Schäferstündchen

[Musagetes]

Schäferstündchen

Zwei befreundete Schäfer möchten sich wieder mal für ausgiebige „Schäferstündchen“ für eine ganze Woche treffen und hierzu Ihre Herden zusammenlegen.

Hierzu soll einer der Beiden das geeignete Grünland aussuchen, der eine Schäfer verbrachte zuvor vier Tage mit seiner Herde auf drei Hektar und der Andere fünf Tage mit 225 Schafen auf zwei Hektar Grünland.
Als der eine seinen Freund fragte, wie viele Schafe hast du denn im Moment, bekam er folgende Antwort.
Die Größe meiner Herde entspricht den ersten drei Stellen einer Zahl mit zehn Stellen, mit den Ziffern von 0-9, wo jede „Teil-Zahl“ bezogen auf die dazugehörige Stellenzahl, durch diese Stellenzahl ohne Rest teilbar ist.

Wie groß muss der Schäfer das benötigte Grünland bei gleichen Verhältnissen mindestens auswählen?

Begründe (Beweise) deine Lösung so einfach und ausführlich wie nötig!

Gesucht ist eine Lösung mit analytisch, elementaren Mitteln, ohne Funktionsgleichungen und ein Progi schreiben lohnt m. E. auch nicht.

Wünsche allen für ein paar „Rätselstündchen“ noch viel Spaß beim Lösen!

Freundliche Grüße
Musagetes

[Otmar]

mit den Ziffern von 0-9

heißt das, dass jede der 10 Ziffern auch in der Zahl vorhanden ist?

„Teil-Zahl“

Wie ist das zu verstehen?
Angenommen die Zahl ist z=1234567890

Fall A: Nur die rechten Ziffernfolgen bilden Teilzahlen:
z.B. 7890 ist eine Teilzahl mit 4 Stellen

Fall B: Alle Ziffernfolgen sind Teilzahlen. Z.B. 345 auch eine Teilzahl, in dem Fall mit drei Stellen.

Beide Fälle scheinen keine eindeutige Lösung zu liefern, wenn jede Ziffer von 0 bis 9 in z sein soll.

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Fall B liefert dann keine Lösung, da es zweistellige ungerade Teilzahlen geben muss. Fall A liefert, wenn eine Lösung existiert, mindestens zwei Lösungen, und zwar, wenn man die achte und neunte Stelle tauscht. Dabei ändert sich weder die Teilbarkeit durch 9 noch die Teilbarkeit durch 8 und auch nicht die durch 10.

Deshalb gibt es noch Fall C:
Wir nehmen als Teilzahlen nur rechte Ziffernfolgen. Dann erhält man die einzige Lösung 3816547290, wobei die Begründung etwas mühsam aufzuschreiben ist. Im wesentlichen entscheidet die Teilbarkeit duch 7 noch ich glaube es ware 10 verschiedene Fälle, die durch die anderen Teilbarkeiten offen gelassen wurden.

Das macht dann für die 7 Tage:

A = (7/4) * 3ha + (7/5) * 2ha * (381/225) = 14987/1500 ha. Oder wir sagen, wenn er 10ha nimmt hat er noch 13/1500ha Reserve.

[Musagetes]

Hi Otmar,
und alle die sich beim Schafezählen beteiligen wollen.

Otmar:
Musagetes hat geschrieben: mit den Ziffern von 0-9

heißt das, dass jede der 10 Ziffern auch in der Zahl vorhanden ist?

Ja!!

Otmar:
Musagetes hat geschrieben:„Teil-Zahl“

Wie ist das zu verstehen?
Angenommen die Zahl ist z=1234567890

Fall A: Nur die rechten Ziffernfolgen bilden Teilzahlen:
z.B. 7890 ist eine Teilzahl mit 4 Stellen

Fall B: Alle Ziffernfolgen sind Teilzahlen. Z.B. 345 auch eine Teilzahl, in dem Fall mit drei Stellen.

Beide Fälle scheinen keine eindeutige Lösung zu liefern, wenn jede Ziffer von 0 bis 9 in z sein soll.

Da fällt mir was zu Goethe ein, …

Goethe:
Warum willst du in die Weite schweifen? Sieh, das Gute liegt so nah.

@Musagetes:
…….. einer Zahl mit zehn Stellen, mit den Ziffern von 0-9, wo jede „Teil-Zahl“ bezogen auf die dazugehörige Stellenzahl, durch diese Stellenzahl ohne Rest teilbar ist.

