Lösung:Bei dieser Aufgabe geht es in erster Linie darum, dass man sich mit der Problemstellung beschäftigt,
um ein gewisses Gefühl dafür zubekommen, worauf es bei der Aufgabe ankommt.
Dann liegt es nahe, das Quadrat durch die Dreiteilung grob in eine Symmetrie von der Mitte aus
mit 120-Grad-Winkeln aufzuteilen.
Daraus ergibt sich beim Aufzeichnen, wenn man den Zaun in drei Stecken zerlegt, dass in der Mitte eine
Teilstrecke ein Geradenstück zur Abgrenzung entsteht.
Die anderen beiden seitlichen Zaunstrecken müssen zur optimalen Raumausnutzung Kreisbögen sein, und zwar so,
dass sie im rechten Winkel auf die Seitenwand auftreffen und in der Mitte mit 120-Grad-Winkeln zusammen ankommen.
Dabei ergibt sich nebenbei gesagt auch, dass der Radius der Kreisbögen genau 1 (a) ist.
Es ist erwiesen, dass bei derlei Problemen nur Strecken und Kreisbögen zum Einsatz kommen und dass sie
rechtwinklig auf Seitenwände stoßen müssen.
Nach diesen Konstruktionsmerkmalen kommt man auf folgende Figur mit optimaler Aufteilung:
Optimale Aufteilung
Korrektur: a1 der Höhenversatz ist in der Grafik falsch beschriftet und ist die Teilstrecke oberhalb der beiden gleichen Teilflächen.Diese lässt sich nun auch wie folgt berechnen.Wie man erkennen kann, haben zwei der drei Flächen die gleiche Form.
Wenn man nun eine einzelne dieser formgleichen Flächen betrachtet,
stellt man fest, dass sich diese Fläche in zwei Teilflächen, einem Dreieck
und einem Kreissektor zusammensetzt, die dann berechnet werden können.
Um das ganze anschaulicher zu machen, fertigt man nach obigen Vorgaben eine Hilfskonstruktion
des Quadrates mit der Seitenlänge a an.
In die man erst einmal die beiden formgleichen Flächen übergroß in das Quadrat einzeichnet.
Also die beiden Kreissektoren mit Radius a mit den Kreismittelpunkten an den beiden unteren Quadrateckpunkten.
Nun erkennt man, dass an dem entstandenen Kreisschnittpunkt und den beiden unteren
Quadrateckpunkten ein Gleichseitiges Dreieck einbeschrieben wurde. Dieses Dreieck hat
die gleiche Seitenlänge a wie die Quadratseite und einen 60° Winkel (180°/3), daraus
resultiert auch der 30° Winkel (90° - 60°) des Kreissektors.´
So nun kann man diese beiden übergroßen, formgleichen Teilflächen des Quadrates, gedanklich
nach unten aus der Quadratgrafik soweit herausschieben, bis eine gleichgroße Dritte-Teilfläche im
oberen Teil des Quadrates übrig bleibt.
Das gedanklich nach unten überstehende Rechteck mit der Seitenlänge a und dem Höhenversatz a1
muss nur noch von den beiden übergroßen, formgleichen Teilflächen abgezogen und halbiert werden,
um eine Teilfläche zu erhalten.
Da zur Bestimmung der Zaunlänge der Höhenversatz a1 benötigt wird, lässt sich dieser aus den obigen
Flächenbeziehung wie folgt errechnen.
[Gleichseitiges Dreieck(Ad) + 2 x Kreissektor(As) – überschüssiges Rechteck (Ar)]/2 = Quadratfläche (A)/3
(Ad +2 x As –Ar)/2 = A/3
Ad =[a^2 x 3^(1/2)] /4
As = a^2 x Pi x30° /360°
Ar = a x a1
A = a^2
{[a^2 x 3^(1/2)] /4 + 2 x a^2 x Pi x 30°/360°– a x a1} /2 = (a^2)/3
[a^2 x 3^(1/2)] /4 + 2 x a^2 x Pi x 30°/360°– a x a1 = 2(a^2)/3
[a^2 x 3^(1/2)] /4 + 2 x a^2 x Pi x 30°/360°– 2(a^2)/3 = a x a1
[a x 3^(1/2)] /4 + 2 x a x Pi x 30°/360°– 2a/3 = a1
a {[3^(1/2)]/4 + 2Pi x 30°/360° – 2/3} = a1
a {[3^(1/2)]/4 + Pi/6 – 2/3} = a1
a1= a {[3^(1/2)]/4 + Pi/6 – 2/3}
Wie aus der obigen Konstruktion ersichtlich setzt sich die Zaunlänge L aus dem mittel Steg Lh und den beiden Kreisbögen Lk zusammen,
wobei der mittel Steg die Höhe des Gleichseitigen Dreiecks h minus des Höhenversatzes a1 ist.
L = Lh + 2 x Lk
Lh = h - a1 h = [a x 3^(1/2)]/2
Lk = 2 x a x Pi/ 30°/360°
L = [a x 3^(1/2)]/2 – a {[3^(1/2)]/4 + Pi/6 – 2/3} + 2 x 2 x a x Pi/ 30°/360°
L = a x [3^(1/2)]/2 – a x [3^(1/2)]/4 – a x Pi/6 + a x 2/3 + a x Pi/3
L = a x [3^(1/2)]/4 + a x Pi/6 + a x 2/3
L = a{ [3^(1/2)]/4 + Pi/6 + 2/3}
L = a{ [3 x 3^(1/2)] + 2Pi + 8}/12
L = 1,6232781a
a = A^(1/2) => a = 25^(1/2) km a = 5km
L = 1,6232781 x 5km
L = 8,11639km
Demnach müssen mindestens 8,11639km Zaun gekauft werden.
