wir garantieren können, dass kein weiteres x(n) = 0 existiert, sonst gibt es eine Gerade, auf der der Schüze durch x(n) und x0 schießt und dabei den Ursprung O trift.
Durch die geschickte Wahl der Anfangskoordinaten (beliebig drehbar und streckbar, also betrachten wir immer noch den allgemeinen Fall) kann man rekursiv alle x(n) und y(n) berechnen
x1 = -3/4, y1 = 4/4
x2 = -24/4^2, y2 = 7/4^2
x3 = -117/4^3, y3 = -44/4^3
...
Um zu prüfen, ob ein x(n) mal wieder 0 wird, müssen wir nur die Zähler X(n) und Y(n) betrachten.
An den Zahlen lässt sich schnell ablesen (und beinahe trivial durch vollständige Induktion beweisen), dass X(n) IMMER durch 3 teilbar ist und Y(n) IMMER den Rest 1 (bzw. äquivalent -2) bei Division durch 3 hat. Y(N) wird also NIEMALS 0.
Damit liegt auf der Hand, dass das ERSTE X(n) = 0 nur auf einem ungeraden Index n auftreten kann. Sonst müsste entweder Y(n/2) = 0 sein oder X(n/2), womit X(n) nicht der ERSTE Treffer gewesen wäre.
Durch schärferes Hinschauen (und Beweis) lässt sich noch zeigen, dass X(n) = a(n)*9 - 3*n und Y(n) = b(n)*27 + 3*n + 1. Damit fallen viele Indizes n wieder als mögliche Kandidaten raus, und ich muss mich nur noch auf die Folge X3, X9, X15, X21 ... konzentrieren.
Dafür leite ich weiter ab, dass
X(n+6) = -11753 * X(n) + 10296 * Y(n)
Y(n+6) = -10296 * X(n) - 11753 * Y(n)
Durch Zufall und ein bisschen Blindfischen bin ich darauf gestoßen, dass
-11753 = c*17+11 und 10296 = d*17+11 ist. Das eröffnet keine Erfolgsaussichten bei der Restebetrachtung der X(n) und Y(n) bei Division durch 17:
X3|17 = 2, Y3|17 = 7
X9|17 = 14, Y917 = 4
X15|17 = 11, Y15|17 = 9
X21|17 = 16, Y21|17 = 12
X27|17 = 2, Y27|17 = 7
Und, siehe da, bei X27 und Y27 finden wir die gleichen Reste wie bei X3 und Y3. Hier setzt in der Reihenentwicklung eine Period in der Restebetrachtung an. Die Reste werden sich in immer gleicher Sequenz wiederholen. Ergo: X(3+6*n) hat immer einen Rest gegen 17. Es wird niemals 0.
Der (wer?) ist sicher.
P.S.: Die Periode lässt sich (mit dem Wissen, dass sie da sein muss) auch ab n = 9 für ALLE n zeigen. Bei n = 8 taucht aber der Rest 0 für X8 auf, ohne die Betrachtungen vorher hätte ich mich da wahrscheinlich ganz schön verheddert.