Geometrische Knobelei

[Friedel]

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In einer Ebene sollst du 4 Punkte anordnen. Jeder der 4 Punkte wird mit jedem der anderen Punkte durch eine gerade Strecke verbunden. Dabei entstehen 6 Verbindungslinien. Das ganze sollst du aber so anstellen, dass diese Linien nur 2 verschiedene Längen haben. Oben siehst du ein Beispiel. Ich habe 4 Punkte angeordnet und miteinander verbunden. Gleich lange Verbindungslinien habe ich mit gleicher Farbe gezeichnet. Wie du sehen kannst, haben die 6 Linien 3 verschiedene Längen. Diese Form erfüllt die Anforderungen also nicht. Es dürfen nur höchstens 2 verschiedene Längen sein.

Wie viele verschiedene Anordnungen gibt es und wie sehen sie aus? Natürlich gelten Anordnungen als gleich, wenn sie sich nur durch Größe und/oder Ausrichtung unterscheiden.

Bei dieser Aufgabe halte ich es für sinnvoll, ohne Google und ähnliches zu tüfteln. Die Aufgabe stammt nicht von mir. Ich habe sie mal irgendwo gestellt bekommen und sehr lange gebraucht um alle Lösungen zu finden. Ich war mehrmals überzeugt, alle möglichen Anordnungen zu kennen und musste mir dann sagen lassen, dass es mehr sind.

Viel Spaß beim Knobeln.

P.S. Ich halte es bei diesem Rätsel nicht für sinnvoll, die Spoiler zu benutzen. Alle Mitratenden sollten immer sehen können, welche Lösungen schon gefunden sind. Wenn keiner, der die Aufgabe schon kennt, alle Lösungen verrät, wird es bestimmt einige Zeit dauern, bis alle Lösungen gefunden sind. Dabei hilft es dann wenig, wenn immer wieder die selben Lösungen gepostet werden, bringt das imho wenig. Es macht mehr Spaß, neue Lösungen zu suchen.

[Otmar]

Ok, mal zwei einfache Vorschläge:

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1) Quadrat
2) Gleichseitiges Dreieck mit Mittelpunkt.

[Otmar]

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3) Rhombus (Raute) wobei der kleinere Abstand gegenüberliegender Punkte die Kantenlänge ist.
4 + 5) Gleichseitiges Dreieck und ein vierter Punkt auf einer Winkelhalbierenden im Abstand der Kantenlänge vom Eckpunkt weg. Gibt zwei verschiedene Figuren, eine für jede Richtung die auf der Winkelhalierenden genommen wird.
6 Ein Trapez mit den Schenkeln so lang, wie die kurze Seite und den Diagonalen so lang wie die lange Seite.

Höre erstmal auf für heute. Mache aber noch eine Skizze.

[Otmar]

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Also hier die Grafik meiner gefundenen Anordnungen:

VierPunkteZweiAbstände.png (11.16 KiB) 2105-mal betrachtet

PS: Ich bin so vorgegangen: Mindestens 3 Strecken müssen gleich lang sein. Die ersten beiden Punkte, die so eine Strecke begrenzen darf man frei wählen. Mindestens ein dritter Punkt oder beide fehlenden Punkte liegen auf den beiden Kreisen, die um einen und durch den anderen dieser beiden Pubkte gehen. Bei Symmetrie ergibt sich dass zwei weitere Linien gleich sind....

Bin gespannt ob nochwas fehlt.

[Zentimeter]

Ich denke, bei Otmar ist es schon nett, dass er gespoilert hat - wer weiß, ob danach noch Möglichkeiten übrig geblieben wären!

Wahrscheinlich sind die ersten Gedanken bei den meisten ähnlich, mir sind auf die Schnelle diese drei Versionen eingefallen:

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Variante_01.jpg (14.87 KiB) 2105-mal betrachtet

Variante_03.jpg (13.72 KiB) 2105-mal betrachtet

Variante_02.jpg (16.59 KiB) 2105-mal betrachtet

[Cujo]

Selbstverständlich gilt auch hier die Spoilerpflicht. Falls es Diskussionsbedarf dazu gibt, bitte einen Thread in "Rätselforum intern" anlegen.

@Otmar Ich habe deine Beiträge mal ein bisschen zusammengefasst.

