebnis ist sehr nah an meinem und der Unterschied kommt wohl von der Zaehlung der Tage. Das Jahr hat 364 Tage und dort, wo diese enden, beginnt das naechste (in Hinsicht auf den Zyklus der vier Jahreszeiten). Die Angabe "am Tag x" meint den Zeitpunkt genau x Tage nach Jahresbeginn. Der Grund war, dass ich fuer die vier Jahreszeiten ganztagige (91) Zeitraeume haben wollte, und es so auch etwas schoenere Faktoren in der Rechnung gibt. "Es beginnt mit dem Tag 0" sollte heissen, dass "am" Tag 0 das Jahr anfaengt.

Gibt es denn eine ganzzahlige Lösung und ganzzahlige Zwischenergebnisse?

Ganzzahlige Zwischenergebnisse kann ich nicht versprechen, aber bei der Loesung habe ich extra darauf geachtet und sogar ein Prograemmchen geschrieben, das mir die sechs vorgegebenen Zahlen so ausgesucht hat, dass das Ergebnis moeglichst nahe an einer ganzen Zahl dran ist, es faengt nach dem Komma mit "000001" an.

[Otmar]

Hallo Phoenix,

Dein Ergebnis ist sehr nah an meinem und der Unterschied kommt wohl von der Zaehlung der Tage.

Nein, das hast du schon richtig erklärt, der Unterschied hat eine viel banalere Ursache, ich hatte 9335 und nicht 9336 Blumen sterben lassen, und damit deine ganze Mühe, der von so liebevollen Auswahl aller Zahlen, kaputt gemacht.

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Also eingesetzt ergibt es 58247.0000016...

Da könnte man mal

58247

als Ergebnis aufschreiben.


Nur ganz kurz die Lösungsskizze:

t ist die Zeit in Tagen.
w = 2 Pi / 364 ist eine konstante Hilfsgröße für die jahreszeitliche Schwankung.
y(t) sei die Anzahl der lebenden Blumen am Anfang von Tag t
---> y'(t) = -y(t) * a * (1 + cos(w t))
---> ln(y(t)/y(0)) = -a(t + sin(w t)/w)
Mit t1 = 25 und t2 = 236 und der "anderthalbfach" Aussage folgt:
ln(1.5) = a(t2-t1 + (sin(w t2)-sin(w t1))/w) und daraus kann man a berechnen.
ähnlich folgt jetzt y(53) / y(170)=exp(a(t4-t3 + (sin(w t4)-sin(w t3))/w)) mit t3 = 53 und t4 = 170
und da y(170)-y(53) = 9336 gegeben ist kann man z.B. y(170) aus den beiden letzten Gleichungen berechnen.
und zum Schluss y(0) = y(170) / exp(t4 + sin(w t4)/w).

Ist eine sehr schöne Aufgabe!

Vielleicht, wenn ich Zeit habe, versuche ich Zahlen zu finden, bei denen die Anzahl der Blumen zu den Zeiten t1, t2, t3 und t4 möglichst ganzzahlig sind. Im Moment könnte es noch Fragen bezüglich halbtoter Blumen bei t3 und t4 geben. Na besser als die halbtote Katze aus der Quantenphysik...

[Phoenix]

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Da könnte man mal

58247

als Ergebnis aufschreiben.

Und auch

da du sehr viel schneller warst als ich, ueber eine Woche lang habe ich daran herumgetueftelt...

da Sinus und Logarithmus sich wenig vertragen

Da dachte ich mir schon, dass du ein wenig anders gerechnet hast als ich, bei mir war der Logarithmus kurz dabei, ist aber gegen Schluss wieder rausgeflogen. Spaeter erklaere ich dann meine Vorgehensweise ausfuehrlich und hake ab.

[Otmar]

Na super, wenn da alles passt. Da mir die Aufgabe so gut gefallen hat, hab ich wie angekündigt auch etwas mit Zahlen gespielt. Das Ziel war, für die Aufgabe Zahlen zu finden, bei denen an allen genannten Tagen näherungsweise eine ganze Zahl von Blumen noch blüht.

