Rätsel + Denksport Forum

[Zenon]

Heute war mein Freund bei mir zu Besuch und er brachte mir als Geschenk eine Murmelbox mit Murmeln.
Er meinte:"Eine Murmel ist entweder leichter oder schwerer als die anderen. Ich wette du schaffst es nicht,
in 5 Wägungen auf einer Balkenwaage diese zu finden & mir zu sagen ob sie schwerer oder leichter ist."
Ich:"Weißt du denn die Abweichung?"
Er:"Ja, schon. Genau genommen weiß ich die genauen Gramm-Werte beider Arten von Murmeln"
Ich:"Gut. Ich schaue sie mir mal an."
Ich zählte alle Murmeln (vor ihm).
Ich:"Du bist mir einer! Das haut nie und nimmer hin! Nichtmal du könntest das lösen!"
Er: "Stimmt, nicht sicher."
Ich:"Wolltest mich reinlegen, wa? Also, bekomme ich eine Extra-Wägung?"
Er: "Okay."
Ich:"Mhh. Jetzt kannst zwar du es lösen, ich aber immer noch nicht. Machen wir's so: Ich gebe dir eine Murmel und du entfernst sie
aus dem Spiel, wenn es nicht die abweichende Murmel ist. Okay?"
Er: "In Ordnung."
Er wog im Nebenzimmer die Murmel auf einer Digitalwaage.
Es war wirklich nicht die Abweichende und ich war gefordert.
Ei der Daus! Mein Freund überwachte den Vorgang und versprach, wenn ich's schaffe und mich nicht vertue, dann spendiert er mir nen' Cocktail, ansonsten muss ich ihm einen spendieren.
Das ist doch mal was!
Am Schluß hab' ich es geschafft und es wurde ein gemütlicher Abend in einer Bar unseres Vertrauens.
Die ersten beiden Wägungen waren im Gleichgewicht.
Die dritte Wägung zeigte einen Ausschlag.

A)Wie viele Murmeln hat mein Freund mir geschenkt?
(Bitte mit kurzer Begründung)

B)Schreibe die ersten drei Wägungen auf, ab dort alle weiteren Möglichkeiten, die zum Ziel führen(z.B. im Baumdiagramm).
(Murmeln bitte Nummern geben)

Beispiel-Schema(ist natürlich totaler Quatsch):
= heißt 'Waage ist im Gleichgewicht'
/\ heißt 'Waage hat Ausschlag(nach links oder rechts)'
/\= heißt 'Waage ist im Gleichgewicht oder hat Ausschlag(nach links oder rechts)'
Ges. a,b,f-h (5 St.) heißt 'Nach dieser Wägung: Gesuchte Murmel entweder a,b,f,g oder h (eine dieser 5 Stück) '
Ref. Q,R,S 'Q,R,S sind Referenz'
A-F für die sechs Wägungen(Übersichtlichkeit)

1)A h,i,j=k,l,m
2)B n,o=p,q
3)C 15,2,5,19,x/\r,s,t,u,v
------------
4.1)D 17-20=3,4,5,10 Ges.x,y,z,f,g,h (6 St.)
5.1)E y,z=1,2 Ges. 14,15,19,G (4 St.)
6.1)F(...)
5.2)E x,y/\=1,2
6.1)F (...)
4.2)D 17-20/\3,4,5,10 Ges. 3,4,5,10,K,M (6 St.)
5.1)E 3,4=5,9 Ges. Z (1 St.)
6.1)F (...)
5.2)E (...)
6.1)F (...)

Ergänzung:
-Angaben mit kurzer Begründung(so ausführlich wie nötig)
-Schema nicht zwingend erforderlich! Ihr könnt das auch ausformulieren. Die drei ersten Wägungen zu Anfang jedoch bitte aufschreiben.
-Durch die meinem Freund vorgeschlagenen Änderungen erhöhe ich meine Lösungswahrscheinlichkeit auf 1.
Viel Spaß beim Knobeln!

[Neuling]

Nur ein paar Überlegungen dazu.

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Bei 3 Haufen mit je der gleichen Anzahl an Murmeln, kann man mit 2 Wägungen bestimmen, in welchem Haufen der Abweichler ist und ob dieser leichter oder schwerer ist. D.h. eine zusätzliche Wägung zu dem Fall, bei dem man bereits weiß, ob es sich um eine schwerere oder leichtere Murmel handelt.

