Angenommen, der Gärtner kann getroffen werden, dann gibt es zwei Punkte Pm und Pn, die mit dem Punkt O auf einer Geraden liegen. Der zuerst konstruierte sei Pm. Dann drehe ich ein Koordinatensystem mit Ursprung O, so dass Pm rechts auf der x-Achse liegt und wähle als Längeneinheit den Abstand zwischen O und Pm. Die Koordinaten von Pm sind dann x(m)=1 und y(m)=0.
Die Aussage:
Otmar hat geschrieben:In einem beliebigen kartesischen Koordinatensystem mit Ursprung O kann man die Koordinaten x‘ und y‘ des Punktes P2 aus den Koordinaten x und y des Punktes P1 mit den beiden Formeln x‘=x-3y/4 und y‘=y+3x/4 berechnen.
gilt nicht nur für Punkte P1 und P2, sondern für beliebige aufeinanderfolgende Punkt Pk und Pl mit l=k+1, denn der Gärtner hätte ja auch mit dem Dreieck mit Pk anfangen können. Also kann man jetzt vom Punkt x(m)=1, y(m)=0 weiterrechnen bis zum Punkt Pn mit den Koordinaten x(n), y(n). Um die Division durch 4 loszuwerden kann man Werte X(k)=4^(k-m)*x(k) und Y(k)=4^(k-m)*y(k) betrachten, also bei jeder Rekursion nochmal mit 4 multiplizieren. Dann ist die Rekursion:
X(i+1)=4*X(i)-3*Y(i)
Y(i+1)=4*Y(i)+3*X(i)
und X(m)=1 und Y(m)=0.
Da O und Pm auf der x-Achse liegen, muss auch Pn auf der x-Achse liegen. D.h. y(n)=0 und Y(n)=4^(n-m) * y(n)=0. Die Rekursion und die Startwerte sind inzwischen ganzzahlig. Da Y(n)=0 ist, ist auch jede Ziffer von Y(n) gleich 0. Die Idee ist nun, sich auf die Einerziffer von Y(n) zu konzentrieren und zu prüfen, wann diese 0 wird. Da bei der Rekursion auch negative Zahlen entstehen, zerlegt man jede ganze Zahl z in:
z=10*s+r mit r=0,1,...,9
Beispiel: 222 = 10*22 + 2 oder -222=10*(-23) + 8
r ist also nur bei positiven Zahlen die Einerziffer, aber das ist jetzt nicht so wichtig. Die Einerziffer ist nur dann 0, wenn r = 0 ist. Jedenfalls hängen die r-Werte von X(i+1) und Y(i+1) nur von den r-Werten von X(i) und Y(i) ab. Die s Werte können wir während der Rekursion weglassen. Und jetzt beginnt die Fleißarbeit, die durch Weglassen der s Werte nicht ganz so schlimm ist:
X(m)=1
Y(m)=0
X(m+1)=4*1-3*0=4
Y(m+1)=4*0+3*1=3
X(m+2)=4*4-3*3=7
Y(m+2)=4*3+3*4=24 --> 4
X(m+3)=4*7-3*4=16 --> 6
Y(m+3)=4*4+3*7=37 --> 7
X(m+4)=4*6-3*7=3
Y(m+4)=4*7+3*6=46 --> 6
X(m+5)=4*3-3*6=-6 = 10*(-1) + 4 --> 4 = X(m+1)
Y(m+5)=4*6+3*3=33 --> 3 = Y(m+1)
und ab hier wiederholt sich das Ganze. D.h. Y(n) ist definitiv nicht 0, da für n>m die Einerstelle von Y(n) nicht 0 sein kann, was den gewünschten Widerspruch und Sicherheit für den Gärtner liefert.
