Farbplaneten

[Otmar]

Jeder Bewohner eines Farbplaneten hat so viele verschiedenen Kleidungsstücke, wie es dort Farben gibt und lebt in einer Familie. In jeder Familie sind gleiche Kleidungsstücke in der gleichen Farbe und für jede Farbkombination der Kleidungsstücke gibt es genau eine Familie. Weiterhin hat jede Familie eine für den Planeten spezifische Anzahl von Mitgliedern. Benutzt wird auf einem Farbplaneten nicht das Dezimalsystem, sondern ein Zahlensystem mit einer planetenspezifischen Basis. Jeder Bewohner besitzt einen Ausweis mit einer Ausweisnummer, die genau zwei Stellen mehr hat, als die Anzahl der Ziffern des verwendeten Zahlensystems, keine führenden Nullen hat und jede Ziffer mindestens einmal enthält. Alle möglichen Ausweisnummern sind vergeben.
Zum gesuchten Farbplanetensystem gehören alle Farbplaneten, bei denen ein Vielfaches der letzten Ziffer von der planetenspezifischen Anzahl der Familienmitglieder größer als die Anzahl der Ziffern des verwendeten Zahlensystems und kleiner als die Anzahl der Farben ist.
Wie viele Farbplaneten gibt es in diesem System, wie viele Farben, Familienmitglieder und Bewohner haben diese Planeten und was sind die Basen zu denen die dort verwendeten Zahlensysteme gehören Die gesuchten Größen sollen natürlich im uns vertrauten Dezimalsystem angegeben werden.

[black]

Eine Verständnisfrage:

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In jeder Familie sind gleiche Kleidungsstücke in der gleichen Farbe

Dürfen ungleiche Kleidungsstücke auch in der gleichen Farbe sein?

[Otmar]

Hallo Black,
da ist mir leider die Formulierung danebengegangen, obwohl ich den Text zweimal Korrektur gelesen hatte. Also bei n Farben soll es auch n Arten Kleidungsstücken geben. Jeder Bewohner hat dann n solche Kleidungsstücke, jedes in einer anderen Farbe. Am besten mach ich noch ein Beispiel:

Angenommen es gibt 5 Farben, rot, gelb, grün, lila, und blau. Das Zahlensystem sei das Dualsystem und jede Familie hätte drei = 11(Basis 2) Milglieder:

Dann hätte jeder Bewohner 5 Kleidungsstücke z.B. eine rote Hose, ein blaues Hemd, einen gelben Hut, eine lila Jacke und einen grünen Mantel. Die Familienmitglieder sind uniformiert. Jede Familie hat also 3 Hosen, 3 Hemden etc. jeweils in der gleichen Farbe.

Die Ausweisnummern haben dann 4 Stellen, die kleinste Ausweisnummer ist 1000(Basis 2) und die größte ist 1110(Basis 2).

Die letzte Stelle der Familienmitglieder Anzahl im Dualsystem ist 1. Und da ein Vielfaches von 1 z.B. das Dreifache größer ist als 2 (die Basis des Zahlensystems) und kleiner als 5 (die Farbenanzahl) wäre die letzte Bedingung zum Planetensystem erfüllt.

Allerdings sind bei diesem Beispiel andere Bedingungen nicht erfüllt. Damit ist nix verraten aber hoffentlich alles klar.

und Gruß Otmar

[black]

Ich versuche mal mein Glück :

Edith hat noch einen Planeten mehr gefunden.

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Dem Text entnehme ich folgende relevante Größen und Beziehungen:

Farben C
Kleidungsstücke K=C
Familien F=C!
Midgleider/Fam. M
Zahlen Basis B
Ausweisstellen S=B+2
Ausweiszahl A

----

...Ausweisnummer, die genau zwei Stellen mehr hat, als die Anzahl der Ziffern des verwendeten Zahlensystems, keine führenden Nullen hat und jede Ziffer mindestens einmal enthält. Alle möglichen Ausweisnummern sind vergeben...