Optimal sind Murmelanzahlen, die sich jedes mal exakt in drei gleiche Teile teilen lassen, also Potenzen von 3.
Damit lässt sich im Rückwärtsschluss (3, 9, 27, 81, ...) für jede vorgegebene Anzahl an Wägungen die optimale Anzahl an Murmeln bestimmen.

Ach ja, nicht zu vergessen die eine Murmel, die aus dem Geschenk entfernt wurde.

[Otmar]

@Zenon,
das Rätsel ist m.E. nicht ganz klar formuliert. Ich vermute zwar, dass du nach

...
Er wog im Nebenzimmer die Murmel auf einer Digitalwaage.
Es war wirklich nicht die Abweichende und ich war gefordert.

das Rätsel mit den genannten Mitteln ohne Glück lösen konntest, aber hingeschrieben hast du das nicht.

Man könnte jetzt auch davon ausgehen, dass immer noch etwas Glück nötig war und du nur deshalb, weil die ersten drei Wägungen so waren, wie du angegeben hast, den Cocktail bekommen hast.

[Zenon]

@Zenon,
das Rätsel ist m.E. nicht ganz klar formuliert. Ich vermute zwar, dass du nach

...
Er wog im Nebenzimmer die Murmel auf einer Digitalwaage.
Es war wirklich nicht die Abweichende und ich war gefordert.

das Rätsel mit den genannten Mitteln ohne Glück lösen konntest, aber hingeschrieben hast du das nicht.

Man könnte jetzt auch davon ausgehen, dass immer noch etwas Glück nötig war und du nur deshalb, weil die ersten drei Wägungen so waren, wie du angegeben hast, den Cocktail bekommen hast.

@Otmar: Dachte das geht klar hervor, hab's mal als Ergänzung hingeschrieben. Klarstellung: Wären die ersten 3 Wägungen anders gewesen, dann hätte ich's ebenso geschafft.

[Otmar]

Ich versuche es mal:

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Bei n Wägungen können maximal 3^n Zustände unterschieden werden. Da 3^n ungerade ist, kannst du maximal g Murmeln untersuchen mit 2*g=3^n-1. Tatsächlich ist es auch möglich die unbekannte Murmel aus (3^n-1)/2 zu finden und die gesuchte Gewichtsrelation zu ermitteln, weil du noch eine
weitere Murmel hast, von der du weißt, dass diese Normalgewicht hat.

D.h. du hast maximal (3^6-1)/2+1=365 Murmeln bekommen.

Erklärung:

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Situation A sei: Es gibt bei n Wägungen g=(3^n-1)/2 Murmeln, wobei genau eine schwerer oder leichter ist und noch mindestens
eine Murmel mit Normalgewicht.

Hier gehst du so vor: Du legst a Murmeln und die normale Murmel nach links und b=a+1 Murmeln nach rechts auf die Balkenwaage.
Ferner werden a Murmeln beiseite gelegt.

a ist also (3^(n-1)-1)/2. Probe: a+b+a=3a+1=(3^n-3)/2+1=(3^n-1)/2=g

Gleichgewicht: Die weggelegten Kugeln und die normale Murmel sind wieder Situation A mit einer Wägung weniger.
links schwerer: Situation B mit s=a und l=b und n-1 verbleibenden Wägungen.
rechts schwerer: Situation B mit s=b und l=a und n-1 verbleibenden Wägungen.

Situation B ist: Es gibt bei n Wägungen zwei Haufen. Der erste Haufen hat s Murmeln und der zweite hat l Murmeln. Es ist bekannt,
dass entweder im ersten Haufen eine schwerere Murmel ist oder im zweiten Haufen eine leichtere Murmel. Ferner ist s+l=3^n.

Hier gehst du so vor:

Du wählst s=2c+d und l=2e+f mit c+e=d+f=3^(n-1). Es gibt mindestens eine solche Zerlegung.
Vom ersten Haufen legst du jeweils c Murmeln nach links und c Murmeln nach rechts auf die Waage und d Murmeln beiseite.
Analog vom zweiten Haufen jeweils e Murmeln nach links und e Murmeln nach rechts auf die Waage und f Murmeln beiseite.

