Party Smalltalk Rätsel ist gelöst

Rätsel, die zum Lösen einen größeren Zeitaufwand erfordern, wie z. B. schwierige Physik- und Matherätsel.

Party Smalltalk

Beitragvon sennes » Donnerstag 20. Oktober 2016, 18:54

Auf einer Party sind 32 Personen. Es gibt 4 Gesprächsthemen, die an insgesamt 8 Tischen besprochen werden. Jedes der 4 Gesprächsthemen wird an jeweils 2 Tischen besprochen. An jedem Tisch sitzen 4 Personen. Nach einer Zeit von 15 Minuten wechselt jede Person den Tisch (und damit Gesprächsthema) und sucht sich eine neue Gruppe. Es werden insgesamt 4 Runden á 15 Minuten durchgeführt.

Ist es möglich für jeden Teilnehmer in jeder Runde ein neues Thema und eine neue Gruppe zu finden (sprich, jede Paarung von Partyteilnehmern sieht sich über alle Runden jeweils nur einmal)?

Falls ja, wie sieht eine Lösung aus?
Spoilersperre ist festgelegt - Spoiler sind geöffnet
Start: Donnerstag 20. Oktober 2016, 18:54
Ende: Freitag 21. Oktober 2016, 18:54
Aktuell: Donnerstag 20. Juni 2019, 23:22
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Re: Party Smalltalk

Beitragvon Otmar » Samstag 22. Oktober 2016, 21:22

@sennes, kannst du das oben stehende etwas besser formulieren!

sennes hat geschrieben:Nach einer Zeit von 15 Minuten wechselt jede Person den Tisch (und damit Gesprächsthema)


Ist doch eher andersrum, wenn das Gesprächsthema gewechselt wird muss auch der Tisch gewechselt werden. Wenn nur der Tisch gewechselt wird, folgt daraus nicht, dass am neuen Tisch ein neues Thema dran ist, denn
sennes hat geschrieben:Jedes der 4 Gesprächsthemen wird an jeweils 2 Tischen besprochen.


Der Begriff "Gruppe" wird verwendet, aber nicht definiert. Ist eine Gruppe immer die Menge der Leute, die über das gleiche Thema spricht? Oder ist die Menge der Leute an einem Tisch eine Gruppe? Was ist die Bedingung, dass eine Gruppe neu ist?

sennes hat geschrieben:Ist es möglich für jeden Teilnehmer in jeder Runde ein neues Thema und eine neue Gruppe zu finden (sprich, jede Paarung von Partyteilnehmern sieht sich über alle Runden jeweils nur einmal)?


Das was in Klammern steht, ist m.E. eine völlig neue Information, sie lässt sich doch aus dem vorher geschriebenen nicht ableiten?
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Party Smalltalk

Beitragvon Neuling » Sonntag 23. Oktober 2016, 09:29

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Ja, es geht!
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Re: Party Smalltalk

Beitragvon Neuling » Sonntag 23. Oktober 2016, 10:10

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A1, A2, B1, B2, C1, C2, D1, D2 sind die Tische, wobei gleicher Buchstabe gleiches Thema bedeutet.

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Re: Party Smalltalk

Beitragvon MadMac » Dienstag 25. Oktober 2016, 13:29

Die Frage ist, was ist unter "Gruppenwechsel" zu verstehen. Bedeutet der Austausch eines Gesprächesgruppenmitgliedes eine neue Gruppe, oder sitzt jeder ausnahmslos immer mit komplett anderen Gesprächspartnern am Tisch?

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Für die 2. Variante geht es so:

A, B, C, D = Themen (je zwei Tische, übereinander eingetragen).
a11 bis b24 = Gesprächsteilnehmer.
Jeder nimmt genau einmal an jedem Thema teil, und jeder sitzt mit niemandem zweimal am gleichen Tisch.

