Das gegebene Dreieck ABC hat einen Inkreis, der die Seiten a=BC, b=AC und c=AB in den Punkten P, Q und R berührt. Da der Inkreismittelpunkt auf den Winkelhalbierenden des Dreiecks ABC liegt, ist |AR|=|AQ|=r und |BR| = |BP| = s und |CP|=|CQ|= t, wobei r, s und t die Radien von drei Kreisen um A, B und C sind, wobei ein jeder die beiden anderen von außen berührt. Vergessen wir ab jetzt den Inkreis und betrachten ab hier nur die drei Kreise um A, B und C.
Angenommen D ist ein möglicher Punkt für das Ausgangsproblem. D hat zu den Punkten A, B und C die Abstände r+x, s+y und t+z, wobei x, y oder z negative ist, falls D in einem der Kreise um A, B oder C liegt. Um von A zu D zu gelangen, muss man von A erst die Strecke r in Richtung D laufen und dann weiter in Richtung D die Strecke x. Analog für den Weg von B oder C nach D. Je nach dem welche zwei der drei Punkte A, B und C mit D direkt verbunden sind, gibt es drei Formeln mit r, s, t, x, y, z für die Länge der möglichen Rundwege, die alle gleich lang sind:
2(r+s+t) + x + y = 2(r+s+t) + x + z = 2(r+s+t) + y + z
Subtrahiert man die 3 gleichen obigen Terme von
2(r+s+t) + x + y + z
dann erhält man:
z=y=x
Da nur einer der Werte x, y oder z negativ sein kann, ist die letzte Gleichung nur dann erfüllt, wenn alle Werte x, y und z nicht negativ sind. D.h. D ist immer Mittelpunkt eines vierten Kreises mit Radius u=x=y=z, der die drei Kreise um A, B oder C von außen berührt. Das ist deshalb so, weil D von allen drei Kreislinien den Abstand u hat. D.h. die in der Vorüberlegung gezeigte Anordnung ist kein Sonderfall der Lösung, sondern für jeden möglichen Punkt D muss es vier Kreise um A, B, C und D geben, wobei ein jeder die drei anderen von außen berührt.
Offenbar gibt es genau einen solchen Kreis in der kleinen (unten grau gezeichneten) Fläche, die von den drei Kreisen um A, B und C eingeschlossen wird. Da drin liegt der erste mögliche Punkt D, den es für jedes Dreieck ABC gibt. Einen weiteren Punkt D gibt es genau dann, wenn keine der Tangenten, die die beiden größeren Kreise berühren, mit dem kleinsten Kreis keinen Punkt gemeinsam haben. Denn dann gibt es einen weiteren Kreis, der die drei Kreise um A, B und C von außen berührt. Der ist im untersten Bild grün gezeichnet.
Eine Konstruktion wäre damit schon möglich. Man konstruiere die drei sich berührenden Kreise um A, B und C, z.B. mit Hilfe des Inkreises von Dreieck ABC.
Dann konstruiere man die Tangente an die beiden größeren Kreise auf der Seite, wo der dritte kleinste Kreis liegt. Hat diese Tangente mit dem dritten kleineren unten blau gezeichneten Kreis keine Punkt gemeinsam, dann gibt es noch einen zweiten Punkt D. Aber damit ist dann auch schon Schluss mit weiteren möglichen Punkten für unproblematisches Handlungsreisen.
Hier zwei Beispiele.
Oben: Der kleinste Kreis hat zwei gemeinsame Punkte mit der Tangente --> Es gibt nur einen Punkt D (in der grauen Fläche).
Unten: Der kleinste Kreis hat keinen gemeinsamen Punkte mit der Tangente --> Es gibt noch einen zweiten Punkt D.
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Hier noch für den unteren Fall der zweite Punkt D als Mittelpunkt des grünen Kreises:
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