Gleichgewicht: Die beiseitegelegten Murmeln ergeben Situation B mit n-1 Wägungen und s=d und l=f.
links schwerer: Situation B mit n-1 Wägungen und
s=c (die von der linken Seite und dem ursprünglich ersten Haufen)
l=e (die von der rechten Seite und dem ursprünglich zweiten Haufen)
rechts schwerer: Situation B mit n-1 Wägungen und
s=c (die von der rechten Seite und dem ursprünglich ersten Haufen)
l=e (die von der linken Seite und dem ursprünglich zweiten Haufen)

Ist nur noch zu zeigen, dass du in beiden Situation bei n=1 die richtige Murmel findest. Das ist aber trivial.

Situation A mit n=1 und (3^1-1)/2 = 1, also einer Murmel die schwerer oder leichter ist: Wiege sie gegen die normale Murmel und alles ist klar.

Situation B mit n=1 und s+l=3. Wenigstens ein Haufen hat zwei Kugeln. Von diesem nimmst du zwei und wiegst sie gegeneinander. Nach der Wägung ist alles klar.

Jetzt zur Lösung, denn fertig sind wir ja noch nicht.

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Angenommen es sind insgesamt m Murmeln, dann wissen wir, dass m <= 365 ist, weil du sonst den Cocktail nicht sicher gewinnst.
Würde dein Freund lösen, dann startet er offenbar mit Situation B oder einer modifizierten Situation B, die weniger Murmeln als die oben genannte hat. Bei 5 Wägungen könnte er maximal 3^5 = 243 Murmeln untersuchen. DAs schafft er nicht also bekommst du mindestens 244 Murmeln.
Hättest du vor dem Untersuchen der einen normalen Murmel durch den Freund 364 = 122+121+121 Murmeln, dann kannst du nicht sicher lösen, da dir an der Stelle die normale Murmel fehlt. Natürlich kannst du nach Untersuchung der Normalen auch das einfachere Problem mit 363+1 Murmeln lösen. Also könntest du auch 364 Murmeln bekommen haben. m <= 363=121+121+121 könntest du aber auch ohne zusätzlich normale Murmel sicher lösen.

Deshalb ist die Lösung zweideutig:

Du hast also entweder 364 oder 365 Murmeln bekommen.

[Zenon]

@Otmar: Anmerkungen zu deiner Lösung:

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Stimmt soweit recht viel. Aber das Rätsel ist eindeutig lösbar. Deine Situation B fällt weg, da ich eben vor der 1. Wägung weder weiß, wo sie ist, noch ob diese nun schwerer oder leichter ist. Zusätzliche Normalmurmeln habe ich auch nicht, weil diese mein Freund entfernt hat. Es ist also die kleinere deiner beiden genannten Zahlen. Und zu deiner Verwirrung, ich betreue dieses Rätsel auch anderswo, jedoch konnte dort noch niemand das lösen und ich wollte schauen wie's hier ausschaut und ob mein 'Konstrukt' soweit in sich schlüssig ist! Vielleicht habt Ihr auch Verbesserungsvorschläge od. ähnliches. Ich würde mich freuen! Mir wäre z.B. niemals in den Sinn gekommen man könnte das ganze auch so auslegen, es hätte auch etwas mit Glück zu tun. Merci.

Gedanken dazu, Herangehensweise, Lösung:

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Es ist bekannt, dass weder der Beschenkte noch der Schenkende das Rätsel mit 5 Wägungen mit 100%er Wahrscheinlichkeit
lösen können. Es müssen also definitiv mehr als 243 Murmeln sein. (3^5)
Mit der Extra-Wägung kann zwar der Schenkende(Kumpel) das Rätsel 100%ig lösen, aber der Beschenkte immer noch nicht.
Es müssen also <=729 Murmeln anfangs im Spiel sein.(3^6)
Der Umstand, dass das Entfernen einer einzigen Murmel das Lösen des Rätsel nun plötzlich auch für den Beschenkten ermöglicht(zu 100%),
ist der Knackpunkt. Demnach ist die gesuchte Murmelzahl X=N+1. N ist die maximale Murmelzahl, die mit 6 Wägungen möglich ist(bei einer unbekannten Abweichung(schwerer oder leichter) von einer Murmel). Aber viele Murmeln dürfen es denn nun bei 6 Wägungen höchstens sein?

