Nehmen wir an, Paula und Quinn können maximal l Ziffernpaare ziehen, bevor das Kino startet, und betrachten die n verschiedenen Zahlen z, die aus 2*l Ziffern gebildet werden können, als gleichwahrscheinlich. Unter diesen n Zahlen seien g Zahlen, bei denen Paula gewinnt. Ihre Gewinnwahrscheinlichkeit P ist dann g/n. Mit dieser Wahrscheinlichkeit gewinnt sie die fehlenden 671 Cent und mit der Wahrscheinlichkeit 1-P verliert sie ihre 79 Cent. Ihr erwarteter Gewinn G ist unten in Gleichung (16) notiert und wir müssen zeigen, dass dieser negativ ist. Und dazu müssen wir zeigen, dass P=g/n unabhängig davon, wie groß l von Paula gewählt wurde, eine gewisse Schranke nicht überschreitet.
Bevor das passiert wird festgestellt, dass bei einem Teil aller Quadratzahlen auch die letzten beiden Ziffern eine Quadratzahl bilden, Paula also bei diesen Quadratzahlen schon nach der ersten Ziehung gewonnen hat. Dazu stellen wir für jede Quadratzahl a² die Zahl a in der Form 10b + c dar mit b = 0, 1, … und c = 0, 1, …, 9. In folgender Grafik sehen wir Felder für die Zahlen a=10b+c, wobei c die Spalte und b die Zeile angibt. Für die eingefärbten Felder wird gezeigt, dass die letzten beiden Ziffern von a² bereits eine Quadratzahl sind:
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Blaue Felder:
a² = 100b²+20bc+c². Für c=0 oder c=5 ist a²=100(b²+bc/5)+c². Also sind die letzten beiden Ziffern entweder 0 oder 25.
Rote Felder:
Hier ist b=0 und a²=c² offenbar eine maximal zweistellige Quadratzahl.
Gelbe Felder:
Hier ist b=9 und 1<=c<=9. Also a=90+c=100-(10-c)=100-d mit d=10-c also 1<=d<=9.
Dann sind die letzten beiden Ziffern von a²=10000-200d+d²= 100(100-2d)+d² offenbar d² also auch eine zweistellige Quadratzahl.
Grüne Felder:
Ergeben sich, aus den roten und gelben Feldern, wenn zu b ein Vielfaches von 5 addiert wird.
a²=(10(b+5k)+c)²=(10b+c+50k)²=(10b+c)²+100k(10b+c)+2500k²=100(k(10b+c)+25k²)+(10b+c)²
Dabei ändern sich die letzten beiden Ziffern nicht.
Zählen wir ab, dann erkennen wir, dass in jedem Block von 100 aufeinanderfolgenden Quadratzahlen (beginnend bei b=0,10, 20, …) mindestens 52 Quadratzahlen bereits in den ersten beiden Ziffern eine Quadratzahl enthalten.
Nun zu den Formeln:
- paula_quinn_formeln.png (63.08 KiB) 973-mal betrachtet
1: Definiert die sogenannten Elementarereignisse z. Damit diese Elementarereignisse auch eintreten können, lassen wir Quinn und Paula immer (wenn nötig pro forma) alle l Ziehungen durchführen, egal ob Paula schon gewonnen hat oder fest steht, dass sie nicht mehr gewinnen kann. Das Weiterziehen ändert ja nichts an Paulas Gewinnwahrscheinlichkeit, vereinfacht aber die Beantwortung der Fragestellung.
2: k ist die Nummer der jeweiligen Ziehung eines Ziffernpaares.
3: Definiert die Anzahl möglicher Zahlen, die nach k Ziehungen gebildet werden können.
4: Definiert die Anzahl möglicher Quadratzahlen, die nach genau k Ziehungen gebildet werden können. Quadratzahlen, die schon vor der k-ten Ziehung auftraten sind nicht mehrfach gezählt. Aber es sind Quadratzahlen enthalten, die ggf. schon in einer früheren Ziehung zu Paulas Sieg geführt hatten. Z.B. bei k=2 ist 0225=15² eine hier mitgezählte Quadratzahl, obwohl in der ersten Ziehung offenbar schon die Quadratzahl 25 gezogen wurde.
5: h_k ist die Häufigkeit, mit der eine Quadratzahl, die in (4) gezählt wurde, bei allen Elementarereignissen als Zwischenergebnis nach der k-ten Ziehung auftreten wird.
6: Definiert die Anzahl g der für Paula günstigen Ereignisse. Hier sind u1, u2, … die Anzahlen derjenigen in (4) gezählten Quadratzahlen, die schon vor den k Ziehungen bereits Quadratzahlen waren und damit für Paulas Gewinn bereits in linksstehenden Termen mitgezählt sind. Für k=2 wäre z.B. 0004 oder 8649=93² in u2 mitgezählt, weil diese schon in der ersten Ziehung Quadratzahlen waren.
7..9: Definiert und berechnet Paulas Gewinnwahrscheinlichkeit durch Einsetzen des bereits Bekannten.
10: Abschätzung der u1, u2, … Werte. Da vor der ersten Ziehung Paula noch nicht gewonnen hat, ist u1=0. Die Abschätzung für weitere Ziehungen entnimmt man dann aus der Grafik. Das Gleichheitszeichen gilt für die gefärbten Werte also nur die Fälle, bei denen Paula schon in der ersten Ziehung gewonnen hat. Natürlich könnte auch eine Quadratzahl mit der Paula in einer späteren Ziehung gewinnt, in den Endziffern einer noch späteren Ziehung stehen. Z.B. wenn nach 3 Ziehungen 000121 gezogen wurde, dann ist diese Quadratzahl in u3 enthalten, aber in der Abschätzung nicht. D.h. u3 ist tatsächlich größer als 520.
11..17: Hier wird nur noch Bekanntes oder schon Besprochenes eingesetzt und ausgerechnet. Das Kleinerzeichen in (14) entsteht, weil 0,1111… als periodischer Dezimalbruch größer ist als die geklammerte endliche Summe in (13) in der ja nur l-1 Summanden stehen.
