Kimme und Korn Rätsel ist gelöst

Rätsel, die zum Lösen einen größeren Zeitaufwand erfordern, wie z. B. schwierige Physik- und Matherätsel.

Kimme und Korn

Beitragvon Otmar » Samstag 1. Juli 2017, 00:53

Ein Gärtner konstruierte auf einer großen Wiese ein rechtwinkliges Dreieck nach dem anderen. Alle Dreiecke hatten Kantenlängen im Verhältnis 3:4:5. Immer wenn ein Dreieck fertig war, konstruierte er ein neues Dreieck, so dass die Hypotenuse des letzten fertigen Dreiecks und die lange Kathete des neuen Dreiecks identisch waren. Sonst hatten die beiden Dreiecksflächen keine gemeinsamen Punkte. Die Scheitel der kleinsten Innenwinkel fielen alle auf den Punkt O. Die Scheitelpunkte der rechten Winkel wurden nacheinander mit P1, P2, P3,… bezeichnet. Nachdem der Gärtner bereits eine große Anzahl solcher Dreiecke konstruiert hatte, kam Jesse James und übte mit seiner neuen Laserpistole schießen. Dabei nutze er irgendwelche zwei der Punkte P1, P2, P3, …. Einer war Kimme, der andere Korn. Und dann fiel der Übungsschuss. Der Gärtner flüchtete zu Punkt O und hoffte, dass er nicht zufällig getroffen wird.

Ist der Gärtner sicher?

Natürlich ist der Gärtner punktförmig und die Schuss verläuft auf einer Geraden. Und um das Rätsel mit einfachen Rechnungen und ohne Literaturstudie oder über den Schulstoff reichenden Wissen lösen zu können, sei gesagt:
In einem beliebigen kartesischen Koordinatensystem mit Ursprung O kann man die Koordinaten x‘ und y‘ der Punktes P2 aus den Koordinaten x und y des Punktes P1 mit den beiden Formeln x‘=x-3y/4 und y‘=y+3x/4 berechnen.
Spoilersperre ist festgelegt - Spoiler sind geöffnet
Start: Samstag 1. Juli 2017, 00:53
Ende: Dienstag 4. Juli 2017, 00:53
Aktuell: Donnerstag 20. Juni 2019, 23:07
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Kimme und Korn

Beitragvon Neuling » Samstag 1. Juli 2017, 13:58

Mal ein paar Gedanken dazu:
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Im Prinzip ist der Gärtner im Punkt O sicher.
Die entstehenden Dreiecke haben im Punkt O alle den gleichen Winkel von sin (Alpha) = 3/5. Das sind rund 36,87 Grad.
Das 10. Dreickeck "überlappt" dann schon zum Teil das 1. Dreieck. (Ist doch erlaubt oder ...? Nur zwei benachbarte Dreiecke dürfen laut Aufgabenstellung nur eine gemeinsame Seite haben.) Damit ein Schuß über den Punkt O geht, müssten 2 Dreiecksseiten zueinander einen Winkel von 180 Grad haben.
Grob gerechnet 36,87° * x = 180° * y mit ganzzahligen Werten für x und y. ---> x = 6000; y = 1229
D. h. Könnte der Gärtner 6000 Dreiecke abstecken und gäbe es keine Erdkrümmung und müsste man auch keine Flugbahn berechnen, so wäre er ab dem 6000. Dreieck auch im Punkt O nicht mehr sicher. ---> oder ich habe einen Denkfehler in meinen Überlegungen!?

Wenn das erste Dreieck eine Kathete von 4 Metern hätte, so müsste das 6000. Dreieck eine Kathete von
4 * [1,25 hoch 5999] Metern haben.
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Re: Kimme und Korn

Beitragvon Otmar » Samstag 1. Juli 2017, 23:08

@Neuling,
zu deiner Frage, ob das 10. Dreieck das erste überlappen darf: Ja, natürlich, sonst ist wäre ja beim 10. Dreieck schon Schluss und das Rätsel recht leicht.