Man kann die Ziffern der zehn Stellen wie folgt darstellen „A B C D E F G H I J“ dann muss sie folgende
Bedingung erfüllen.

A : 1 = Ergebnis ohne Rest
AB : 2 = Ergebnis ohne Rest
ABC : 3 = Ergebnis ohne Rest
ABCD : 4 = Ergebnis ohne Rest
ABCDE : 5 = Ergebnis ohne Rest
ABCDEF : 6 = Ergebnis ohne Rest
ABCDEFG : 7 = Ergebnis ohne Rest
ABCDEFGH : 8 = Ergebnis ohne Rest
ABCDEFGHI : 9 = Ergebnis ohne Rest
ABCDEFGHIJ : 10 = Ergebnis ohne Rest

Und dafür gibt es eine eindeutige Lösung, die mit Hilfe der Zahlentheorie zu erarbeiten ist.

Viel Spaß noch beim Schäfchen zählen!

Freundliche Grüße
Musagetes

[Phoenix]

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Die Zahl abcdefghij duerfte 3816547290 lauten, damit hat der Schaefer 381 Schafe. Am Anfang habe bin ich durch Ueberlegungen weitergekommen, den Rest habe ich ausprobiert (alle Moeglichkeiten, somit ist das die einzige Loesung).
j = 0, da durch 10 teilbar
0 ist weg, also e = 5, da durch 5 teilbar
b, d, f, h sind alle gerade Ziffern, der Rest ist ungerade
abc ist durch drei teilbar, also auch die Quersumme a + b + c, als einzige Summen kommen 12, 18 und 24 in Frage
abcd ist durch 4 teilbar, also muss cd es sein, c ist ungerade, daher bleibt fuer d nur noch 2 und 6
d + e + f muss durch drei teilbar sein, da a + b + c + d + e + f das sein muss, und a + b + c es schon ist. Mit e = 5 bleibt fuer d + f bloss noch 10, somit ist f gleich 4 oder 8
abcdefgh ist durch 8 teilbar, also ist es fgh. f ist 4 oder 8 und faellt weg (400 und 800 sind durch 8 teilbar), es bleibt fuer h 2 und 6, bzw. bleiben die Paare 16, 32, 72 und 96 fuer gh
Mit d, h = 2, 6 und j = 0 folgt b, f = 4, 8
Hm, ja, ab da habe ich ausprobiert (die einzige Teilbarkeitsregel fuer die 7, die ich kenne, war nutzlos...) und den Teil mit den Herden, wer vorher wie lange auf welcher Flaeche geweidet hat, habe ich nicht verstanden.

[Otmar]

Hallo Musagetes,
ich hatte erstmal keine Idee, was du mit "Teil-Zahl" gemeint haben könntest. Obwohl ich immer versuche offen zu sein, war die jetzt klar gestellte Formulierung für mich alles andere als offensichtlich. Deshalb gings in die falsche Richtung nach rechts, "Denn das Glück ist immer da."

Willst du immer weiter schweifen?
Sieh, das Gute liegt so nah.
Lerne nur das Glück ergreifen,
Denn das Glück ist immer da.

schön mal wieder ein Gedicht nachgeschlagen zu haben

Die Lösung steht ja schon in meinem ersten Beitrag zum Thema als Fall C unterm Spoiler, aber eine echte Herausforderung war, die vielen kleinen Gedankengänge niederzuschreiben:

