Würfeln um Haselnüsse vom Nikolaus

[Otmar]

Uwe und Gabi haben heute vom Nikolaus jeder eine große Tüte Haselnüsse und zwei besondere Würfel bekommen. Uwes erster Würfel hat auf 3 Flächen jeweils ein Auge und auf den anderen drei Flächen jeweils fünf Augen. Sein zweiter Würfel hat auf zwei Flächen jeweils fünf Augen und auf den restlichen Flächen jeweils drei Augen. Gabis Würfel sind ähnlich aber haben auf jeder Fläche genau ein Auge mehr. Uwe und Gabi wollen nach folgenden Regeln um Haselnüsse würfeln:
In jeder Runde wählt Uwe und wählt Gabi unabhängig vom anderen einen seiner beiden Würfel aus. Also Gabi weiß nicht welchen Würfel Uwe nehmen wird und andersherum weiß Uwe nicht, welcher Würfel Gabi Glück bringen soll. Nun wirft jeder mit dem gewählten Würfel und die höhere Augenzahl gewinnt. Unentschieden kann es nicht geben, da unabhängig von den gewählten Würfen Gabis Würfel ausschließlich gerade und Uwes Würfel ausschließlich ungerade Augenzahlen hat. Natürlich ist Gabi im Vorteil. Deshalb bekommt Gabi von Uwe weniger Nüsse, wenn sie gewinnt, als Uwe von ihr bekommt, wenn Uwe gewinnt.

Was ist die kleinste mögliche Anzahl von Nüssen, die Gabi von Uwe bzw. Uwe von Gabi im Gewinnfall bekommt, um in der vorweihnachtlichen Zeit ein faires Spiel zu ermöglichen?

Natürlich spielen beide so gut sie können, d.h. sie wählen bei jeder Runde einen ihrer beiden Würfel mit einer für ihren Gewinn optimalen Wahrscheinlichkeit neu aus.

[Phoenix]

Mehr ->

Uwes Wuerfel:
A - 111555
B - 333355

Gabis Wuerfel:
C - 222666
D - 444466

Wahrscheinlichenkeiten fuer:
1 - A besiegt C = 1/4
2 - A besiegt D = 1/3
3 - B besiegt C = 1/2
4 - B besiegt D = 2/9

Faelle (also die Konfrontation der entsprechenden Wuerfel) 1 und 4 sind fuer Gabi guenstig, 2 und 3 fuer Uwe.

Natürlich spielen beide so gut sie können, d.h. sie wählen bei jeder Runde einen ihrer beiden Würfel mit einer für ihren Gewinn optimalen Wahrscheinlichkeit neu aus.

An der Stelle komme ich nicht weiter. Da es fuer beide immer eine gute und eine schlechte Option in Abhaengigkeit vom Wuerfel des anderen gibt, ist die Situation meiner Meinung nach wie beim Schere-Stein-Papier. Wenn man weiss, was der andere nimmt, kann man sich einen Vorteil verschaffen, aber man hat nur die Informationen der Vorrunden. Mein Problem ist jetzt, dass ich keine Idee habe, wie man die Wahrscheinlichkeiten fuer die einzelnen Wuerfel ausrechnen kann. Sie koennen ja nicht stumpf den Wuerfel nehmen, der durchschnittlich (der Gegner entscheidet 50%/50%) besser ist (B und D).
Ich glaube, das ganze nennt sich Spieltheorie und ich kenne mich da nicht aus. Auf alle Faelle interessiert mich die Loesung. Mal schauen, ob mir noch was einfaellt.

[Otmar]

Hallo Phoenix, hoffe ich kann dir zu den Fragen etwas weiterhelfen:

Mehr ->

Natürlich spielen beide so gut sie können, d.h. sie wählen bei jeder Runde einen ihrer beiden Würfel mit einer für ihren Gewinn optimalen Wahrscheinlichkeit neu aus.

An der Stelle komme ich nicht weiter. Da es fuer beide immer eine gute und eine schlechte Option in Abhaengigkeit vom Wuerfel des anderen gibt, ist die Situation meiner Meinung nach wie beim Schere-Stein-Papier. Wenn man weiss, was der andere nimmt, kann man sich einen Vorteil verschaffen, aber man hat nur die Informationen der Vorrunden.

Das Problem ist derart, dass man sogar ohne Information aus den Vorrunden zur richtigen Lösung kommen kann.

Mein Problem ist jetzt, dass ich keine Idee habe, wie man die Wahrscheinlichkeiten fuer die einzelnen Wuerfel ausrechnen kann. Sie koennen ja nicht stumpf den Wuerfel nehmen, der durchschnittlich (der Gegner entscheidet 50%/50%) besser ist (B und D).

Am besten, du versuchst den Sachverhalt in Formeln zu schreiben. Dazu lässt du die Wahrscheinlichkeiten für die Würfel als Variablen stehen.

[Phoenix]

Mehr ->

Das Problem ist derart, dass man sogar ohne Information aus den Vorrunden zur richtigen Lösung kommen kann.

Daraus folgt, dass es fuer jeden Wuerfel eine feste Wahrscheinlichkeit gibt, da alle Werte konstant sind. Ich versuche es mal.

