Kugelspiel Rätsel ist gelöst

Rätsel, die zum Lösen einen größeren Zeitaufwand erfordern, wie z. B. schwierige Physik- und Matherätsel.

Re: Kugelspiel

Beitragvon Neuling » Mittwoch 21. März 2018, 00:19

@Otmar
Mehr ->
"Gefühlt" könnte die Gewinnsituation auch 3 zu 2 sein. Dies widerspricht aber deiner letzten Äußerung, denn 30 Cent zu 20 Cent könnte man ja noch kürzen.
Bei den Spielanfängen A (11222), E (21122), H (22112) und J (22211) haben Anton und Berta "zunächst" die gleiche Gewinnchance.
Bei Beginn B (12122) oder I (22121) hat Anton eine Gewinnchance von 50%.
Bei Beginn C (12212) oder G (21221) hat Berta eine Gewinnchance von 50%.

Gewinnt Anton bei B und I nicht, haben Anton und Berta wieder die gleiche Gewinnchance, da die Spielsituation dann A oder J ist.
Gewinnt Berta bei C und G nicht, hat Anton jeweils eine erneute 50% Chance (50% von 50% = 25%).

Ergibt 75 zu 50 oder gekürzt 3 zu 2.
:?:
Neuling
Superhirn
Superhirn
 
MitgliedsjahreMitgliedsjahreMitgliedsjahreMitgliedsjahreMitgliedsjahre
 
Beiträge: 14492
Themen: 501
Registriert: Sonntag 30. Dezember 2012, 23:46
Geschlecht: weiblich

Re: Kugelspiel

Beitragvon Otmar » Mittwoch 21. März 2018, 02:01

:tipp:
Mehr ->
Neuling hat geschrieben:Gewinnt Anton bei B und I nicht, haben Anton und Berta wieder die gleiche Gewinnchance, da die Spielsituation dann A oder J ist.Gewinnt Berta bei C und G nicht, hat Anton jeweils eine erneute 50% Chance (50% von 50% = 25%).

Versuch das mal in Formeln zu schreiben. Also schreibe eine Unbekannte für die Gewinnchance (z.B. für Anton) einer jeden Spielsituation und verknüpfe diese Unbekannten mit den beiden Gewinnchancen der neue Spielsituation, die sich aus der vorherigen ergeben. Diese Unbekannten sollten sich dann mit den Verknüpfungen (Gleichungen) berechnen lassen. Noch etwas sparen kannst du, wenn du von vornherein spiegelsymmetrischen Spielsituationen die gleiche Gewinnchance für einen Spieler deiner Wahl einräumst.
Liebe Grüße, Otmar.
Benutzeravatar
Otmar
Schlaumeier
Schlaumeier
 
MitgliedsjahreMitgliedsjahreMitgliedsjahreMitgliedsjahreMitgliedsjahreMitgliedsjahre
 
Beiträge: 1605
Themen: 118
Registriert: Dienstag 10. Mai 2011, 22:10
Wohnort: München
Geschlecht: männlich

Re: Kugelspiel

Beitragvon Neuling » Mittwoch 21. März 2018, 20:51

@Otmar
Mehr ->
Ich stehe wieder am Anfang - und Formeln erstellen kann ich nicht.
Ich weiß zwar, wie sich D und F entwickeln, aber mehr auch nicht.
Sowohl D, als auch F werden als Summe aus den beiden vorherigen Werten gebildet, allerdings mit Besonderheiten:
Bei D zweimal hintereinander "-2" und zweimal hintereinander "+2"
Bei F im Wechsel "-2", "-0", "+2", "+0" ---> (-0 und +0 habe ich nur geschrieben, um es besser mit D vergleichen zu können.)
In der Tabelle habe ich es mal verdeutlicht.

Kugelspiel Abb. 3.png
Kugelspiel Abb. 3.png (6.27 KiB) 64-mal betrachtet

Das Verhältnis von D zu F pendelt sich auf etwa 1,618 (?) ein. Aber das hatte ich ja schon mal erwähnt. Und wenn dieser Wert nicht das Gewinnverhältnis widerspiegelt, dann weiß ich nicht, was dieser Wert besagt.

Was man auch aus der Tabelle ersehen kann, dass D(n) = F(n) + F(n-1) ist. Aber damit kann ich auch nichts anfangen.

Neue Ideen habe ich nicht, daher warte ich jetzt, bis du oder wer auch immer, die Lösung hier "erklärt".
Neuling
Superhirn
Superhirn
 
MitgliedsjahreMitgliedsjahreMitgliedsjahreMitgliedsjahreMitgliedsjahre
 
Beiträge: 14492
Themen: 501
Registriert: Sonntag 30. Dezember 2012, 23:46
Geschlecht: weiblich

Re: Kugelspiel

Beitragvon Otmar » Donnerstag 22. März 2018, 22:24

Na dann hoffe ich, dass ich die Lösung verständlich aufgeschrieben habe:
Mehr ->
Zur Lösung wird von allen möglichen Zuständen ausgegangen, in denen bereits 4 Kugeln im Gerät sind. Nach Einwurf der fünften Kugel gibt es dann entweder einen Gewinner oder die mittlere Kugel wird entnommen und man hat wieder einen vier Kugel Zustand. Für jeden dieser Zustände wird die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass Anton gewinnt. Wegen der Rechts-Links-Spiegelsymmerie des Gerätes, des Zufalls und der beiden Gewinnstellungen müssen die Wahrscheinlichkeiten für Antons Sieg ausgehend von zwei spiegelsymmetrischen Stellungen gleich sein. Deshalb werden spiegelsymmetrische Stellungen von vornherein auch als gleich betrachte und es gibt noch 6 verschiedene Anfangszustände A, B, C, D, E und F zu untersuchen:

