Man betrachte die Anzahl der verbleibenden und wegzunehmende Streichhölzer modul 5.
Die Mengen {0,2,4} und {1,3} haben keine gleichen Elemente und ihre Vereinigung ist die Menge aller möglichen Reste mod 5.
1 mod 5 = 1
4 mod 5 = 4
11 mod 5 = 1
19 mod 5 = 4
(A) Wer einen Rest aus {0,2,4} vorfindet, kann dem Gegenspieler immer einen Rest aus {1,3} vorlegen:
0 - 4 = 1 (immer möglich, da entweder 0 oder >=5 Streichhölzer übrig waren)
2 - 1 = 1 (2 - 4 = 3 s. Bem.)
4 - 1 = 3
(B) Wer einen Rest aus {1,3} vorfindet, lässt dem Gegenspieler immer einen Rest aus {0,2,4}.
Nachweis durch Subtraktiontabelle:
- 1 3
1 0 2
4 2 4
Die Spieler finden also bei optimalem Spiel immer einen Rest aus der gleichen Untermenge ({0,2,4} bzw. {1,3})
wie bei ihrem ersten Zug.
Da die Reste von 0 und 2000 beide in {0,2,4} liegen, gewinnt A mit Strategie (A).
Bem:
A braucht nach obiger Strategie eigentlich nur 1 oder 4 wegnehmen, eine Zahl mit gleichem Rest mod 5 ist aber auch ok.
Ist die Anzahl der verbliebenen Streichhölzer = 2 (mod 5) kann A sogar frei aus {1,4,11,19} wählen.
(Natürlich immer vorausgesetzt, dass überhaupt noch so viele Streichhölzer dort liegen.)A kann das auch praktisch recht gut spielen, da er sich ja nur die Anzahl der bereits gezogenen Strichhölzer mod 5,
also nur eine Zahl zw. 0 und 4, merken (und natürlich bei jedem Zug aktualisieren) muss. Bei Rest 0 nimmt er dann 4, sonst 1.