A   B   C   D
a11 b11 c11 d11
a12 b12 c12 d12
a13 b13 c13 d13
a14 b14 c14 d14
A B C D
a21 b21 c21 d21
a22 b22 c22 d22
a23 b23 c23 d23
a24 b24 c24 d24

A B C D
d21 a21 b21 c21
d12 a12 b12 c12
c23 d23 a23 b23
c14 d14 a14 b14
A B C D
d11 a11 b11 c11
d22 a22 b22 c22
c13 d13 a13 b13
c24 d24 a24 b24

A B C D
c11 d11 a11 b11
b12 c12 d12 a12
b23 c23 d23 a23
d14 a14 b14 c14
A B C D
c21 d21 a21 b21
b22 c22 d22 a22
b13 c13 d13 a13
d24 a24 b24 c24

A B C D
b11 c11 d11 a11
c12 d12 a12 b12
d23 a23 b23 c23
b24 c24 d24 a24
A B C D
b21 c21 d21 a21
c22 d22 a22 b22
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Re: Party Smalltalk

Beitragvon Otmar » Dienstag 25. Oktober 2016, 23:37

Zweiter Anlauf:

Gruppe = Vier Gäste an einem Tisch in einer Runde.
Den Begriff neue Gruppe braucht man nicht, wenn über alle Runden jedes Paar von Gästen höchstens in einer Gruppe zusammentraf. Das sei die "Einmalbedingung".

Mehr ->
Vereinfachend sei angenommen, dass jeder Tisch einen Platz im Norden, einen im Osten, einen im Süden und einen im Westen hat. Es gibt nun Lösungen, bei denen die Gäste in allen Runden in gleicher Himmelrichtung sitzen. Man kann solche Lösungen sehr schön finden, wenn man zum Erzeugen der Sitzordnung die bitweise XOR Verknüpfung auf die Nummer n = 0..7 der Gäste einer Himmelsrichtung (Nordgäste, Ostgäste, ...) verwendet. Die acht Tische seinen von t = 0..7 nummeriert und in jeder Runde legt man für jede Himmelrichtung eine Zahl z = 0..7 fest, so dass mit t = n XOR z die acht Leute n = 0..7 einer Himmelsrichtung auf die acht Tische verteilt werden.

Einmalbedingung


Offenbar sind niemals zwei Gäste einer Himmelsrichtung in einer Gruppe, denn sonst müssten z.B. zwei Stühle an der Nordseite eines Tisches stehen. Angenommen die Einmalbedingung wäre für Gäste aus verschiedenen Himmelsrichtungen verletzt.
ZB. Nordgast n und Südgast m sitzen in Runde 1 und 3 zusammen in einer Gruppe.
t  = n XOR z(N,1) = m XOR z(S,1)  ---> n XOR m = z(N,1) XOR z(S,1)
t' = n XOR z(N,3) = m XOR z(S,3) ---> n XOR m = z(N,3) XOR z(S,3)
---> z(N,1) XOR z(S,1) = z(N,3) XOR z(S,3) (**)

Genau dann, wenn Gleichung (**) nie (für keine zwei verschiedene Himmelrichtungen und keine zwei verschiedenen Runden) erfüllt ist, wird die "Einmalbedingung" erfüllt.

Jetzt kann man geeignete z Werte für jede Runde und Himmelsrichtung suchen. Mit nur 3 Himmelsrichtungen z.B. Norden, Osten und Süden ist es nicht schwer.
Runde: 1, 2, 3, 4 
N = {0, 1, 2, 3}
O = {0, 2, 3, 1}
S = {0, 3, 1, 2}

Offenbar ist N XOR O = S wobei die XOR Verknüpfung paarweise auf die Vektorkomponenten der Vektoren N und O angewendet wird.
Dann gilt auch N XOR S = O und O XOR S = N. Da nun die Komponenten jedes Vektors auf der rechten Seite der letzten drei Gleichungen
verschieden sind, wird Gleichung (**) nie erfüllt.
Fährt man mit
W  =  {0, 1, 3, 2}
fort dann erhält man:
N XOR W = {0, 0, 1, 1}
O XOR W = {0, 3, 0, 3}
S XOR W = {0, 2, 2, 0}

