Rutschbahn Rätsel ist gelöst

Rätsel, die zum Lösen einen größeren Zeitaufwand erfordern, wie z. B. schwierige Physik- und Matherätsel.

Rutschbahn

Beitragvon Otmar » Mittwoch 31. Mai 2017, 22:25

Folgende Skizze zeigt die Seitenansicht einer Rutschbahn:
Rutschbahn.png
Rutschbahn.png (1.91 KiB) 435-mal betrachtet

Der blaue Viertelkreis mit einem Radius von 4444444444444 pm (Picometer) wird durch den roten Kreis abgestützt. D.h. der rote Kreis stellt ein Stützelement dar, das etwas in den Boden und die linke Wand eingelassen ist. Der rote Kreis berührt den blauen Kreis. Ferner geht der rote Kreis durch den Schnittpunkt der beiden senkrecht zueinander stehenden Tangenten des blauen Viertelkreises (schwarze Linien). Der Mittelpunkt des roten Kreises (grün gezeichnet) ist y pm oberhalb der horizontalen Tangente und x pm rechts von der vertikalen Tangente. Wie groß sind x und y, wenn beide Zahlen positiv und ganzzahlig sind und x >= y ist?

Als Hilfsmittel zur Lösung sind zugelassen:

    - Mathebücher oder Wiki
    - Ein einfacher Taschenrechner, der nicht programmierbar ist.
    - Zur Analyse von Zahlen die Seite: https://de.numberworld.info/
Spoilersperre ist festgelegt - Spoiler sind geöffnet
Start: Mittwoch 31. Mai 2017, 22:25
Ende: Samstag 3. Juni 2017, 22:25
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Re: Rutschbahn

Beitragvon gp3050 » Donnerstag 8. Juni 2017, 21:46

Ich habe mir in den letzten Tagen so lange den Kopf zerbrochen und mal hier noch eine kurze Frage, auch wenn ich glaube, dass es offensichtlich ist. Kann X größer gleich y sein, oder muss x zwingend größer als y sein, denn dann habe ich ne Idee mit Lösung usw.
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Re: Rutschbahn

Beitragvon Otmar » Donnerstag 8. Juni 2017, 22:15

gp3050 hat geschrieben:Kann X größer gleich y sein, oder muss x zwingend größer als y sein, denn dann habe ich ne Idee mit Lösung usw.

Die Bedingung x>=y habe ich nur aufgestellt, um die Lösung eindeutig zu machen, denn wenn x=a und y=b eine Lösung wäre, dann ist wegen der Symmetrie offenbar x=b und y=a auch eine Lösung. Ich glaube, dass nicht zu viel verraten wird, wenn ich sage, dass es keine Lösung mit x=y gibt.
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Re: Rutschbahn

Beitragvon Enigmemulo » Samstag 10. Juni 2017, 19:53

Ich habe mich mal an einer Lösung versucht ...

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rutschbahn.pdf
(91.11 KiB) 89-mal heruntergeladen
Zuletzt geändert von Enigmemulo am Sonntag 11. Juni 2017, 10:30, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: Rutschbahn

Beitragvon Otmar » Samstag 10. Juni 2017, 21:26

Hallo Enigmemulo,
interessanter Lösungsweg, ganz anders als meiner.

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Die letzte Bestimmungsgleichung für y ist m.E. OK, aber die Schlussfolgerung daraus passt nicht. Es müsste doch x < R/4 folgen und dann geht es anders weiter.


Viel Spaß, beim Rutschen!
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Re: Rutschbahn

Beitragvon Enigmemulo » Sonntag 11. Juni 2017, 10:33

Autsch...

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Das war ein Tippfehler (inzwischen geändert), natürlich folgt x<R/4, und nur dann gilt ja auch n>R/4, worauf das letze Argument aufbaut.
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Re: Rutschbahn

Beitragvon Otmar » Sonntag 11. Juni 2017, 20:14

@Enigmemulo

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Die Formeln passen jetzt alle, aber die Schlussfolgerung,
Da aber in R/2 kein Primteiler mehrfach vorkommt, müsste n doch komplett gegen R/2 kürzbar sein...

passt nicht, da R/4-x und R/2-x ja nicht teilerfremd sein müssen. (und in der gesuchten Lösung auch nicht sind)
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Rutschbahn

Beitragvon Enigmemulo » Sonntag 11. Juni 2017, 21:42

@Otmar
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da R/4-x und R/2-x ja nicht teilerfremd sein müssen.

