Handlungsreisender ohne Problem Rätsel ist gelöst

Rätsel, die zum Lösen einen größeren Zeitaufwand erfordern, wie z. B. schwierige Physik- und Matherätsel.

Re: Handlungsreisender ohne Problem

Beitragvon MadMac » Donnerstag 4. Mai 2017, 10:41

Nachtrag:

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Für den innenliegenden Schnittpunkt ist meine Überlegung oben gut und hinreichend.

Für den außenliegenden Schnittpunkt, sofern einer existiert, ist es wohl besser, zwei Hyperberln mit den Fokussen AC bzw. BC zu betrachten (Konstruktion äquivalent). Auch hier lassen sich die Asymptoten konstruieren.

Dadurch, dass die längste Seite unten liegt, habe ich oben den größten Winkel, und beide Hyperbeläste sind nach oben (AC: oben rechts, BC: oben links) geöffnet. Das macht die Argumentation für die Existenz eines oder mehrerer oder gar keiner Schnittpunkte außerhalb des Dreieckes einfacher.

Sind die Asymptoten parallel, gilt: Man kann eine dritte Parallele einzeichnen, die durch C geht. Keiner der beiden außen liegenden Hyperbelhalbäste kann diese kreuzen, und damit können sich beide auch nicht (außerhalb) schneiden.

Schneiden sie sich, gibt es auch genau einen Schnittpunkt der Hyperbelhalbäste. Die Krümmung der Hyperbel lässt sich heranziehen, um zu argumentieren, dass es wirklich nur einen Schnittpunkt geben kann, aber den gibt es dann sicher.

Wandern die Asymptoten auseinander, kann man ähnlich argumentieren wie bei Parallelität. Es gibt eine Parallele zu einer der beiden Asymptoten durch C, die von keinem Hyperbelhalbast geschnitten werden kann, ergo, kein Schnittpunkt der Hyperbelhalbäste.


So, damit sollte meine Argumentation zwar nicht vollständig ausgeführt aber dennoch wasserdicht sein.

Gruß,
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Re: Handlungsreisender ohne Problem

Beitragvon Otmar » Donnerstag 11. Mai 2017, 18:42

@MadMac: Das sollte so passen! Offene Punkte im Ansatz von Musagetes sind damit auch geklärt. In der Beschreibung ist der geneigte Leser zwar gefordert sich einige Details zu erschließen oder zu veranschaulichen, aber die Konstruktion ist klar beschrieben und du hast genau gesagt, wie man aus den konstruierten Objekten die Anzahl möglicher Punkt D ablesen kann. :gut:

Allerdings ist das, wie du weißt, noch nicht meine Musterlösung, die vielleicht noch gefunden wird.

Ich sage dazu, dass es eine Lösung gibt, die weder in der Erklärung noch in der Konstruktion auf Hyperbeln oder geometrische Objekte, die zu Hyperbeln gehören, zurückgreift und auch die Konstruktion der Punkte D in ein altbekanntes gelöstes geometrischen Problem überführt (was hier nicht gefordert war).

PS:

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muss es nicht heißen gab1 und gac1 können sich schneiden, (anstelle von gab1 und gab2)
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Handlungsreisender ohne Problem

Beitragvon Otmar » Donnerstag 7. September 2017, 19:32

Da weitere Lösungsversuche ausgeblieben sind, kommt jetzt meine Musterlösung:

Zuerst eine Vorüberlegung.
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Man nehme vier Kreise, die einander von außen berühren. Ein Rundweg über die vier Mittelpunkte verläuft innerhalb der Kreisflächen derart, dass in jeder Kreisfläche einmal von der Kreislinie zum Mittelpunkt und einmal vom Mittelpunkt zur Kreislinie gegangen wird. D.h. egal welcher Rundweg gewählt wird, die Länge des Rundweges ist doppelt so groß, wie die Summe der Radien der vier Kreise:
hr1.png
hr1.png (3.68 KiB) 26-mal betrachtet


Das ist die Idee für meine Musterlösung:

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Das gegebene Dreieck ABC hat einen Inkreis, der die Seiten a=BC, b=AC und c=AB in den Punkten P, Q und R berührt. Da der Inkreismittelpunkt auf den Winkelhalbierenden des Dreiecks ABC liegt, ist |AR|=|AQ|=r und |BR| = |BP| = s und |CP|=|CQ|= t, wobei r, s und t die Radien von drei Kreisen um A, B und C sind, wobei ein jeder die beiden anderen von außen berührt. Vergessen wir ab jetzt den Inkreis und betrachten ab hier nur die drei Kreise um A, B und C.