Die 1. Stelle im Ausweis sei aus den B-1 Ziffern außer 0 gewählt, die nächsten b-1 Stellen so mit den anderen Ziffern ausgefüllt das jede einmal vorkommt.
Für die Wahl der letzten zwei Ziffern gibt es nun 4 disjunkte Möglichkeiten:

1. Beide Ziffern gleich und gleich der 1.
2. Beide Ziffern gleich und ungleich der 1.
3. Beide Ziffern ungleich und die letzte gleich der 1.
4. Beide Ziffern ungleich und ungleich der 1.

Bei Möglichkeit, kann man die 1. Ziffer aus B-1 Ziffern frei wählen und die anderen B+1 Stellen mischen, was (B-1)(B+1)! Möglichkeiten ergibt.


1. innerhalb der B+1 letzten Stellen gibt es 1mal 2 gleiche Ziffern, also

(B-1)(B+1)!/2!

2. innerhalb der B+1 letzten Stellen gibt es 1mal 3 gleiche Ziffern, die zwei letzten können aus B-1 Ziffern gewählt werden, also:

(B-1)(B+1)!(B-1)/3!

3. innerhalb der B+1 letzten Stellen gibt es 1mal 2 gleiche Ziffern, die vorletzte Stelle kann aus B-1 Ziffern gewählt werden, also:

(B-1)(B+1)!(B-1)/2!

4. innerhalb der B+1 letzten Stellen gibt es 2mal 2 gleiche Ziffern, die vorletzte Stelle kann aus B-1 Ziffern, die letzte aus B-2 gewählt werden. Es ist egal ob die die Wahl der letzten zwei Ziffern ist vertauschbar, also:

(B-1)(B+1)!(B-1)(B-2)/(2!*2!*2!)

Summiert ergibt das insgesamt folgende Anzahl an möglichen Ausweisen:

(B-1)(B+1)!(3B^2+7B+2)/24

= M*F = M*C!

Es muss also folgendes gelten:

(B-1)(B+1)!(3B^2+7B+2)/24 = M*C!

----

... Zum gesuchten Farbplanetensystem gehören alle Farbplaneten, bei denen ein Vielfaches der letzten Ziffer von der planetenspezifischen Anzahl der Familienmitglieder größer als die Anzahl der Ziffern des verwendeten Zahlensystems und kleiner als die Anzahl der Farben ist.

Die letzt Ziffer wird mit der planetenspezifischen Basis berechnet M%B := Rest der Div. M/B

C > k*(M%B) > B

(sämtliche Variablen sind natürliche Zahlen)

Soweit die Infos, die ich meine, aus dem Text ziehen zu können.

-----

(B-1)(B+1)!(3B^2+7B+2)/24 = M*C! <=> (B-1)(3B^2+7B+2) = 24*M*C!/(B+1)!

Da sämtliche Variablen natürliche Zahlen sind folgt aus C > k*(M%B) > B:

C>=B+2

C!/(B+1)! enthält daher den Faktor B+2, C!/[(B+1)!(B+2)] ist also eine natürliche Zahl.

Eine Polynomendivision ergibt

(B-1)(3B^2+7B+2)/(B+2) = 3*B^2-2B-1 = 24MC!/[(B+1)!(B+2)]

----

Angenommmen C>B+2:

==> C!/(B+1)! enthält den Faktor B+3, 24MC!/[(B+1)!(B+2)(B+3)] wäre also aus N

(3*B^2-2B-1):(B+3) = 3B-11+32/(B+3) (aus N )

Da 3B-11+32/(B+3) ganzzahlig sein muss, ist B also aus {1,5,13,29}:

Für die anderen Kandidaten ergibt sich jeweils für W(B):=3B-11+32/(B+3):

W(1) = 0
W(5) = 8
W(13) = 56
W(29) = 77

Nur W(1) ist durch 24 teilbar.

Für B=1 wird (B-1)(B+1)!(3B^2+7B+2)/24 = M*C! zu

0 = M*C! ==> M=0, C>3

Dann ist C > k*(M%B) > B nicht erfüllt, da k(M%B) = k(0%1) = 0 > 1 für ein k aus N gilt.