[Otmar]

Ich denke, bei Otmar ist es schon nett, dass er gespoilert hat - wer weiß, ob danach noch Möglichkeiten übrig geblieben wären!

Da hat Cujo zum Glück nachgeholfen, denn ich hatte keine Spoiler gemacht. Aber so konntest du wenigstens noch mit einsteigen.

Inzwischen geht es mir so wie Friedel es bei sich beobachtet hat. Ich bin mir sehr sicher, alle Varianten gefunden zu haben und nahe an einem Beweis dafür, dass es nicht mehr geben kann. Und das obwohl in meiner gestrigen Überlegung noch ein Denkfehler war. Dort hatte ich vorausgesetzt, dass die drei mindestens vorhandenen gleich langen Strecken in einer Kette liegen müssen. Das ist aber keineswegs offensichtlich. Beim Dreieck mit Mittelpunkt liegen drei gleichlange Linien sternförmig. Dieser Fall ist aber die einzige Außnahme und unschädlich, da die Dreieckskanten in einer in diesem Fall in einer geschossenen Kette liegen.

[Friedel]

Mir war gar nicht bewusst, dass es eine Spoilerpflicht gibt. Aber ich erinnere mich jetzt natürlich, dass ich das schon mal gelesen habe.

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Ich habe auch nicht damit gerechnet, dass Ottmar so schnell alle Lösungen findet. Ich habe damals mehrere Tage gebraucht.Eine Konstruktionsmöglichkeit für die letzte der Möglichkeiten ohne ein Näherungsverfahren zu benutzen oder die Streckenlängen arithmetisch zu berechnen, ist mir erst mehr als eine Woche später eingefallen, als ich mit anderen in einer Kneipe über dieses Rätsel gesprochen habe. Ottmar hat tatsächlich alle noch fehlenden Möglichkeiten gefunden. Zumindest sind das alle, die ich kenne.

Das Trapez lässt sich auf die von Ottmar beschriebene Weise nicht konstruieren. Man kommt bekommt das Trapez, indem man bei einem regelmäßigen Fünfeck eine Ecke weg lässt. Die Kanten des 5-ecks sind alle gleich lang. Wenn man die Verbindungslinien im inneren des 5-ecks zeichnet, erhält man ein Petagramm, dessen Linien auch alle gleich lang sind. Es gibt also nur 2 verschiedene Längen. Daran ändert sich natürlich nichts, wenn man einen Punkt entfernt und dadurch einige Linien entfallen.

[Otmar]

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Das Trapez lässt sich auf die von Otmar beschriebene Weise nicht konstruieren.

Da magst du recht haben, jedenfalls wenn man mit Zirkel und Lineal konstruiert. Aber ich habe nicht im Entferntesten an Konstuktionsvorschriften gedacht. Beim Trapez hatte ich folgendes im Kopf: Bei einem Quadrat sind die Diagonalen länger als die untere Kante. Wenn wir nun die untere Kante eines Quadrates verlängern und dabei die rechte und linke Kante wie bei einem Zirkel symmetrisch öffenen, entsteht ein Trapez. Irgendwann werden definitiv die Diagonalen kürzer als die untere Kante sein (bei völliger Streckung ist es sofort ersichtlich). Da alles stetig abläuft, muss es also eine Form geben, bei der die Diagonalen so lang sind, wie die untere Kante.

Auf jeden Fall hat es Spaß gemacht, aber das sagtest du ja schon in der Fragestellung.

[Friedel]

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Bei einem Quadrat sind die Diagonalen länger als die untere Kante. Wenn wir nun die untere Kante eines Quadrates verlängern und dabei die rechte und linke Kante wie bei einem Zirkel symmetrisch öffenen, entsteht ein Trapez. Irgendwann werden definitiv die Diagonalen kürzer als die untere Kante sein (bei völliger Streckung ist es sofort ersichtlich). Da alles stetig abläuft, muss es also eine Form geben, bei der die Diagonalen so lang sind, wie die untere Kante.

Mein Gedankengang war zunächst genau so. Aber damit konnte ich nur grob abschätzen, wie das Trapez aussieht. Ich wusste nur, dass es definitv eins geben muss. Erst mit der Idee mit dem regelmäßigen Fünfeck mit eingeschriebenem Pentagramm konnte ich genau angeben, wie das Trapez aussehen muss.