Flugzeuge vs Flak Rätsel ist gelöst

Rätsel, die zum Lösen einen größeren Zeitaufwand erfordern, wie z. B. schwierige Physik- und Matherätsel.

Flugzeuge vs Flak

Beitragvon kurth » Montag 11. Oktober 2010, 13:39

Hier handelt es sich um ein strategisches Spiel, das auf einen Brief
B. Pascals an P. Fermat vom 29.Juli 1654 zurückgeht.
Es soll angeblich auch militärische Strategien des zweiten Weltkrieges beeinflußt haben.

Nehmen wir an:
A greift B an. A besitzt zwei Flugzeuge die eine furchtbare Vernichtungswaffe an Bord haben.
B verteidigt mit vier Flaks ein wichtiges Objekt.

Das Objekt wird zerstört, wenn auch nur ein Flugzeug die Flakabwehr überwindet.
Um das Objekt anzugreifen, können die Flugzeuge aus jeder der vier Haupthimmelsrichtungen ( Nord - Süd - Ost - West) kommen.

Die Seite A kann nun beide Flugzeuge durch eine - oder aus verschiedenen Himmelsrichtungen schicken.
Die Seite B kann ihre Flaks in jeder der Himmelsrichtungen nach Belieben aufstellen.
Jede Flak kann nur EINMAL abfeuern . Der Schuß trifft ein Flugzeug nur, dann allerdings sicher, wenn es aus der GLEICHEN Himmelsrichtung kommt, wie die Flak positioniert ist.

Die Seite A hat nun zwei Strategien:
A1 : Die Flugzeuge kommen aus verschiedenen Himmelsrichtungen. (z.B.: Norden - Osten)
A2 : Die Flugzeuge kommen aus der selben Richtung . (z.B.: beide aus Norden)

B hat nun folgende Möglichkeiten:
B1 : je eine Flak in jeder Himmelsrichtung.
B2 : je zwei Flaks in zwei Himmelsrichtungen (z.B.: 2 Nord - 2 Süd), Ost und West sind ungeschützt.
B3 : zwei Flaks in einer Himmelrichtung, die restlichen zwei in für zwei weitere Richtungen. (z.B.: 2 Nord - 1 West - 1 Süd)

Nun meine Fragen:
1) Wie stehen die theoretischen Chancen für A
2) Worin besteht die optimale Strategie für A, und davon abgeleitet
3) die beste Strategie für B ?

Tja, bei nur EINEM Angriff wäre das recht leicht zu beantworten.
Wir gehen aber von VIELEN Angriffen (Spielen) aus.

Viel Spaß kurth
Spoilersperre ist festgelegt - Spoiler sind geöffnet
Start: Montag 11. Oktober 2010, 13:39
Ende: Dienstag 12. Oktober 2010, 13:39
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Re: Flugzeuge vs Flak

Beitragvon black » Montag 11. Oktober 2010, 21:05

Interessantes Rätsel. :danke:

Vermutete Lösung:
Mehr ->
Ich nehme an, es geht um mehrere Angriffe auf gleichartige Ziele, d.h. bei einem Treffer im 1. Angriff ist die Sache nicht komplett vorbei.

Dann sollte A 5/8 der Ziele (empirisch) sicher zerstören können, indem er in 5/8 der Fälle A2 (sonst A1) zufällig wählt.
A verhielte sich unabhängig von Bs Strategie, der B2 nie, den Rest nach Belieben anwenden würde.

Versucht A, auf Bs Strategie einzugehen, wäre o.g. Erfolgswahrscheinlichkeit nicht mehr garantiert, könnte aber überschritten werden,
wenn A B gut 'lesen' könnte. Das wäre dann aber eher Psychologie als Mathematik.

Herleitung:
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Sei P(Am,Bn) die Wahrscheinlichkeit, dass A mit der Strategie Am erfolgreich ist, also mindestens 1 Flugzeug durch kommt, wenn sich B mit Strategie Bn währt. Dann gilt:

P(A1;B1) = 0
P(A1;B2) = 1/2
P(A1;B3) = 5/6
P(A2;B1) = 1
P(A2;B2) = 3/4
P(A2;B3) = 1/2

Bei mehrfachen Angriffen seien die Strategien mit folgenden Wahrscheinlichkeiten zufällig angewandt:

A1: p1, A2: p2, B1: p3, B2: p4, B3: p5


Da B die aktuelle Strategie von A nie kennt, ist der Erwartungswert für As Erfolgswahrscheinlichkeit dann:

E(P) = 0*p1*p3 + 1/2*p1*p4 + 5/6*p1*p5 + 1*p2*p3 + 3/4*p2*p4 + 1/2*p2*p5

mit p1 = 1-p2 und p3 = 1-p4-p5 folgt:

P = p2 + p4*(1/2 - 3*p2/4) + p5*(5/6-4*p2/3)

X:= (1/2 - 3*p2/4), Y:= (5/6-4*p2/3)


B kann p4 und p5 wählen und versucht, P zu minimieren.