Zu weiteren Fragen:
Die Flugbahn ist immer eine Gerade. Die Wiese ist eine unendliche Ebene, Erdkrümmung spielt keine Rolle. Der Gärtner ist erst dann sicher, wenn es überhaupt keine zwei "denkbaren" Punkte gibt, die gemeinsam mit O auf einer Geraden liegen. Ich hatte mir das auch so gedacht, dass der Gärtner zwischen Kimme und Korn sicher ist und der Laserstrahl aus der Pistole erst beim Korn austritt, d.h. die Pistole einen in der Länge verstellbaren Lauf hat. Aber du kannst es auch so annehmen, wie oben, da dieses Detail für die Lösung (jedenfalls für meine vorbereitete Lösung) keine Rolle spielt.
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Re: Kimme und Korn

Beitragvon Neuling » Sonntag 2. Juli 2017, 23:47

Neuer (alter) verkürzter Ansatz:
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Es spielt doch für die Lösung überhaupt keine Rolle, dass sich die Punkte Pi immer weiter von O entfernen. Ich hoffe ich irre mich da nicht, denn sonst sind alle folgenden Überlegungen hinfällig.

Also reduziere ich die Aufgabe mal wie folgt:
In einen Kreis mit dem Radius 5 cm konstruiere ich ein rechtwinkliges Dreieck und zwar auf einen (beliebig eingezeichneten) Radius und mit den Katheten 3 und 4 cm. Der kleinere Winkel liege im Mittelpunkt (= O) des Kreises. Der Punkt, der auf dem Kreisbogen liegt, sei P1. Nun lasse ich dieses Dreieck "rotieren" und zwar so, wie in der Aufgabenstellung vorgesehen. (Längere Kathete auf Hypotenuse = Radius drehen) Jeder neue Punkt Pi liegt dann auf dem Kreisbogen. Die Frage nun: Gibt es irgendwann mal zwei Punkte, die, miteinander verbunden, einen Durchmesser des Kreises bilden. Wenn ja, dann gibt es ab diesem Zeitpunkt beim weiteren Rotieren ständig neue derartige Punkte auf dem Kreisbogen, die sich mit einem bereits vorhandenen Punkt zu einem Durchmesser verbinden lassen.

Der Winkel des Dreieckes in O beträgt sin(Alpha) = 3/5 = 0,6 ---> Alpha = 36,87 °
Das bedeutet, dass das 10. Dreieck schon etwas auf dem 1. Dreieck liegt (10 * 36,87° = 368,7°) und das bedeutet auch, dass der Punkt P10 um 8,7° "verschoben" neben P1 liegt.

Jetzt bin ich aber bei meinen Überlegungen an der gleichen Stelle, wie in meinem ersten Kommentar auch.
Würde ich das erste Dreieck 6000 mal "verschieben" (verschieben eigentlich nur 5999 mal, aber die ersten 36,87° muss ich ja mitzählen), so würde es 36,87 *6000 = 221220 Winkelgrade "überrundet" haben. Zieht man davon 614 Vollkreise ab ---> 221220 - 614*360 = 180 --> bleiben 180 Winkelgrade übrig. Daraus schlussfolgere ich, dass das 6000. Dreieck im Bezug zum 1. Dreieck um 180° um O gedreht ist und damit gibt es ganz sicher eine Diagonale (und weitere folgen dann). ???

Das würde bedeuten, dass sich der Gärtner im Punkt O nicht sicher fühlen kann.

Eigentlich zu leicht für eine harte Nuss - also wird wohl irgendwo ein Denkfehler drin sein!?
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Re: Kimme und Korn

Beitragvon Neuling » Montag 3. Juli 2017, 13:16

Kleine Korrektur, die aber "zunächst" nicht die Aussage zur Sicherheit des Gärtners beeinflusst
(aber dann vielleicht doch ?).
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Es ist zwar richtig, dass das 10. Dreieck schon zum Teil auf dem 1. Dreieck liegt, aber erst die Hypotenuse des 11. Dreiecks "überrundet" den Punkt P1. Erst der Punkt P11 liegt daher um 8,7° neben P1.
Der Punkt Pi, der mit dem Punkt P1 einen Durchmesser bilden soll, muss um 180° von P1 entfernt liegen, das wäre dann insgesamt gesehen der Punkt P6001 (180° + 36,87°). ???