Angenommen D ist ein möglicher Punkt für das Ausgangsproblem. D hat zu den Punkten A, B und C die Abstände r+x, s+y und t+z, wobei x, y oder z negative ist, falls D in einem der Kreise um A, B oder C liegt. Um von A zu D zu gelangen, muss man von A erst die Strecke r in Richtung D laufen und dann weiter in Richtung D die Strecke x. Analog für den Weg von B oder C nach D. Je nach dem welche zwei der drei Punkte A, B und C mit D direkt verbunden sind, gibt es drei Formeln mit r, s, t, x, y, z für die Länge der möglichen Rundwege, die alle gleich lang sind:
2(r+s+t) + x + y = 2(r+s+t) + x + z = 2(r+s+t) + y + z
Subtrahiert man die 3 gleichen obigen Terme von
2(r+s+t) + x + y + z
dann erhält man:
z=y=x
Da nur einer der Werte x, y oder z negativ sein kann, ist die letzte Gleichung nur dann erfüllt, wenn alle Werte x, y und z nicht negativ sind. D.h. D ist immer Mittelpunkt eines vierten Kreises mit Radius u=x=y=z, der die drei Kreise um A, B oder C von außen berührt. Das ist deshalb so, weil D von allen drei Kreislinien den Abstand u hat. D.h. die in der Vorüberlegung gezeigte Anordnung ist kein Sonderfall der Lösung, sondern für jeden möglichen Punkt D muss es vier Kreise um A, B, C und D geben, wobei ein jeder die drei anderen von außen berührt.

Offenbar gibt es genau einen solchen Kreis in der kleinen (unten grau gezeichneten) Fläche, die von den drei Kreisen um A, B und C eingeschlossen wird. Da drin liegt der erste mögliche Punkt D, den es für jedes Dreieck ABC gibt. Einen weiteren Punkt D gibt es genau dann, wenn keine der Tangenten, die die beiden größeren Kreise berühren, mit dem kleinsten Kreis keinen Punkt gemeinsam haben. Denn dann gibt es einen weiteren Kreis, der die drei Kreise um A, B und C von außen berührt. Der ist im untersten Bild grün gezeichnet.

Eine Konstruktion wäre damit schon möglich. Man konstruiere die drei sich berührenden Kreise um A, B und C, z.B. mit Hilfe des Inkreises von Dreieck ABC.
Dann konstruiere man die Tangente an die beiden größeren Kreise auf der Seite, wo der dritte kleinste Kreis liegt. Hat diese Tangente mit dem dritten kleineren unten blau gezeichneten Kreis keine Punkt gemeinsam, dann gibt es noch einen zweiten Punkt D. Aber damit ist dann auch schon Schluss mit weiteren möglichen Punkten für unproblematisches Handlungsreisen.

Hier zwei Beispiele.
Oben: Der kleinste Kreis hat zwei gemeinsame Punkte mit der Tangente --> Es gibt nur einen Punkt D (in der grauen Fläche).
Unten: Der kleinste Kreis hat keinen gemeinsamen Punkte mit der Tangente --> Es gibt noch einen zweiten Punkt D.

hr2.png
hr2.png (6 KiB) 26-mal betrachtet


Hier noch für den unteren Fall der zweite Punkt D als Mittelpunkt des grünen Kreises:

hr3.png
hr3.png (3.47 KiB) 26-mal betrachtet


Natürlich kann man diese Konstruktion noch modifizieren und vereinfachen.
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Ich hatte das mal soweit gemacht, bis die Konstruktion auf die Konstruktion auf zwei parallele Gerade zu den von MadMac genannten Hyperbeltangenten hinauslief. Was dafür spricht, dass beide Lösungen konsistent sind.


In der Geometrie heißen
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die vier Kreise Soddy Kreise. Rene Descartes hat eine schöne Gleichung angegeben, mit der man ausrechnen könnte, ob es einen oder zwei Punkte D gibt. https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Descartes
Liebe Grüße, Otmar.
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