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Benutzen wir die Bezeichnung von musagetes dann ergibt sich folgende Ableitung:
Bem. 1: Zahlen in runden Klammern nummerieren gefundene Beziehungen.
Bem. 2: (mod 3) ganz rechts, bezeichnet dass in der Restklasse 3 gerechnet wurde.
Aus der 10 und 5 stelligen Teilzahl folgt erst
J = 0 (1)
und dann:
E = 5 (2)
Aus geraden Teilzahlen folgt:
B, D, F, H aus {2,4,6,8} (3)
es verbeiben
A, C, G, I aus {1,3,7,9} (4)
Da die 4 und 8 stellige Teilzahl jeweils durch 4 teilbar ist und die Zehnerziffer beider Zahlen jeweils ungerade ist, folgt dass die Einerziffer jeweils 2 oder 6 ist. Also
D,H aus {2,6} (5)
und damit wegen (3)
B,F aus {4,8} (6)
Aus den Teilzahlen mit 3, 6 und 9 Stellen, die alle durch 3 teilbar sind und deren Quersumme durch 3 teilbar ist, folgt nacheinander:
A+B+C=D+E+F=G+H+I=0 (mod 3) (7)
Damit und wegen (2) ist
D+F=1 (mod 3) (8)
Ferner seien alle möglichen Summen der verbliebenen ungeraden Ziffern in der Restklasse 3 berechnet:
1+3=1+9=3+7=7+9=1 (mod 3) (9)
1+7=2 (mod 3) (10)
3+9=0 (mod 3) (11)
Fall 1 aus (5): D=2 und H=6
wegen (8) und (6) ist
F = 8 (1.1) und wegen (6)
B = 4 (1.2)
aus der 8 stelligen Teilzahl und (4) folgt nun
G aus {1,9} (1.3)
da wegen (11) nur G=9 Bedingung (7) erfüllt folgt
G = 9 und I=3 (1.4)
Damit verbleibt
A,C aus {1,7} (1.5)
Da weder 1472589 noch 7412589 durch 7 teilbar ist führt Fall 1 zu keiner Lösung.
Fall 2 aus (5): D=6 und H=2
wegen (8) und (6) ist
F = 4 (2.1) und wegen (6)
B = 8 (2.2)
aus der 8 stelligen Teilzahl und (4) folgt nun
aus G aus {3,7} (2.3)
wegen (7) und (2.3) und (9) gibt es die Fälle:
Fall 2.1 G=3 I=1
Fall 2.1.1 A=7 und C=9: 7896543 ist nicht durch 7 teilbar
Fall 2.1.1 A=9 und C=7: 9876543 ist nicht durch 7 teilbar
Fall 2.2 G=3 I=7
Fall 2.1.1 A=1 und C=9: 1896543 ist nicht durch 7 teilbar
Fall 2.1.1 A=9 und C=1: 9816543 ist nicht durch 7 teilbar
Fall 2.3 G=7 I=3
Fall 2.1.1 A=1 und C=9: 1896547 ist nicht durch 7 teilbar
Fall 2.1.1 A=9 und C=1: 9816547 ist nicht durch 7 teilbar
Fall 2.4 G=7 I=9
Fall 2.1.1 A=1 und C=3: 1836547 ist nicht durch 7 teilbar
Fall 2.1.1 A=3 und C=1: 3816547/7 = 545221

Damit bleibt Fall 2.1.1 übrig:

z = 3816547290

3/1=3
38/2=19
381/3=127
3816/4=954
38165/5=7633
381654/6=63609
3816547/7=545221
38165472/8=4770684
381654729/9=42406081
3816547290/10=381654729

und ein Progi schreiben lohnt m. E. auch nicht

Was ist ein Progi? Etwa so was:

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int z[10];void Bingo(){}// hier anhalten und z[0..9] im debugger auslesen!
void F(int k){if(k<9)for(int t=z[k],j=k;j<10;j++){z[k]=z[j];z[j]=t;F(k+1);z[j]=z[k];z[k]=t;}
else{for(__int64 T=z[0],j=0;j<10;T=10*T+z[++j])if(T%(j+1))return;Bingo();}}
int main(){for(int j=0;j<10;j++)z[j]=j;F(0);return 0;}

igitt! pfui! Finger weg!
Aber auf jeden Fall kürzer, als meine Begründung.

[Musagetes]

Hi Phoenix,

freut mich dass dich auch an dem Rätsel beteiligst.

Die erste große Hürde hast du ja schon geschafft.

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Ich versuche da noch mal eine ausführliche Herleitung zu schreiben.

Nun wo du die erste Teillösung gefunden hast, musst du das nur noch in Beziehung setzen.

@Musagetes:
„….. der eine Schäfer verbrachte zuvor vier Tage mit seiner Herde auf drei Hektar und der Andere fünf Tage mit 225 Schafen auf zwei Hektar Grünland.“

Dabei bedarf es zwar noch einer Eingebung, die bekommst du aber auch hin.

Hi Otmar,

schön dass hier neben der schnöden Naturwissenschaft etwas Poesie Einkehr genommen hat.

@Otmar:
Was ist ein Progi? Etwa so was:

@Otmar:
Aber auf jeden Fall kürzer, als meine Begründung.

Schau mal auf dieser Seite ganz weit nach oben, da steht was von Denksport.