Die Schwachstelle bei meinen Überlegungen ist der Winkel. Habe ihn aus meiner alten Zahlentafel so abgelesen (ausgerechnet, gerundet auf 2 Nachkommastellen). Weiß nicht (mehr), wie man den exakt berechnen kann.
(Das Beispiel eines Winkels von 72° zeigt nämlich, dass jeweils um 72° "gedrehte" Winkelseiten zueinander nie eine Gerade bilden können.)

So, nun nochmal die Zahlentafel hervorgeholt und den Winkel "genauer" bestimmt. Dabei festgestellt, dass die Division in einer Periode "endet". Der exakte Winkel wäre dann 36,8714285714285...

Damit bin ich mit meinem Latein am Ende.
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Re: Kimme und Korn

Beitragvon Otmar » Montag 3. Juli 2017, 23:43

Hallo Neuling,
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Deine Überlegungen sind richtig, allerdings gibt es noch ein Problem mit der Genauigkeit. Wenn du den gerundeten Winkel annimmst, dann wird der Gärtner nicht sicher sein.

36,8714285714285... = 368/10 + 714285/9999990. Also nach 360 * 9999990 Dreiecken, gibt es zwei Punkte, die mit O auf einer Geraden liegen und der Gärtner wäre nicht sicher. Allerdings ist cos(36,8714285714285...) nicht ganz 4/5.

Im Prinzip muss begründet werden, dass arccos(4/5) in ° gemessen eine irrationale Zahl ist. Das wäre die mathematische Kurzform des Rätsels. Oft sind solche Beweise schwierig, aber in diesem speziellen Fall geht es relativ einfach, ohne Nachschlagewerke und ohne Taschenrechner. Das kleine Einmaleins reicht. Allerdings muss ein wenig gerechnet und probiert werden. Und man braucht vielleicht etwas Glück, um eine Idee zu finden, mit der es so einfach geht. Schematisch herleiten kann man die Lösung m.E. nicht. Allerdings wurden hier schon andere Rätsel mit diesem Trick gelöst, wenn ich mich nicht irre, hast du ihn auch woanders schon verwendet. So gesehen könnte man doch von einer systematischen Lösung durch gezieltes Probieren sprechen.
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Kimme und Korn

Beitragvon Otmar » Donnerstag 6. Juli 2017, 23:47

Zwei Korrekturen:
Otmar hat geschrieben:In einem beliebigen kartesischen Koordinatensystem mit Ursprung O kann man die Koordinaten x‘ und y‘ der Punktes P2 aus den Koordinaten x und y des Punktes P1 mit den beiden Formeln x‘=x-3y/4 und y‘=y+3x/4 berechnen.

Das ist nur dann richtig, wenn sich die Punkte P1, P2, P3, ... gegen den Uhrzeigersinn um O drehen. Im anderen Fall muss man spiegeln. Die beiden Gleichungen kann man auch ohne große Schwierigkeiten geometrisch nachvollziehen. Wenn mir das eher aufgefallen wäre, hätte ich sie weggelassen.
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Otmar hat geschrieben:Im Prinzip muss begründet werden, dass arccos(4/5) in ° gemessen eine irrationale Zahl ist.

Muss ich nochmal korrigieren. Zur Lösung des Rätsels braucht man keine Winkelfunktionen. Es ist andersrum. Nach der Lösung des Rätsels kann man das Ergebnis verwenden, um die Frage, ob arccos(4/5) in ° gemessen eine irrationale Zahl ist, zu beantworten.
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Kimme und Korn

Beitragvon MadMac » Dienstag 11. Juli 2017, 15:25

Nehmen wir mal an, x0 = 0 und y0 = 1

Der (äh ... wer?) ist sicher, wenn

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wir garantieren können, dass kein weiteres x(n) = 0 existiert, sonst gibt es eine Gerade, auf der der Schüze durch x(n) und x0 schießt und dabei den Ursprung O trift.