Exkursanmerkungen:
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Für 3 M. benötigt man 2 W., für 12 M. sind es 3 W.(etc.). Wenn man also die Lösung bei 3 M. kennt, dann kennt man auch die Lösung bei
3*(3+1)= 12 Murmeln. Wenn man die Lösung bei 12 Murmeln kenn, kennt man auch die Lösung für 3*(12+1)=39 Murmeln(etc.)...

Wieso sind's aber genau 3 Wägungen bei 12 Murmeln? Bei jeder der 3 Wägungen gibt es 3 Möglichkeiten für den Ausschlag der Waage auf einer Seite:
auf / ab / gleich; das sind 3 ^ 3 = 27 Möglichkeiten. Jede der 12 Murmeln kann schwerer oder leichter sein. Demnach 12*2=24 Möglichkeiten. 27>24 -> 3 Wägungen sind also ausreichend. Man könnte behaupten bei 13 Murmeln müsste es auch gehen, weil 13*2=26. 26<27. Geht aber nicht. Siehe Stichwort 'Referenzmurmeln' bei a)

Häufig wird argumentiert:

a) für 12 Murmeln benötigt man 3 Wägungen.
b) für 39 Kugeln kann es mit 4 Wägungen nicht funktionieren.
Begründung: In der 1. Wägung werden jeweils li / re 13 Kugeln gewogen.
Wenn die Waage keinen Ausschlag zeigt, dann ist die 'falsche Kugel' unter den restliche 13 Kugeln.
------> Widerspruch zu a)

Die Begründung ist aus folgendem Grund falsch:

a) für 12 Kugeln benötigt man 3 Wägungen(richtig).
b) für 39 Kugeln funktioniert es trotzdem mit 4 Wägungen:
Begründung: Wenn die Waage bei der 1. Wägung keinen Aussschlag zeigt, kann man die 'falsche Murmel'
aus den restlichen 13 Kugeln dennoch mit 3 weiteren Wägungen identifizieren.
Im Unterschied zu a) hat man den Vorteil, dass man neben den restlichen Murmeln ( mit einer 'falschen' darin )
noch weitere 'neutrale Murmeln' zur Verfügung hat. Im Fall a) hat man das nicht.

a) für 3 Murmeln benötigt man 2 Wägungen.
b) für 12 Murmeln funktioniert es trotzdem mit 3 Wägungen(gleicher Grund).
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Bei 6 Wägungen demnach (ohne Wissen ob Abweicher schw. od. leichter)(N Murmeln): N=(3^W)/2-3/2=363
Die Anzahl der Murmeln ist also 364.

Mit der entfernten Murmel sind noch 363 Murmeln im Spiel und es kann losgehen.
Man teile die Murmeln in drei Päckchen á 121 Murmeln.

1.1)A 1-121=122-242 Ges. 243-363 (121 St.)
Jetzt 81 der insgesamt 121 verbleibenden Murmeln gegen Referenzmurmeln wiegen.
2.1)B 243-323=1-81 Ges. 324-363 (40 St.)
Jetzt 27 der insgesamt 40 verbleibenden Murmeln gegen Referenzmurmeln wiegen.
3.1)C 324-350/\1-27 Ges. 324-350 (27 St.)
Abweichung ist nun bekannt(entweder schwerer oder leichter)!
Nun drei Päckchen á 9 Murmeln aus den verbleibenden Murmeln bilden(324-332, 333-341, 342-350)
---
4.1)D 324-332=333-341 Ges.342-350 (9 St.)
Jetzt drei Päckchen á 3 Murmeln bilden u. 2 beliebige Päckchen gegeneinander wiegen!(342+343+344, 345+346+347, 348+349+350)
5.1)E 342,343,344=345,346,347 Ges. 348,349,350 (3 St.) Nun zwei beliebige der drei verbliebenen Murmeln gegeneinander wiegen!
6.1)F 348/\=349 Je nach Ausgang kennt man die gesuchte Murmel, da Abweichung aus 3.1) bereits bekannt!
5.2)E 342,343,344/\345,346,347 Da Abweichung bekannt: In einem der beiden Päckchen auf der Waage ist die gesuchte Murmel!
Nun das Pächen wählen das in Frage kommt und zwei der drei Murmeln 1:1 wiegen.
6.1)F X/\=Y Je nach Ausgang kennt man die gesuchte Murmel, da Abweichung aus 3.1) bereits bekannt!

