Meine Lösung startet, wie die Lösung von Enigmemulo. Es sei r der Radius des roten Kreises und R der gegebene Radius der Rutschbahn. Dann ist r²=x²+y² und im rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse zwischen den beiden Kreismittelpunkten gilt (r+R)²=(R-x)²+(R-y)². Multipliziert man die zweite Gleichung aus und setzt die erste ein, erhält man:
r²+2rR+R²=R²-2Rx+x²+R²-2Ry+y²=2R²-2R(x+y)+r²
Subtrahiert man auf beiden Seiten r²+R² und dividiert durch 2R, dann erhält man:
r=R/2-(x+y) oder R/2=x+y+r. Da R/2 ganzzahlig ist und x und y ganzzahlig sein sollen, muss auch r ganzzahlig sein. Es sei nun g der größte gemeinsame Teiler von x, y und r und a=x/g, b=y/g und c=r/g. a, b und c sind ein primitives
Pythagoreisches Tripel, für das auch gilt a²+b²=c². Es sind die Zahlen a, b und c auch paarweise teilerfremd, denn hätten beispielsweise noch zwei von ihnen den gemeinsamen Teiler t, dann wäre c²/t-a²/t-b²/t keine ganze Zahl also von 0 verschieden, was nicht sein kann. Also sind a und b nicht beide gerade. Aber a und b sind auch nicht beide ungerade, denn mit a=2k+1 und b=2l+1 wäre c²=4(k²+k+l²+l)+2 zwar durch 2 aber nicht durch 4 teilbar, was für eine Quadratzahl nicht zutreffen kann, weil dort der Primfaktor 2 in gerader Anzahl auftreten muss. Angenommen b sei ungerade (sonst sei b=x/g und a=y/g, und dann ist b ungerade), dann gibt es zwei Zahlen n=(c+b)/2 und m=(c-b)/2, die ganzzahlig sind, da b und c ungerade sind. Wegen n+m=c und n-m=b sind n und m auch teilerfremd, denn hätten sie einen gemeinsamen Teiler, dann wäre das auch ein gemeinsamer Teiler von b und c, die aber teilerfremd sind. Nun kann man auch a² durch n und m darstellen:
a²=c²-b²=(n+m)²-(n-m)²=4nm
Da nun n und m teilerfremd sind und 4 eine Quadratzahl ist, müssen n=u² und m=v² selbst Quadrate sein, weil in a²=4nm jeder Primfaktor in gerader Anzahl auftreten muss. Nun gilt für R/2:
R/2=g(a+b+c)=g(2uv+u²-v²+u²+v²)=2gu(u+v). Da nach Definition von oben m kleiner ist als n ist auch v kleiner als u. Dann passt in der Primfaktorzerlegung
R/2=2*53*79*265371653 nur die Zuordnung:
g=265371653, u=53, u+v=79 ---> v=79-53=26
Also x=g(2*u*v)=g*2756 und y=g(u²-v²)=g*2133. Damit ist auch x > y und es braucht nicht getauscht werden.