Wahrscheinlichenkeiten fuer:
A besiegt C = 1/4
A besiegt D = 1/3
B besiegt C = 1/2
B besiegt D = 2/9
P(A) = Wahrscheinlichkeit, mit der Uwe Wuerfel A waehlt.
P(B), P(C) und P(D) analog, wobei P(A) + P(B) = P(C) + P(D) = 1
Die Siegchancen fuer Uwe sind dementsprechend = P(A)*P(C)*1/4+P(A)*P(D)*1/3+P(B)*P(C)*1/2+P(B)*P(D)*2/9
Fuer Gabi gilt das gleiche, nur mit umgekehrten Bruechen.
Jetzt gilt es, P(A) (P(B) = P(A) -1) und P(C), die ich mal als x und y definiere, so zu bestimmen, dass keiner der beiden durch Veraenderungen an der Wahrscheinlichkeit des eigenen Wuerfels seine Siegchancen erhoehen kann.
S(Uwe) = xy/4+x(1-y)/3+(1-x)y/2+2(1-x)(1-y)/9 = xy/4+x/3-xy/3+y/2-xy/2+2/9-2x/9-2y/9+2xy/9 = xy(1/4-1/3-1/2+2/9)+x(1/3-2/9)+y(1/2-2/9)+2/9 = -13/36xy+1/9x+5/18y+2/9
Angenommen, Uwe kann x beliebig zwischen 0 und 1 bewegen, und Gabi kann das gleiche mit y. Uwe versucht, S(Uwe), seine Siegchancen, moeglichst hoch zu halten, Gabi versucht genau das Gegenteil. Die einzige Loesung, ins Gleichgewicht zu kommen, besteht darin, mit seiner Variable die des anderen Wirkungslos zu machen. Daraus ergibt sich Folgendes:

5/18-13/36x = 0
x = (5/18)/(13/36) = (5*36)/(18*13) = (5*2)/13 = 10/13

1/9-13/36y = 0
y = (1/9)/(13/36) = 36(9*13) = 36/117 = 4/13

Eingesetzt:
S(Uwe) = -(13/36)(10/13)(4/13)+(1/9)(10/13)+(5/18)(4/13)+2/9 = -(13*10*4)/(36*13*13)+10/(9*13)+(5*4)/(18*13)+2/9 =
-10/117+10/117+10/117+2/9 = 10/117 + 26/117 = 36/117 = 4/13

Uwes Siegchancen stehen somit bei 4/13 oder 4:9, was dann automatisch die Loesung ist. Uwe erhaelt im Falle eines Sieges 9 Nuesse von Gabi, Gabi von ihm jedoch nur 4, beide erhalten somit pro Runde durchschnittlich 36/13 Nuesse, ein gerechtes Spiel.

Ich zweifle ein bisschen an der Loesung, nicht zuletzt, weil ich bei den ganzen Bruechen leicht einen Fehler gemacht haben kann. Zudem bin ich mir nicht sicher, ob die Idee mit dem Gleichgewicht der Loesung entspricht. Hat aber Spass gemacht, ist eine lustige Idee!

[Otmar]

Hallo Phoenix,

Ich zweifle ein bisschen an der Loesung, nicht zuletzt, weil ich bei den ganzen Bruechen leicht einen Fehler gemacht haben kann.

Das ist dir aber nicht gelungen und deshalb

Hat aber Spass gemacht, ist eine lustige Idee!

Da sag ich

Zudem bin ich mir nicht sicher, ob die Idee mit dem Gleichgewicht der Loesung entspricht.

Hier meine Lösung. Eventuell kann man dort noch etwas über das Gleichgewicht hinausschauen:

Mehr ->

A, B erster und zweiter Würferl von Uwe C, D erster und zweiter Würfel von Gabi.
P(A) = 1-P(B) := u
P(C) = 1-P(D) := g

Würfelflächen mit Augenzahlen 1..6:
   A B C D
1  3 - - -
2  - - 3 -
3  - 4 - -
4  - - - 4
5  3 2 - -
6  - - 3 2

Tabelle bei wieviel von 36 Runden Uwe im Mittel gewinnt

     C   D
A    9  12
B   18   8

Wenn S die Gewinnwahrscheinlichkeit von Uwe ist, dann ist:
36 S = 9ug + 12u(1-g) + 18(1-u)g + 8(1-u)(1-g) = (9-12-18+8)ug + (12-8)u + (18-8)g + 8 = -13ug + 4u + 10g + 8
= 8 + 4u + (-13u+10)g ----> u := 10/13 + X
= 8 + 10g + (-13g+4)u ----> g := 4/13 + Y
= 8 + 40/13 + 10Y + (-13 (4/13 + Y) + 4)(10/13 + X) = (13*8 + 40)/13 + 10Y -13Y(10/13 + X) = 144/13 - 13XY
also:
S = 4/13 - 13/36 XY
Da X und Y die Abweichung der von Uwe und Gabis optimaler Wahrscheinlichkeit für den ersten Würfel ist, sieht man, dass wenn einer der beiden abweicht, also X oder Y nicht Null ist, der andere auch geeignet abweichen kann und die Gewinnwahrscheinlichkeit von Uwe erhöhen oder verringern kann. Damit spielt Uwe nur optimal, wenn er X = 0 wählt und Gabi nur optimal, wenn sie Y=0 wählt. Sobald einer X bzw. Y Null gewählt hat, kann der andere die Gewinnwahrscheinlichkeit S=4/13 von Uwe und damit auch die von Gabi G = 9/13 nicht mehr ändern. Also sollte Gabi 4 und Uwe 9 Nüsse beim Gewinn erhalten.