==> C=B+2

----

Gesucht sind also B und M mit:

(3*B^2-2B-1) = 24M

Ein kurzer Test einiger Kandidaten legt nahe, B=12m+n (m,n aus N0={0,1,2,...}) zu setzen

==>

3*(144m^2+24mn+n^2) - 2(12m+n) - 1 = 3n^2 - 2n -1 (mod 24)


Bleibt zu klären, für welche n f(n) := 3n^2 - 2n -1 durch 24=3*2^3 teilbar ist.

[Edit: Der aufmerksame Leser bemerkt hier sicher, dass wir wieder am Anfang stehen, also gleich mit B hätten weitermachen können.
Da ich im Folgenden aber häufig jenes n nutzte, ist mir der nachträgliche Änderungsaufwand und die Gefahr, dabei Fehler zu produzieren, zu groß.]


Für n=3l gilt: f(n) = 2 mod (3) ==> falsch
Für n=3l+2 gilt: f(n) = 1 mod (3) ==> falsch
Für n=3l+1 gilt: f(n) = 0 mod (3)

Also n=3l+1, l aus N0.

Mit l=2p+1, p aus N0 folgt n=6p+4, für gerade n ist f(n) aber nicht durch 2 teilbar.

Also l=2p ==> n=6l+1.

==> f(p)/12 = = 9p^2 +2p

Da f(p)/12 aber auch noch gerade sein muss, damit f(p) durch 24 teilbar ist, folgt
p=2*q, q aus N0 und insg:

n= 12q+1

Also:

B(r) = 12m+n = 12m+12q+1 = 12r+1 (r aus N0)
C(r) =12r+3
M(r) = (3*B^2-2B-1)/24 = 18r^2 + 2r

Genau für alle r aus N0 erfüllen die entsprechenden B,C,M die Gleichung:

(B-1)(B+1)!(3B^2+7B+2)/24 = M*C!

----

Bleibt noch die Bedingung:

C > k*(M%B) > B


12r+1 < k*[(18r^2 + 2r)%(12r+1)] < 12r+3


Für r=2s (s aus N0) folgt:
24s+1 < k*s < 24s+3 |:s, s=0 nicht möglich da 1<0<3 folgen würde
24 +1/s < k < 24+ 3/s

==> (s,k) aus {(1,26),(2,25)}
==> (r,k) aus {(2,26),(4,25)}

Für r=2s+1 folgt:


24s+13 < k*(13s+7) < 24s+15

1+(11s+6)/(13s+7) < k < 1+ (11s+8)/(13s+7)


Es muss also 1>(11s+8)/(13s+7) <=> 1>2s gelten ==> s=0

==> (s,k) = (0,2)
==> (r,k) = (1,2)

----

Es gibt also insgesamt drei Lösungen: r aus {1,2,4}

...Zum gesuchten Farbplanetensystem gehören alle Farbplaneten, bei denen ein Vielfaches der letzten Ziffer von der planetenspezifischen Anzahl der Familienmitglieder größer als die Anzahl der Ziffern des verwendeten Zahlensystems und kleiner als die Anzahl der Farben ist...

Anzahl der Farbplaneten: 3

(Farben, Familienmitglieder, Bewohner, Basen) = (C,M,F*M=C!*M,B)

Mit r aus {1,2,4}

und

B(r) = 12r+1
C(r) = 12r+3
M(r) = 18r^2 + 2r

ergibt sich folgende Tabelle:

.                     #1            #2             #3
Farben                15            27             51
Familienmitglieder    20            76             296
Bewohner              ca. 2,6E13    ca. 8,3E29     ca. 4,6E68
Basen                 13            25             49

Wobei ich angesichts der Bevölkerungszahlen an meinen Ergebnissen zu zweifeln beginne.

[Musagetes]

Hi Otmar!

Hi @black!

Wow, ………

da hast du ja richtig Ordnung in das Planeten System gebracht, ich habe aus dem Text die gleichen Beziehungen gefolgert, …………….