Aus diesem Grund, „igitt! pfui! Finger weg! "!

@Otmar:
„Die Lösung steht ja schon in meinem ersten Beitrag zum Thema als Fall C unterm Spoiler, aber eine echte Herausforderung war, die vielen kleinen Gedankengänge niederzuschreiben:“

Da müsste aber im Nachhinein noch mal Editiert worden sein.!
Aber du hast ja die erste Herausforderung mit Bravour gemeistert und die Zweite Erleuchtung wirst du auch noch erfahren.

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Deine Teillösung 3816547290 ist korrekt!

@Otmar:
Das macht dann für die 7 Tage:
A = (7/4) * 3ha + (7/5) * 2ha * (381/225) = 14987/1500 ha. Oder wir sagen, wenn er 10ha nimmt hat er noch 13/1500ha Reserve.

Ich kann deiner o. a. Gleichung für das erste nicht nachvollziehen.

Könnte es sein du wohl folgendes ausdrücken wolltest!

A = 3ha/(4T*381T) * 7T *381S + 2ha/(5T*225T) *7T *225S =>
A = 7T/4T *3ha + 7T/5T*2ha (das käme dann deiner o. a. Gleichung am nähesten)
A= 8,05ha

Dieses Ergebnis entspräche aber nicht der in der Aufgabenstellung gesuchten Lösung!

Dazu sind wohl noch ein paar Schäferstündchen zum Nachdenken notwendig.

... Lerne nur das Glück ergreifen,
Denn das Glück ist immer da.

Bekanntlich haben Schäfer ja sehr viel Zeit grübeln.

Noch viel Spaß dabei!

Freundliche Grüße
Musagetes

[Phoenix]

Zwei befreundete Schäfer möchten sich wieder mal für ausgiebige „Schäferstündchen“ für eine ganze Woche treffen und hierzu Ihre Herden zusammenlegen.

Hierzu soll einer der Beiden das geeignete Grünland aussuchen, der eine Schäfer verbrachte zuvor vier Tage mit seiner Herde auf drei Hektar und der Andere fünf Tage mit 225 Schafen auf zwei Hektar Grünland.
Als der eine seinen Freund fragte, wie viele Schafe hast du denn im Moment, bekam er folgende Antwort.

Ich verstehe immer noch nicht genau, wie das gemeint ist. Besitzen die beiden Schaefer Schafe unterschiedlicher Art, die verschieden viel Futter/Gras benoetigen? Vier Tage auf drei Hektar kann ich auf eine Woche hochrechnen, ohne die Anzahl der Schafe zu kennen...

[Musagetes]

Hi Phoenix!

@Musagetes:
Wie groß muss der Schäfer das benötigte Grünland bei gleichen Verhältnissen mindestens auswählen?

Freundliche Grüße
Musagetes

[Friedel]

Nach all den Diskussionen, weiß ich inzwischen, dass ich nach einer Zahl Z suchen soll, für die folgendes gilt:
Für jede ganze Zahl i von 0 bis einschließlich 9 soll die Aussage stimmen, dass die ersten i Stellen von Z ohne Rest durch i teilbar sind.

Mit vergleichsweise viel Aufwand konnte ich ohne Script feststellen, dass es genau eine solche Zahl gibt.

Die ersten 3 Stellen dieser Zahl soll der Zahl der Schafe des einen Schäfers entsprechen. OK. Aber was mache ich mit dieser Zahl?

Wie groß muss der Schäfer das benötigte Grünland bei gleichen Verhältnissen mindestens auswählen?

Gleiche Verhältnisse??? Um welche Verhältnisse geht es? Und welche Rolle spielen die Anzahl der Tage, die die Herden geweidet haben und die Größen der Weiden?

Meine einzige Idee, welche Verhältnisse gemeint sein könnten, ist imho als einiges naheliegend, aber sie ist trivial und man braucht alle die anderen Angaben nicht. Bisher hat Schäfer 2 für 225 Schafe 2 ha gebraucht und Schäfer 1 hat für Z Schafe 3 ha gebraucht. Zusammen brauchen sie also 5 ha. (Ich habe für diesen Absatz den Spoiler weggelassen, weil ich mir nicht vorstellen kann, dass das die gesuchte Lösung ist. Außerdem bin ich nicht wirklich überzeugt, dass die Addition von 2 und 3 wirklich eine "Harte Nuss" ist.)