Durch die geschickte Wahl der Anfangskoordinaten (beliebig drehbar und streckbar, also betrachten wir immer noch den allgemeinen Fall) kann man rekursiv alle x(n) und y(n) berechnen
x1 = -3/4, y1 = 4/4
x2 = -24/4^2, y2 = 7/4^2
x3 = -117/4^3, y3 = -44/4^3
...
Um zu prüfen, ob ein x(n) mal wieder 0 wird, müssen wir nur die Zähler X(n) und Y(n) betrachten.

An den Zahlen lässt sich schnell ablesen (und beinahe trivial durch vollständige Induktion beweisen), dass X(n) IMMER durch 3 teilbar ist und Y(n) IMMER den Rest 1 (bzw. äquivalent -2) bei Division durch 3 hat. Y(N) wird also NIEMALS 0.

Damit liegt auf der Hand, dass das ERSTE X(n) = 0 nur auf einem ungeraden Index n auftreten kann. Sonst müsste entweder Y(n/2) = 0 sein oder X(n/2), womit X(n) nicht der ERSTE Treffer gewesen wäre.

Durch schärferes Hinschauen (und Beweis) lässt sich noch zeigen, dass X(n) = a(n)*9 - 3*n und Y(n) = b(n)*27 + 3*n + 1. Damit fallen viele Indizes n wieder als mögliche Kandidaten raus, und ich muss mich nur noch auf die Folge X3, X9, X15, X21 ... konzentrieren.

Dafür leite ich weiter ab, dass

X(n+6) = -11753 * X(n) + 10296 * Y(n)
Y(n+6) = -10296 * X(n) - 11753 * Y(n)

Durch Zufall und ein bisschen Blindfischen bin ich darauf gestoßen, dass

-11753 = c*17+11 und 10296 = d*17+11 ist. Das eröffnet keine Erfolgsaussichten bei der Restebetrachtung der X(n) und Y(n) bei Division durch 17:

X3|17 = 2, Y3|17 = 7
X9|17 = 14, Y917 = 4
X15|17 = 11, Y15|17 = 9
X21|17 = 16, Y21|17 = 12
X27|17 = 2, Y27|17 = 7

Und, siehe da, bei X27 und Y27 finden wir die gleichen Reste wie bei X3 und Y3. Hier setzt in der Reihenentwicklung eine Period in der Restebetrachtung an. Die Reste werden sich in immer gleicher Sequenz wiederholen. Ergo: X(3+6*n) hat immer einen Rest gegen 17. Es wird niemals 0.

Der (wer?) ist sicher.

P.S.: Die Periode lässt sich (mit dem Wissen, dass sie da sein muss) auch ab n = 9 für ALLE n zeigen. Bei n = 8 taucht aber der Rest 0 für X8 auf, ohne die Betrachtungen vorher hätte ich mich da wahrscheinlich ganz schön verheddert.


Gruß,
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Re: Kimme und Korn

Beitragvon MadMac » Dienstag 11. Juli 2017, 15:31

P.S.:

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Ich gehe davon aus, dass die 17 ein Zufallstreffer ist und dass viele Restebetrachtungen zum Ziel führen.

Suche ich nach diesem Prinzip weiter, stoße ich bei der 5 viel einfacher auf eine Lösung, denn hier sind die Reste für X0, Y0, X1, Y1, ...
2; 4
1; 2
3; 1
4; 3
2; 4

Die Perioder tritt viel früher ein, und, ganz praktisch, es kommt kein Rest 0 vor. Fertig. Und vielleicht ist die 5 als dritter Bestandteil des pythagoreischen Tripels hinter der Aufgabenstellung noch nicht mal ein Zufall.
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Re: Kimme und Korn

Beitragvon MadMac » Dienstag 11. Juli 2017, 15:45

der letzte Kommentar hat einen kleien Fehler:
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die Reste von X1, Y1, X2, Y2 .. bei division durch 5 sind ...
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