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Der Einfachheit halber mal im Vergleich:

t1              25                          12
t2             236                         112
t3              53                         103
t4             170                         276
Jahr           364                         365
s = y3-y4     9336                         116
y0           58247.000001                 1200.999948
y1           50520.030712                 1121.999941
y2           33680.020475                  747.999960
y3           43761.452077                  762.000055
y4           34425.452077                  646.000055

Für die Suche habe ich unter anderem einen Algorithmus verwendet, der für reelle Zahlen eine optimale Näherung mit einem Bruch mit beschränktem Nenner finden kann. Eine gute kurze Erklärung dieses Verfahrens findet man bei: Approximation mit Brüchen

[Phoenix]

Dann erklaere ich mal die Vorgehensweise ein bisschen genauer und hake ab:

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Die Hilfgroesse w = pi/182 uebernehme ich von Otmar (bei 356 Tagen ist sie gleich 2*pi/356).
a = Wahrscheinlichkeit einer Blume, an einem Tag (unter normalen Bedingungen) zu ueberleben. Berechnet sich aus der Sterbewahrscheinlichkeit P im Zeitraum t wie folgt: a = (1-P)^(1/t)
Um die Wahrscheinlichkeit, dass die Blume stirbt, beispielsweise zu verdoppeln, halbiert man den Zeitraum, woraus sich Quadrieren von a ergibt.
a(x) = a^(1 + cos(w*x))
Fuer die Ueberlebenswahrscheinlichkeit im Zeitraum x1 bis x2 muss man das Produkt aller a-Werte darin berechnen, und dazu (und das ist meiner Meinung nach der schoenste Teil) kann ich die Multiplikation in eine Addition ueberfuehren und die Summe aller Werte (Flaeche unterm Graphen) berechnen.
log(a*b) = log(a) + log(b)
f(x) = ln(a(x)) = ln(a)*(1 + cos(w*x))
F(x) = ln(a)*(x + sin(w*x)/w)
Ueberlebenswahrscheinlichkeit im Zeitraum x1 bis x2:
P(x1, x2) = exp(F(x2) - F(x1)) = a^(x2 - x1 + (sin(w*x2) - sin(w*x1))/w)
Sei A0 die Anzahl der Blumen am Tag 0, kann man die Anzahl am Zeitpunkt x wie folgt beschreiben:
A(x) = A0*P(0, x) = A0*a^(x + sin(w*x)/w)

Am Tag 25 lebten noch anderthalb mal so viele Blumen wie am Tag 236

A(25) = 1.5*A(236)
A0*a^(25 + sin(w*25)/w) = 1.5*A0*a^(236 + sin(w*236)/w)
a^49.23 = 1.5*a^189.49
a^-140.26 = 1.5
a = 1.5^-0.007 = 0.997...

im Zeitraum vom Tag 53 bis zum Tag 170 starben 9336 Stueck

A(53) - A(170) = 9336
A0*(a^(53 + sin(w*53)/w) - a^(170 + sin(w*170)/w)) = 9336
A0 = 9336/(a^98.91 - a^181.91) = 58247

[Otmar]

Hi Phoenix,
hast du super gemacht. Für mich war das einfach eine separierbare Differntialgleichung, deren Lösung man mehr oder weniger ohne lang zu überlegen formal hinschreiben kann....
Aber wenn man das alles zu Fuß machen muss, weil man die Mathematik dazu (noch) nicht kennt, dann sind diese Wunderpflanzen eine echte harte Nuss!

[Otmar]

kleine Korrektur:

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... zum Schluss y(0) = y(170) / exp(t4 + sin(w t4)/w)

in meinem Beitrag von 18. Juni muss natürlich heissen:
y(0) = y(170) / exp(-a(t4 + sin(w t4)/w))

[Friedel]

Ich habe mich auch ein wenig über das Jahr mit 364 Tagen gewundert. Noch mehr habe ich mich über die Begründung dafür gewundert. Wäre es nicht naheliegend gewesen, mit einem kaufmännischen Jahr mit 360 Tagen zu rechnen? Das hatte die Handhabung des Sinus imho erheblich einfacher gemacht, denn dann hätte jeder Tag genau einem Grad entsprochen.

Ich fand die Aufgabe recht interessant. Aber die unhandlichen Rechenoperationen machen die Lösung etwas mühsam.