Hier wird (**) für jede Kombination mit W, genau zweimal erfüllt. Das kann man beheben, wenn man an geeigneten Komponenten in N, O und W eine 4 addiert:
Runde: 1,   2,   3,   4 
N = {0, 4+1, 2, 4+3}
O = {0, 2, 4+3, 4+1}
S = {0, 3, 4+1, 4+2}
W = {0, 1, 3, 2}

Durch die Addition der 4 bleibt die Einmalbedingung zwischen N, O und S weiterhin erfüllt und nun ist sie auch für alle Kombinationen mit den Westgästen erfüllt.

Themen

Nun muss noch geprüft werden, ob jedes Thema von jedem Gast besprochen wurde. Wenn an Tisch t und Tisch t+4 über das gleiche Thema gesprochen wird, erwischt jeder Gast jedes Thema, da jeder Vektor N, O, S und W in den vier Komponenten alle 4 Bitkombinationen der beiden niederwertigen Bits enthält. Das hab ich natürlich schon vorher berücksichtigt und nur solche Vektoren N, O, S und W ausprobiert. Da man die Sitzordnung mit den unten gefundenen Vektoren N, O, S und W ausrechnen kann, erspare ich mir, diese hier aufzuschreiben.
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Party Smalltalk

Beitragvon sennes » Freitag 28. Oktober 2016, 16:44

Hallo Otmar, Neuling und MadMac,

ich bin beeindruckt wie ihr diesem Problem begegnet seid. Ein bisschen mehr zum Hintergrund: dieses Rätsel entstammt einem Problem aus dem wahren Leben. Wir möchten tatsächlich eine solche Veranstaltung durchführen und haben dann bei der Planung bemerkt, dass die Sitzordnung gar nicht so trivial ist, wie sie auf den ersten Blick scheint.. (für euch Rätsel-Cracks aber vielleicht doch!??)

Lieber Otmar, gute Anmerkungen. Ich habe mir bei der Definition des Problems Mühe gegeben, muss aber eingestehen, dass die Definition noch nicht ganz sauber war. Zum Glück hast du es richtig interpretiert, jede Paarung von Teilnehmern soll es maximal einmal geben. Jeder Teilnehmer spricht über jedes der vier Themen.

Lieber Neuling, aus meiner Sicht ist die Lösung korrekt.

Lieber MadMac, das ist nach meiner Einschätzung auch korrekt.

@all Eine Steigerung des Rätsels wäre vielleicht noch zu berechnen wie viele Sitzordnungen es gibt, die alle Bedingungen erfüllen? Für die Pros... =)
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Re: Party Smalltalk

Beitragvon Otmar » Dienstag 1. November 2016, 18:03

Eine Anmerkung hatte ich noch vergessen:

@sennes :welcome:

Ob die Berechnung aller Sitzordnungen ohne Computerhilfe geht, kann ich nicht beurteilen. Aber du könntest noch 8 weitere Gäste einladen und Tische mit 5 Stühlen aufstellen. Das wäre noch einfach zu lösen.
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Party Smalltalk

Beitragvon sennes » Montag 14. November 2016, 18:55

Otmar hat geschrieben:Ob die Berechnung aller Sitzordnungen ohne Computerhilfe geht, kann ich nicht beurteilen. Aber du könntest noch 8 weitere Gäste einladen und Tische mit 5 Stühlen aufstellen. Das wäre noch einfach zu lösen.

Und wie sieht es mit 16 weiteren Gästen und Tische mit 6 Stühlen aus? Ich frage aus, sagen wir mal, sehr aktuellem Anlass :roll: :)
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Re: Party Smalltalk

Beitragvon sennes » Dienstag 15. November 2016, 18:44

Ist wohl nicht so einfach lösbar, oder?
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