4.2)D 324-332/\333-341 Je nach Ausgang kann man das Päckchen aus 9 Kugeln genau bestimmen, da Abweichung aus 3.1) bekannt!
Dieses Päckchen nun dritteln(A-C,D-F,G-I) und zwei dieser Päckchen gegeneinander wiegen!
5.1)E A,B,C=D,E,F Ges. G,H,I Nun zwei beliebige der drei verbliebenen Murmeln gegeneinander wiegen!
6.1)F H/\=G Je nach Ausgang kennt man die gesuchte Murmel, da Abweichung aus 3.1) bereits bekannt!
5.2)E A,B,C/\D,E,F Da Abweichung bekannt(schwerer oder leichter): In einem der beiden Päckchen auf der Waage ist die gesuchte Murmel!
Nun das Pächen wählen,(A,B,C ODER D,E,F)das in Frage kommt und zwei der drei Murmeln aus diesem Päckchen 1:1 wiegen.
6.1)F X/\=Y Je nach Ausgang kennt man die gesuchte Murmel genau bestimmen, da Abweichung aus 3.1) bekannt!

[Otmar]

Vielleicht habe ich noch was falsch verstanden.

Ich:"Mhh. Jetzt kannst zwar du es lösen, ich aber immer noch nicht. Machen wir's so: Ich gebe dir eine Murmel und du entfernst sie aus dem Spiel, wenn es nicht die abweichende Murmel ist. Okay?"

Ich hab das anfangs so interpretiert, dass er die Murmel, wenn sie normal ist, aus den Murmelspiel, also aus der Box, herauslegt und natürlich immer noch zum Wägen zur Verfügung steht.

Ich glaub inzwischen, dass du es anders meinst. Mit Spiel meinst du nicht die Murmelbox, sondern deine Suche nach der besonderen Murmel durch wiegen. Die entfernte Kugel darf dann also nicht weiterverwendet werden.

In dem Fall geht mein erster Lösungsversuch leider von falschen Voraussetzungen aus. Ist aber leicht modifiziert auch bei dieser Annahme verwendbar:

Mehr ->

Bei der ersten Wägung dürfen höchstens 121 Murmeln beiseite gelegt werden, da bei mehr Kugeln Situation A für n=5 und g>121 nicht sicher gelöst werden kann. Gewogen werden müssen zwei gleiche Anzahlen von Kugeln, da sonst das Wägeergebnis bekannt wäre und keine Information geliefert würde. Also kannst du bei der ersten Wägung 121 Kugeln gegen 121 Kugeln wägen und 121 beiseite legen.
Ist die Waage im Gleichgewicht entsteht Situation A für die 121 beiseite gelegten Kugeln und einer nun bekannten normalen Kugel, die einer Waagschale zu entnehmen ist. Ansonsten kannst du einen Haufen mit s=122 und l=121 machen, indem du von den beiseitegelegten Kugeln noch eine zu dem Haufen mit den 121 Kugeln aus der abgesenkten Waagschale dazu gibts. Dann hast du Situation B.

D.h. nach der ersten Wägung landest du bei Situation A oder B für n=5 und kommst zum Ziel. Ergo waren noch 363 Murmeln im "Spiel" und 364 in der Box, als dein Freund zu dir kam. Geht man davon aus, das das Geschenk schon vorm Entfernen der einen Kugel dir gehört hat, dann hast du eine Box mit 364 Murmeln geschenkt bekommen. Die Lösung ist dann eindeutig.

PS, hab jetzt öfters von Kugeln gespochen.. meine natürlich Murmeln. Liegt wohl am Original oder an Variante von 12 Kugeln 3 mal wiegen

[Zenon]

Vielleicht habe ich noch was falsch verstanden.

Ich:"Mhh. Jetzt kannst zwar du es lösen, ich aber immer noch nicht. Machen wir's so: Ich gebe dir eine Murmel und du entfernst sie aus dem Spiel, wenn es nicht die abweichende Murmel ist. Okay?"

Ich hab das anfangs so interpretiert, dass er die Murmel, wenn sie normal ist, aus den Murmelspiel, also aus der Box, herauslegt und natürlich immer noch zum Wägen zur Verfügung steht.

