Kimme und Korn Rätsel ist gelöst

Rätsel, die zum Lösen einen größeren Zeitaufwand erfordern, wie z. B. schwierige Physik- und Matherätsel.

Re: Kimme und Korn

Beitragvon Otmar » Mittwoch 12. Juli 2017, 07:33

:glueckwunsch: :respekt: an MadMac.

Deine zweite Lösung entspricht auch meiner ersten Lösung. Habe aber fürs Forum noch eine kleine Modifikation, die ich bei Gelegenheit einstellen werde.

:winken:
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Kimme und Korn

Beitragvon MadMac » Mittwoch 12. Juli 2017, 08:01

@Otmar: Meine erste Lösung war wohl nur der Umweg um die zweite zu finden.

Wie bist Du denn drauf gekommen? Ähnlich? oder mit ner theoretischen Überlegung dahinter?
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Re: Kimme und Korn

Beitragvon Otmar » Mittwoch 12. Juli 2017, 22:35

Meine Lösung:
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Angenommen, der Gärtner kann getroffen werden, dann gibt es zwei Punkte Pm und Pn, die mit dem Punkt O auf einer Geraden liegen. Der zuerst konstruierte sei Pm. Dann drehe ich ein Koordinatensystem mit Ursprung O, so dass Pm rechts auf der x-Achse liegt und wähle als Längeneinheit den Abstand zwischen O und Pm. Die Koordinaten von Pm sind dann x(m)=1 und y(m)=0.

Die Aussage:
Otmar hat geschrieben:In einem beliebigen kartesischen Koordinatensystem mit Ursprung O kann man die Koordinaten x‘ und y‘ des Punktes P2 aus den Koordinaten x und y des Punktes P1 mit den beiden Formeln x‘=x-3y/4 und y‘=y+3x/4 berechnen.

gilt nicht nur für Punkte P1 und P2, sondern für beliebige aufeinanderfolgende Punkt Pk und Pl mit l=k+1, denn der Gärtner hätte ja auch mit dem Dreieck mit Pk anfangen können. Also kann man jetzt vom Punkt x(m)=1, y(m)=0 weiterrechnen bis zum Punkt Pn mit den Koordinaten x(n), y(n). Um die Division durch 4 loszuwerden kann man Werte X(k)=4^(k-m)*x(k) und Y(k)=4^(k-m)*y(k) betrachten, also bei jeder Rekursion nochmal mit 4 multiplizieren. Dann ist die Rekursion:
X(i+1)=4*X(i)-3*Y(i)
Y(i+1)=4*Y(i)+3*X(i)
und X(m)=1 und Y(m)=0.
Da O und Pm auf der x-Achse liegen, muss auch Pn auf der x-Achse liegen. D.h. y(n)=0 und Y(n)=4^(n-m) * y(n)=0. Die Rekursion und die Startwerte sind inzwischen ganzzahlig. Da Y(n)=0 ist, ist auch jede Ziffer von Y(n) gleich 0. Die Idee ist nun, sich auf die Einerziffer von Y(n) zu konzentrieren und zu prüfen, wann diese 0 wird. Da bei der Rekursion auch negative Zahlen entstehen, zerlegt man jede ganze Zahl z in:
z=10*s+r mit r=0,1,...,9
Beispiel: 222 = 10*22 + 2 oder -222=10*(-23) + 8
r ist also nur bei positiven Zahlen die Einerziffer, aber das ist jetzt nicht so wichtig. Die Einerziffer ist nur dann 0, wenn r = 0 ist. Jedenfalls hängen die r-Werte von X(i+1) und Y(i+1) nur von den r-Werten von X(i) und Y(i) ab. Die s Werte können wir während der Rekursion weglassen. Und jetzt beginnt die Fleißarbeit, die durch Weglassen der s Werte nicht ganz so schlimm ist:

X(m)=1
Y(m)=0

X(m+1)=4*1-3*0=4
Y(m+1)=4*0+3*1=3

X(m+2)=4*4-3*3=7
Y(m+2)=4*3+3*4=24 --> 4

X(m+3)=4*7-3*4=16 --> 6
Y(m+3)=4*4+3*7=37 --> 7

X(m+4)=4*6-3*7=3
Y(m+4)=4*7+3*6=46 --> 6

X(m+5)=4*3-3*6=-6 = 10*(-1) + 4 --> 4 = X(m+1)
Y(m+5)=4*6+3*3=33 --> 3 = Y(m+1)

und ab hier wiederholt sich das Ganze. D.h. Y(n) ist definitiv nicht 0, da für n>m die Einerstelle von Y(n) nicht 0 sein kann, was den gewünschten Widerspruch und Sicherheit für den Gärtner liefert.


Die Idee zu diesem Rätsel hatte ich, als ich auf eine Veröffentlichung von Jörg Jahnel, gestoßen bin. Er hat den Fall äußerst elegant und ganz allgemein, aber völlig anders als obige Lösungen, abgewickelt. Weiß nicht, ob das noch hier hin gehört, aber ich kenne Jörg aus meiner Schulzeit. Wir hatten einige Ferien gemeinsam verbracht und er hat mir damals schon mathematische Tricks und Kniffe beigebracht, obwohl er mindestens zwei Jahre jünger war als ich. Danke Jörg, für diesen schönen Beweis.
Liebe Grüße, Otmar.
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