A = SWWW oder WWWS
B = WSWW oder WWSW
C = SSWW oder WWSS
D = SWSW oder WSWS
E = SWWS
F = WSSW

Für A, B, C und D wird immer die linken Stellungen betrachtet. Die rechten sind nur mit angegeben, falls mal eine rechte Stellung entsteht. Bildlich kann man in so einem Fall das Gerät einfach um 180 drehen, so dass die Seiten vertauscht sind oder auf die andere Seite laufen und dort weiterspielen.

Wenn bei A = SWWW die fünfte Kugel, das ist eine schwarze, nach rechts fällt, entsteht Antons Gewinnanordnung. Fällt sie nach links, hat noch keiner gewonnenund die mittlere Kugel kommt raus. Es entsteht SSWW = C.

D.h. wenn A bereits im Gerät ist, dann ist Antons Gewinnwahrscheinlichkeit P(A) = 1/2 + 1/2*P(C). Dabei sei P(C) Antons Gewinnwahrscheinlichkeit, wenn C im Gerät ist. Schreibt man abkürzend für Antons Gewinnwahrscheinlichkeiten, für den Fall, dass bereits der Zustand X im Gerät ist, die Kleinbuchstaben der Zustände, also x = P(X) und multipliziert die Gleichung mit 2, dann enhält man die einfache Relationen:

2a = 1+c.

Genau so macht man das jetzt für B, C und D:
2b = a+d (Bei D wurde gespiegelt.)
2c = b+c
2d = 0+a (Bei der Gewinnmöglichleit für Berta habe ich die 0 für Antons Gewinnwahrscheinlichkeit explizit stehen lassen.)

Und daraus erhält man, beginnend von unten, a=2d, b=c, 2b=2c=a+d=2d+d=3d, 2a=4d=1+c=1+3/2*d ---> 8d=2+3d ---> d=2/5.
Und das Einsetzen: a=4/5, b=c=3/5.

Nun kann man noch Relationen für die Zustände E und F machen:
2e = d+d ---> e=d=2/5
2f = b+b ---> f=b=3/5

Jetzt braucht man nur noch die Anfangswahrscheinlichkeit dafür, dass ein Zustand nach Einwerfen von vier Kugeln aus der Urne entstanden ist. Wem nicht sofort klar ist, dass jede der 10 möglichen Anordnungen gleichwahrscheinlich ist, kann sich das z.B. so überlegen:

Dazu nummeriere man die Kugeln von 1 bis 5, ziehe vier davon zufällig aus der Urne und werfe sie nacheinander ins Gerät. Der Weg der ersten Kugel ist egal, die Wege der anderen drei haben einen Einfluß auf die Anordnung im Gerät. Beim Herausnehmen der ersten 4 Kugeln mit Nummer gibt es 5!=120 Möglichkeiten. Für die Wegekombinationen der zweiten, dritten und vierten Kugel gibt es 8 Möglichkeiten. Machen wir für alle Wegekombination und alle Urnenziehungen insgesamt 8*120 Versuche. Betrachtet man alle 120 Versuche für eine spezielle der 8 Wegkombination, dann permutiert diese spezielle Wegkombination die anfängliche Zugfolge immer auf die gleiche Art und Weise. Da so eine Permutation aber umkehrbar ist, heißt das, dass auch im Gerät 120 verschiedene Anordnungen für diese spezielle Wegkombination entstanden sind. Also entsteht bei 8*120 Versuchen jede mögliche Anordnung der von 1 bis 5 nummerierten Kugeln genau 8 mal, ist also gleichwahrscheinlich. Für uns sind aber nicht die Nummern wichtig, sondern nur die Farben. Zu einer Farbkombination gehören genau 2 * 6 = 12 Nummernkombinationen, da man die schwarzen Kugeln tauschen kann (2 Möglichkeiten) und auch unabhängig davon die drei weißen Kugeln (6 Möglichkeiten). D.h. eine Farbkombination tritt mit Wahrscheinlichkeit 12 / 5! = 1/10 auf.

Und jetzt zum Finale:

Antons Gewinnwahrscheinlichkeit ist:

1/10 * ( 2 * (a + b + c + d) + e + f) = 1/10 * (2 * (4/5 + 3/5 + 3/5 + 2/5) + 2/5 + 3/5) = 29/50.

Wenn nicht Anton gewinnt, dann Berta mit Wahrscheinlichkeit 21/50. D.h. das Spiel ist fair, wenn Anton 29 Cent und Berta 21 Cent in die Kasse legt und um 50 Cent gespielt wird. Weniger geht nicht.
Liebe Grüße, Otmar.
Benutzeravatar
Otmar
Schlaumeier
Schlaumeier
 
MitgliedsjahreMitgliedsjahreMitgliedsjahreMitgliedsjahreMitgliedsjahreMitgliedsjahre
 
Beiträge: 1605
Themen: 118
Registriert: Dienstag 10. Mai 2011, 22:10
Wohnort: München
Geschlecht: männlich

Vorherige

Zurück zu Harte Nüsse

Wer ist online?

Mitglieder in diesem Forum: 0 Mitglieder und 2 Gäste