Ich glaub inzwischen, dass du es anders meinst. Mit Spiel meinst du nicht die Murmelbox, sondern deine Suche nach der besonderen Murmel durch wiegen. Die entfernte Kugel darf dann also nicht weiterverwendet werden.

In dem Fall geht mein erster Lösungsversuch leider von falschen Voraussetzungen aus. Ist aber leicht modifiziert auch bei dieser Annahme verwendbar:

Mehr ->

Bei der ersten Wägung dürfen höchstens 121 Murmeln beiseite gelegt werden, da bei mehr Kugeln Situation A für n=5 und g>121 nicht sicher gelöst werden kann. Gewogen werden müssen zwei gleiche Anzahlen von Kugeln, da sonst das Wägeergebnis bekannt wäre und keine Information geliefert würde. Also kannst du bei der ersten Wägung 121 Kugeln gegen 121 Kugeln wägen und 121 beiseite legen.
Ist die Waage im Gleichgewicht entsteht Situation A für die 121 beiseite gelegten Kugeln und einer nun bekannten normalen Kugel, die einer Waagschale zu entnehmen ist. Ansonsten kannst du einen Haufen mit s=122 und l=121 machen, indem du von den beiseitegelegten Kugeln noch eine zu dem Haufen mit den 121 Kugeln aus der abgesenkten Waagschale dazu gibts. Dann hast du Situation B.

D.h. nach der ersten Wägung landest du bei Situation A oder B für n=5 und kommst zum Ziel. Ergo waren noch 363 Murmeln im "Spiel" und 364 in der Box, als dein Freund zu dir kam. Geht man davon aus, das das Geschenk schon vorm Entfernen der einen Kugel dir gehört hat, dann hast du eine Box mit 364 Murmeln geschenkt bekommen. Die Lösung ist dann eindeutig.

PS, hab jetzt öfters von Kugeln gespochen.. meine natürlich Murmeln. Liegt wohl am Original oder an Variante von 12 Kugeln 3 mal wiegen

Mehr ->

Ja, je nach Interpretation entw. 364 oder 365. Wenn die beiseitegelegte Murmel verwendet werden kann -> 365. Wenn nicht ->364. Ich lasse das dann auch so gelten weil mit der Begründung, man könne diese Referenz eben nutzen: W'keit wieder bei 1 und alle glücklich.

[Otmar]

@Zenon

Mehr ->

@Otmar:...Deine Situation B fällt weg, da ich eben vor der 1. Wägung weder weiß, wo sie ist, noch ob diese nun schwerer oder leichter ist. ...

Glaube du hast nicht bemerkt, dass die Situationstypen A und B rekursiv verwendet werden.

Mit anfangs vorhandener normaler Murmel geht es immer mit Situation vom Typ A los. Solange die Waage im Gleichgewicht bleibt, hat man immer wieder A. Sobald die Waage einmal aus dem Gleichgewicht kommt, gibt es nur noch Situationen vom Typ B, auch wenn doe Waage später wieder Gleichgewicht anzeigt.

Wenn am Anfang nichts bekannt ist, dann hat man offenbar bei der ersten Wägung weder Situation A noch B, sondern eine zu A ähnliche Situation mit einer Kugel weniger als bei der für A definierten Anzahl. Aber danach geht es bei Gleichgewicht mit A weiter und bei Ungleichgewicht kannst du in einen der beiden Haufen eine beiseitegelegte Kugel einmischen und hast Situalton B. Wenn du diese eingemischte Kugel markierst, dann ist in späteren Wägungen die Anzahl der verbliebenen Kandidaten 3^n-1, wenn die markierte Kugel noch dabei ist oder 3^n wenn markierte Kugel bereits ausgeschieden ist. So kann man bei deinem Folgerätsel die beiden Zahlen 80 und 81 begründen.

[Zenon]

Mehr ->

Sorry Otmar, hab das ENTWEDER bei B überlesen!
121M. /\121 M. Jap, entweder auf einer Seite ein schw. ODER auf der ANDEREN Seite eine leichtere M.
81M. von rechts, 40M. /\ 81Ref. M., 40M. Bei gleichem Verhältnis wie zur 121/\121 Wägung -> 80 M. die in Frage kommen und wir sind beim 120 K.
Prob. 'nach der ersten' W. Jap, rekursiv.