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"Familien-Angehörige“ ==> Planetenabhängig
„Kleidungsstücke-Anzahl“ = „Farben-Anzahl“
„Bewohner-Anzahl“ = „Familien-Anzahl“ * „Familien-Angehörige“
„Familien-Anzahl“ = „Farben-Anzahl“! (!=Fakultät)
„Familien-Anzahl“ = „Kleidungsstücke-Anzahl“! (!=Fakultät)

„Zifferanzahl Zahlensystem“ < Vielfaches Einerstelle-„Familien-Angehörige“< „Farben-Anzahl“

„Zifferanzahl Zahlensystem“ = ?Planeten spez. Basis?
„Ziffern-Ausweisnummer“ = „Zifferanzahl Zahlensystem“ + 2 Ziffern


……. nur bei der Berechnung der „Bewohner-Anzahl“ (M*F = M*C!) bin ich etwas anders herangegangen.

@black:
Wobei ich angesichts der Bevölkerungszahlen an meinen Ergebnissen zu zweifeln beginne.

„Bewohner-Anzahl“ = „Zahlensystemkombinationen incl. 2-Zusätzl.-Stellen“ =
„Schnapszahlen (durch zusätzl. 2-Stellen)“ + „Zahlen ohne Schnapszahlen (durch zusätzl. 2-Stellen)“ – „Zahlenkombinationen ohne anführende Null“

„Zahlenkombinationen ohne anführende Null“ = „0-00-Kombinationen (durch zusätzl. 2- Stellen)“ + „Schnapszahlen (durch zusätzl. 2-Stellen)“ + „Zahlen ohne Schnapszahlen (durch zusätzl. 2-Stellen)“

Daraus folgt, …..

(Ziffer-Anzahl Zahlensystem = x)
„Zahlensystemkombinationen incl. den 2-Zusätzl.-Stellen“
„Schnapszahlen (durch zusätzl. 2-Stellen)“ = (x+2)!/3!*x
„Zahlen ohne Schnapszahlen (durch zusätzl.- 2-Stellen)“ = (x+2)!/2!/2!*(x²-x)
(„2!/2!“ Mississippi-Problem!)

„Zahlenkombinationen ohne anführende Null“
„0-00-Kombinationen (durch zusätzl. 2- Stellen)“ = (x+1)!/2!
„Schnapszahlen (durch zusätzl. 2-Stellen)“ = (x+1)!/3!*(x-1)
„Zahlen ohne Schnapszahlen (durch zusätzl.2-Stellen)“ = (x+1)!/2!/2!*(x²-x)

„Bewohner-Anzahl“= „Zahlensystemkombinationen incl. den 2-Zusätzl.-Stellen“

M*C!= (x+2)!/3!*x + (x+2)!/2!/2!*(x²-x) – [(x+1)!/2! + (x+1)!/3!*(x-1) + (x+1)!/2!/2!*(x²-x)

Vielleicht helfen dir ja die o. a. Gedankengänge in deiner Unsicherheit weiter!?

Gruß
Musagetes

[Otmar]

Wobei ich angesichts der Bevölkerungszahlen an meinen Ergebnissen zu zweifeln beginne.

Deine Zweifel sind völlig unbegründet, doch bevor ich sage, warum, erstmal zur auf Anhieb richtigen und vollständigen Lösung. Da sieht man die Liebe zum Detail.

Hab aber erstmal ne Weile nachrechnen müssen, weil, wie du unten siehst meine Formeln etwas anders sind.

Zum Vergleich meine Lösung, wobei ich die von dir begonnene Notation beibehalten habe:

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Anzahl der Ausweisnummern A:
Zuerst erlauben wir führende Nullen und wählen die Ziffern nur aus. Zuerst alle Ziffern von 0..B-1 und dann noch zwei Ziffern für die weiteren Stellen. Für diese 2 Ziffern gibt es:

Fall 1: B Möglichkeiten, wenn beide gleich sind.
Fall 2: B(B-1)/2 Möglichkeiten, wenn sie verschieden sind.

In beiden Fällen erhalten wir die Zahl der Anordnungen aus den Permutationen mit Wiederholung:

Fall 1: A1 = B * ((B+2)! / 3!)
Fall 2: A2 = B(B-1)/2 * ((B+2)!/(2! 2!))

