R = 4444444444444
w(x^2+y^2) = w((R-x)^2+(R-y)^2)-R
x^2 + y^2 = R^2 + x^2 - 2Rx + R^2 + y^2 - 2Ry + R^2 - 2Rw(...)
2Rw(...) = 3R^2 - 2Rx - 2Ry
2w(...) = 3R - 2x - 2y
4(R^2 + x^2 - 2Rx + R^2 + y^2 - 2Ry) = 9R^2 +4x^2 + 4y^2 -12Rx - 12Ry + 8xy
4Rx + 4Ry = R^2 + 8xy
4x + 4y = R + 8xy/R
mit K = 1111111111111
x + y = K + xy/(2K)
2K = 2222222222222 = 2 * 53 * 79 * 265371653
Mindestens eine von beiden Zahlen ist durch 265371653 teilbar. Nehmen wir mal an, das sei X und tauschen x und y hinterher, wenn notwendig.
y = (R^2 - 4Rx)/(4R - 8x) = (2K^2 - 2Kx)/(2K - x)
= (2 * (53 * 79 * 265371653)^2 - (2 * 53 * 79 * 265371653)n*265371653)/((2 * 53 * 79 * 265371653) - n*265371653)
= (2 * (53 * 79)^2 * 265371653 - (2 * 53 * 79 * 265371653)n)/((2 * 53 * 79) - n)
= 2 * 53 * 79 * 265371653 * ((53 * 79) - n)/((2 * 53 * 79) - n)
= 2 * 53 * 79 * 265371653 * (53 * 79 - n)/(53 * 79 + 53 * 79 - n)
n liegt zwischen 0 (x größer/gleich 0) und 53 * 79 (y größer/gleich 0).
Wenn (53 * 79 - n) und (53 * 79 + 53 * 79 - n) keinen gemeinsamen Teiler haben, dann muss 2 * 53 * 79 * 265371653 durch (53 * 79 + 53 * 79 - n) teilbar sein. Das geht nur, wenn n = 0 oder n = 53 * 79 ist. Das sind aber keine gültigen Lösungen.
Sei 53 * 79 - n = a*b, dann ist der Nenner 53 * 79 + a*b = a*c.
a kann nur 53 oder 79 sein.
1) a = 53, n = 53*m
(79-m) und (79+79-m) sind teilerfremd.
(79+79-m) liegt zwischen 79 und 158 und muss aus den Primfaktoren 2, 53 und 79 bestehen.
(79+79-m) = 2*53 = 106, m = 52, n = 2756, x = 731364275668, y = 566037735849
Lösung:
b) a = 79, n = 79*m
(53-m) und (53+53-m) sind teilerfremd.
(53+53-m) liegt zwischen 53 und 106 und muss aus den Primfaktoren 2, 53 und 79 bestehen.
(53+53-m) = 79, m = 27, n = 2133, x = 566037735849, y = 731364275668