Natürlich müssen sie nicht teilerfremd sein, aber jeder gemeinsame Teiler dieser beiden muss auch ein Teiler von R/4 sein.

Mein Denkfehler war, dass ich in R/2 einen doppelten Primteiler haben wollte und nicht in n. Wenn n=2*53*53*265371653 ist, kann sich die 53 einmal gegen R/2 und einmal gegen den Zähler kürzen und da 79<2*53 passen auch die Größen. Damit sind x=2*53*265371653*26 und y=566037735849.
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Re: Rutschbahn

Beitragvon Otmar » Sonntag 11. Juni 2017, 22:49

:super: jetzt passt alles und :glueckwunsch:

Deine Lösung gefällt mir sehr gut! Ich stell meine bei Gelegenheit noch ein.
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Re: Rutschbahn

Beitragvon Otmar » Sonntag 11. Juni 2017, 23:51

Anbei meine Lösung:

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Meine Lösung startet, wie die Lösung von Enigmemulo. Es sei r der Radius des roten Kreises und R der gegebene Radius der Rutschbahn. Dann ist r²=x²+y² und im rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse zwischen den beiden Kreismittelpunkten gilt (r+R)²=(R-x)²+(R-y)². Multipliziert man die zweite Gleichung aus und setzt die erste ein, erhält man:
r²+2rR+R²=R²-2Rx+x²+R²-2Ry+y²=2R²-2R(x+y)+r²
Subtrahiert man auf beiden Seiten r²+R² und dividiert durch 2R, dann erhält man:
r=R/2-(x+y) oder R/2=x+y+r. Da R/2 ganzzahlig ist und x und y ganzzahlig sein sollen, muss auch r ganzzahlig sein. Es sei nun g der größte gemeinsame Teiler von x, y und r und a=x/g, b=y/g und c=r/g. a, b und c sind ein primitives Pythagoreisches Tripel, für das auch gilt a²+b²=c². Es sind die Zahlen a, b und c auch paarweise teilerfremd, denn hätten beispielsweise noch zwei von ihnen den gemeinsamen Teiler t, dann wäre c²/t-a²/t-b²/t keine ganze Zahl also von 0 verschieden, was nicht sein kann. Also sind a und b nicht beide gerade. Aber a und b sind auch nicht beide ungerade, denn mit a=2k+1 und b=2l+1 wäre c²=4(k²+k+l²+l)+2 zwar durch 2 aber nicht durch 4 teilbar, was für eine Quadratzahl nicht zutreffen kann, weil dort der Primfaktor 2 in gerader Anzahl auftreten muss. Angenommen b sei ungerade (sonst sei b=x/g und a=y/g, und dann ist b ungerade), dann gibt es zwei Zahlen n=(c+b)/2 und m=(c-b)/2, die ganzzahlig sind, da b und c ungerade sind. Wegen n+m=c und n-m=b sind n und m auch teilerfremd, denn hätten sie einen gemeinsamen Teiler, dann wäre das auch ein gemeinsamer Teiler von b und c, die aber teilerfremd sind. Nun kann man auch a² durch n und m darstellen:
a²=c²-b²=(n+m)²-(n-m)²=4nm
Da nun n und m teilerfremd sind und 4 eine Quadratzahl ist, müssen n=u² und m=v² selbst Quadrate sein, weil in a²=4nm jeder Primfaktor in gerader Anzahl auftreten muss. Nun gilt für R/2:
R/2=g(a+b+c)=g(2uv+u²-v²+u²+v²)=2gu(u+v). Da nach Definition von oben m kleiner ist als n ist auch v kleiner als u. Dann passt in der Primfaktorzerlegung
R/2=2*53*79*265371653 nur die Zuordnung:
g=265371653, u=53, u+v=79 ---> v=79-53=26
Also x=g(2*u*v)=g*2756 und y=g(u²-v²)=g*2133. Damit ist auch x > y und es braucht nicht getauscht werden.
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