X ist für p2 > 2/3, Y für p2 > 5/8 negativ. Außerdem X>Y für p2>12/21.
Daher setzt B p4 immer 0 und p5 gleich 0 für p2 aus [0;5/8) bzw. 1 für p2 aus (5/8;1].
Für p2=5/8 sind alle p5 aus [0;1] ok.

Aus p4 =0, p5=0 folgt P = p2. Also wählt A p2 max aus [0;5/8]: p2 = 5/8 = P.

Aus p4 =0, p5=1 folgt P = P = 5/6 - p2/3. Also wählt A p2 min aus [5/8;1]: p2 = 5/8 = P.
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Re: Flugzeuge vs Flak

Beitragvon kurth » Dienstag 12. Oktober 2010, 22:39

Hallo Black!

(Fast) RICHTIG! :respekt:

Aber leider hast du......

Mehr ->
......B2 und B3 verwechselt ! :schade:

Natürlich hast du gemeint:

P(A1;B1) = 0
P(A1;B2) = 5/6
P(A1;B3) = 1/2
P(A2;B1) = 1
P(A2;B2) = 1/2
P(A2;B3) = 3/4

Für A hat das keine Auswirkung.
Also optimale Strategie für A ist, wie du geschrieben hast, tatsächlich A1 = 3/8 und A2 = 5/8 :genau:

Aber B ist natürlich zwangsläufig falsch.
Du bist aber, glaube ich, auf dem richtigen Weg!

Allerdings: Auch für B gibt es eine optimale Strategie ( aufbauend auf die Strategie von A, die ja nun feststeht)

Viele Grüße kurth
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Re: Flugzeuge vs Flak

Beitragvon black » Dienstag 12. Oktober 2010, 23:40

Mehr ->
kurth hat geschrieben:Aber leider hast du.........B2 und B3 verwechselt ! :schade:

Oje, stimmt, das hatte ich in der falschen Reihenfolge auf meinen Block übernommen. :oops:

Aber falls der ganze Fehler, nur aus dieser 'Umindizierung' resultiert, sollte die Lösung analog zu o.g. sein:
Daher sollte B m.E. B3 niemals, B1 und B2 nach Belieben anwenden.
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Re: Flugzeuge vs Flak

Beitragvon kurth » Mittwoch 13. Oktober 2010, 08:27

Hallo Black!

Klar, das ist alles richtig,
aber........

Mehr ->
.....nach Belieben, das wäre wohl (mathematisch gesehen) doch nicht optimal.
Es gibt auch für B einen Schlüssel, so ähnlich als wie für A.
(z.B.: B1 = 1/8 und B2 = 7/8)
Richtig, B3 wird nicht verwendet!
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Re: Flugzeuge vs Flak

Beitragvon black » Freitag 15. Oktober 2010, 00:17

Mehr ->
kurth hat geschrieben:Es gibt auch für B einen Schlüssel, so ähnlich als wie für A.
(z.B.: B1 = 1/8 und B2 = 7/8)
Richtig, B3 wird nicht verwendet!

Ups, nicht zu Ende gedacht. :oops:

p4 entspricht aufgrund der Verwechselung hier dem o.g. p5 und umgegekehrt, sonst von oben übernommen:

P = p2 + p4*(5/6-4*p2/3)
= p2 *(1-4/3*p4) +5/6*p4

Für p4 = 3/4 folgt: P = 5/8
Besser (d.h. P<5/8) kann's für B (ohne As nicht zu erwartende Mithilfe) ohnehin nicht laufen (siehe mein 1. Posting).

D.h. wenn B B2 in 3/4 und B1 in 1/4 der Fälle anwendet, sichert es (empirisch), dass P nicht größer als 5/8 wird - egal ob A o.g. Strategie verfolgt oder nicht.
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Re: Flugzeuge vs Flak

Beitragvon kurth » Freitag 15. Oktober 2010, 09:05

Hallo Black!

KOMPLIMENT!
Vollkommen richtig! :klatsch: :respekt:

Ich bin froh, daß du das so hingekriegt hast.
Ich hatte anfangs ein wenig Bammel, bei nicht ganz richtigen Lösungen erklären zu müssen,
was noch besser geht.
Aber da auch mir diese Aufgabe sehr gut gefallen hat.....
kurth
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Re: Flugzeuge vs Flak

Beitragvon black » Freitag 15. Oktober 2010, 09:23

:freu: :dance00:
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