Mich stört es sehr, dass man hier bei Denksportaufgaben fast immer erst lange herumraten muss, bis man erahnen kann, nach was eigentlich gefragt wird! Ich löse eigentlich sehr gerne Denksportaufgaben. Hier wurden in der letzten Zeit einige Aufgaben gestellt, die das Potential hatten sehr schöne Aufgaben zu sein. Aber die Aufgaben wurden alle so gestellt, dass sie völlig uninteressant waren. Bei dieser Aufgabe wurde im dritten Beitrag von Musagetes am Freitag, 6. Juli 2012, um 12:57 eine interessante Aufgabe gestellt, die ich inzwischen gelöst habe. Aber deren Lösung ist eindeutig nicht die Lösung der eigentlichen Aufgabe. Die ist nach wie vor völlig unklar.

[Otmar]

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Man kann ja gar nicht wissen, worauf sich "gleiche Verhältnisse" beziehen. Passend für die Formulierung der Aufgabe bin ich davon ausgegangen, dass Schafe jeder Herde gleich viel pro Tag fressen. Das war für mich am plausibelsten, weil sonst die vorher angegebenen Flächen nicht ganz abgefressen werden. Aber es war nicht klargestellt, dass die Flächen nicht abgefressen wurden. Wenn gleiche Verhältnisse bedeutet, dass jedes Schaf gleich viel pro Tag frisst, dann wird wenigstens eine der Flächen nicht ganz abgefressen und ich sehe in der Formulierug der Aufgabe weitere Probleme. Denn in diesem Fall wird die Anzahl der Schafe in der Herde des einen Schäfers wichtig. Man sollte nun davon augehen, dass auch der eine Schäfer die Anzahl der Schafe in seiner Herde kennt und dann eine kleinere Fläche auswählen kann, als uns das mit dem in der Aufgabe mitgeteilten Vorwissen möglich ist. Damit unsere Lösung, die wir diese Anzahl nicht kennen, nun zur Aufgabe passt, müssen wir unterstellen, dass der eine Schäfer die Anzahl seiner Schafe auch nicht kennt. Aber das steht im Widerspruch zu den gleiche Verhältnissen, die ich jetzt mal auf das Wissen der beiden Schäfer über ihre Schafe anwende und sage, wenn der eine Schäfer weiss, wieviel Schafe er hat, dann sollte der andere das auch wissen. Eine saubere Formulierung wäre wirklich hilfreich. Rätsel heißt ja nicht, dass man vor lauter Rätseln an der Formulierung gar nicht zum Rätsel selbst vordringen kann.

Mathematisch wäre das jetzt so:

Sei x die Fläche die ein Schaf je Tag frisst. Dann gilt weil die gegebenen Flächen nicht ganz abgefressen werden müssen:
x <= 2ha/(5 * 225)
und wenn n die Anzahl der Schafe des anderen Schäfers ist, dann gilt auch
x <= 3ha/(4 * n)
Aus beiden Ungleichungen und da n eine ganze Zahl ist, entnimmt man:
Ist n <= 421 dann ist die obere Ungleichung die schärfere und wenn n >= 422 ist, dann ist die untere Ungleichung schärfer. Wir suchen die schärfere Ungleichung, da wir die kleinste Fäche suchen, also das kleinste uns bekannte x brauchen.
Die in einer Woche gefressene Fläche A ist dann genau A=7*x*(n+381)
Fall 1: n <= 421
A <= 7*2ha/(5*225)*(n + 381) Das ist die Gleichung, die der eine Schäfer berechnen kann, denn er kennt n.
Wir müssen den ungünstigsten Fall annehmen, der bei n = 421 eintritt. Dann ist A <= 9.9804444..ha
Fall 2: n >= 422
A <= 7*3ha/(4*n)(n+381)=7*3ha/4*(1+381/n) Das wäre für n >= 422 die gesuchte Abschätzung des einen Schäfers.
Wir müssen wieder den ungünstigsten Fall nehmen, der bei n = 422 eintritt. Dann ist A <= 9.989929..ha

Also wir können sagen, dass der eine Schäfer eine Fläche auswählt, die von der Anzahl seiner Schafe abhängt. Diese Fläche ist kleiner als 9.989929ha.
Aber das ist nicht die Antwort auf die Frage. Die Antwort sind die beiden Gleichungen für Fall 1 und Fall2 in denen n noch enthalten ist. Tatsächlich ist jedes n >=0 möglich.