symmetrische Zahlen

[black]

Natürliche Zahlen ohne führende Null, die von vorn und hinten gelesen die gleiche Ziffernfolge haben, seien als symmetrische Zahlen bezeichnet.

Bsp: 7, 22, 151, 951159

Gesucht ist die kleinste symmetrische Zahl mit einer geraden Stellenanzahl, welche nicht ganzzahlig durch 11 teilbar ist.
(Für eine ungerade Stellenanzahl ist die Sache ja trivial.)

[Hans-Peter]

Hi Black,

das ist echt mal ne gute Frage.

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Wenn ich z.B. 8 Stellen für eine Zahl nehme und in der Mitte eine Symmetrieachse einsetze, kriege ich 2 Hälften.
Betrachte ich nur die linke Hälfte und erhöhe den Wert (bei 0000 beginnend) immer um 1, bis ich bei 9999 angelangt bin, so habe ich doch alle Möglichkeiten durch. Durch Spiegelung an der Symetrieachse bekomme ich alle möglichen symmetrischen Zahlen, die 8stellig sind. In dem Falle ist jede weitere symmetrische Zahl im genauen Minimum von 11 von der Vorgänger-symmetrischen-Zahl entfernt.
Fazit: Auf den ersten Blick geht es garnicht anders, als dass symmetrische Zahlen mit gerader Stellenzahl immer durch 11 ohne Rest teilbar sind.
Die Stelenzahl, solange sie nur gerade ist, ist belanglos.

Würde ich mal so sagen. Aber vielleicht ist das nicht ganz der richtige Ansatz?

Bin gespannt, was Du zu sagst. Horridoh, H.-P.

[black]

Hallo Hans-Peter,

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man kann doch aber aus einer minimalen Differenz von 11 nicht zwangsweise schließen, dass die Differenz auch allgemein ein Vielfaches von 11 sein muss, oder?

Ich glaube, dein Ziel ist richtig. Der Weg ist mindestens zu sanieren, aber vll. wäre ein Neubau günstiger.

Gruß

black

[lix]

Hi black.
Danke für das Rätsel.

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Es gibt keine Zahlen mit den genannten Eigenschaften.
Die kleinste symmetrische Zahl mit gerader Stellenanzahl ist die 11. Alle weiteren zweistelligen erhält man durch wiederholte Addition von 11. Damit fallen diese auch weg. Die größte unter ihnen ist die 99.
Die kleinste symmetrische Zahl mit vier Stellen ist die 1001. Diese erhält man durch: 10*99 + 11. Ist also auch durch 11 teilbar. Alle weiteren sind von der Form yxxy. Diese erhält man durch die Formel: 10*xx+y*1001. xx sind die zweistelligen symmetrischen Zahlen, somit durch 11 teilbar. 1001 ist auch durch 11 teilbar. Damit fallen alle vierstelligen Zahlen weg.

Allgemein kommt man von den 2n-stelligen Zahlen zu den 2(n+1)-stelligen indem man die größte 2n-stellige (der Form 99...99) mit 10 multipliziert und dann 11 addiert. Somit ist die kleinste 2(n+1)-stellige (der Form 10...01 wieder durch 11 teilbar. Alle weiteren 2(n+1)-Stelligen (die die Form yabc...cbay) erhält man als Summe von einer Vielfachen dieser kleinsten Zahl (y*10...01) und dem zehnfachen einer 2n-stelligen symmetrischen Zahl (10*abc...cba). Da diese auch alle durch 11 teilbar sind, sind alle 2(n+1)-stelligen symmetrischen Zahlen durch 11 teilbar.

Und damit gilt das für alle symmetrischen Zahlen mit gerader Stellenanzahl.

Ich hoffe, dass das so nachvollziehbar ist. Gibt es einen besseren Weg?

Beste Grüße,
lix

[black]

Hallo lix,

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Ich hoffe, dass das so nachvollziehbar ist. Gibt es einen besseren Weg?

Der rekusive Nachweis, den du hier skizzierst, ist sehr anschaulich und per vollständiger Induktion (2x) gut zu führen.
Daher: &

Gruß

black

[Otmar]

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Die alternierende Quersumme einer solchen Zahl ist 0, da jede der beiden korrespondierenden gleichen Zifferen für die alternierende Quersumme einmal addiert und einmal subtrahiert wird.

Beispiel: DCBAABCD

+D-C+B-A+A-B+C-D = 0

Da 0 durch 11 teilbar ist, ist nach Quersummenregel die hinterfragte symmetrische Zahl (Palindrom) auch durch 11 teilbar. D.h. es gibt kein Palindrom, das eine gerade Ziffernzahl hat und nicht durch 11 teilbar ist.