Alle Laengeneinheiten in Meter:
Otmar hat geschrieben:Die Höhe h ist 1 Meter. Die lange Leiter a ist genau 5% länger als die kurze Leiter b. Die Strecken a, b und h können zu einem rechtwinkligen Dreieck zusammengelegt werden.
h =
11.05*b = a
a^2 = b^2 + h^2
=> b^2 + 1 = 1.05^2*b^2
0.1025*b^2 = 1
b = sqrt(1/0.1025) = sqrt(400/41) =
20/sqrt(41)a = 1.05*b =
21/sqrt(41)Da ich bei dieser Loesungsidee mit Funktionen rechne, definiere ich das gesuchte x um zu z.
c = Hoehe, an der die Leiter a die Mauer beruehrt = sqrt(a^2 - z^2)
d = c fuer Leiter b = sqrt(b^2 - x^2)
Nun denke ich mir ein Koordinatensystem mit dem Ursprung links unten, da wo Leiter b auf dem Boden steht, und der Einheit Meter. Die Leitern erhalten folgende Funktionen:
f1(x)(Leiter a) = (1 - x/z)c
f2(x)(Leiter b) = d*x/z
Gleichgestellt und nach x aufgeloest:
x = cz/(c + d)
Eingesetzt in f2:
f2(cz/(c + d)) = cd/(c + d)
Nun wissen wir, dass dieser Funktionswert gleich der Hoehe h = 1 ist:
cd/(c + d) = 1
c = d/(d + 1)
Jetzt setzte ich fuer c und d die Werte von oben ein und quadriere die Wurzeln weg. Es bleibt (z wird wieder zu x):
-4x^6 + (8a - 2a^2 + 6b^2 - 2(ab)^2)x^4 + (2(ab)^2(a^2 + b^2) - 8ab^2 - 2(a^4 + b^4))x^2 - ((ab)^2 + a^2 - b^2)^2
Wenn ich v = x^2 definiere, habe ich eine kubische Gleichung. Ich habe mal Formeln fuer solche im Internet gesehen und will mir das nicht antun
Meine geliebte Gleichungsloesungsfunktion des Taschenrechners sagt mir
Trotz etlicher Moeglichkeiten, mich verrechnet zu haben, scheint mir die Loesung plausibel.
Natuerlich habe ich die letzte Bedingung nicht erfuellt:
Otmar hat geschrieben:Am besten in einer geschlossenen Formel, in der nur Grundrechenarten +, -, *, /, Quadaratwurzeln, ganzzahlige Potenzen und ganze Zahlen vorkommen. Man soll x also mit einem einfachen Taschenrechner, der außer den Grundrechenarten nur Quadratwurzeln ziehen kann, ausrechnen können.
Deshalb suche ich noch einen anderen Ansatz.