Nun addieren wir beide Anzahlen, da ja wegen der verschiedenen Ziffern sich in den beiden Fällen verschiedene Ausweisnummern ergeben und lassen alle, die eine führende Null haben weg. (Dadurch fallen auch die mit 2 oder 3 führenden Nullen weg.) Da auf B Nummern immer eine mit einer führenden Null kommt multipliziert man einfach mit (B-1)/B:

A = ((B-1)/B) * (A1 + A2) = (B+2)!( (B-1)/6 + (B-1)^2/8) = (B+2)!(B-1)(4 + 3(B-1))/24 = M C!
------------------
Da zwischen B und C noch eine Zahl passen soll, ist C >= B+2. Angenommen C > B+2, dann wäre:

(B-1)(4 + 3(B-1)) = 24k(B+3) mit k > 0 aus N

oder für z = B+3 >= 5 (wegen B >= 2) muss gelten:

3z – 20 + 32/z = 24k woraus z aus {8, 16, 32} sein muss, was die Annahme zum Widerspruch führt, da für keines der drei z die linke Seite durch 24 teilbar ist. (geklaut von Black! Original hatte ich hier eine quadratische Gleichung ausgewertet.)

Also ist C=B+2
-----------------------------
und damit

(B-1)(4 + 3(B-1)) = 24M

Ansatz B-1 = 12r + q mit 0 <= q < 12 ist wegen 24 = 2*12 nahe liegend und liefert:

r(18 r + 2 + 3q) + q(1/6 + q/8) = M was offenbar nur für q=0 ein ganzzahliges Ergebnis hat.

Also ist B = 12r+1 und M = 2r(9r+1).
------------------------------------
Nun kommt die letzte Bedingung:

B < k (M%B) < C = B + 2 oder k (M%B) = B+1

Durch probieren findet man 2 unterschiedliche Fälle:

Fall 1: r = 2s mit s >= 1 aus N wegen 24s + 1 = B >= 2

0 <= M%B = M – 3s B = 4s(18s+1) – 3s (24s + 1) = 4s – 3s = s < 24s+1 = B

Also M%B = s und k = (B+1)/s = (24s+1 + 1)/s = 24 + 2/s also s aus {1, 2} und r aus {2,4}

Fall 2: r = 2s + 1 mit s >= 0 aus N
0 <= M%B = M – (3s+1) B = 13s + 7 < 12(2s+1)+1 = B

Also M%B = 13s+7 und k(13s+7) = (B+1) = (12(2s+1)+1 + 1) = 24s + 14. Da k >= 2 sein muss, da die letzte Ziffer ja kleiner als B ist, ist für s > 0 keine Gleichheit möglich. Für s=0 wird mit k = 2 die letzte Bedingung erfüllt. Also r = 1.
------------------------------
Als Ergebnis bekommen wir 3 Planeten mit

.                  
Basis Farben Familienmitglieder Bewohner
13     15        20              26153487360000
25     27        76              827554078231794764218368000000
49     51       296              459131150973065154946375932874913750474724877125027889152000000000000

Was die Bewohneranzahl betrifft, da hätte ich mit einer anderen letzten Bedingung z.B. r = 7 machen können. Dann hätten wir über 1.88*10^135 Bewohner bekommen . Aber so ging es noch mit einem einfachen Taschenrechner, meiner kann bis 10^99 rechnen.

@musagetes

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Hab deine Formel mit meiner verglichen. Da gibt es im Ergebnis Unterschiede. Hatte mit x = B = 10 getestet. Vielleicht fällt dir noch ein Fehler auf. Da mit dieser Formel alles steht und fällt, hatte ich die resultierende Anzahl sicherheitshalber für kleine B mit dem Computer nachgezählt. Blacks Formel lässt sich in meine umrechnen, bin sehr sicher, dass die passt.

[black]

@Musagetes:

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Deinen Weg, die Ausweiskombinationen zu berechnen, finde ich sehr plausibel, aber es haben sich m.E. ein paar Fehler
eingeschlichen. Mit u.g. Korrekturen, kommen wir dann auf des gleiche Ergebnis.

„Zahlensystemkombinationen incl. den 2-Zusätzl.-Stellen“
„Schnapszahlen (durch zusätzl. 2-Stellen)“ = (x+2)!/3!*x
„Zahlen ohne Schnapszahlen (durch zusätzl.- 2-Stellen)“ = (x+2)!/2!/2!*(x²-x) /2
(„2!/2!“ Mississippi-Problem!)

„Zahlenkombinationen ohne anführende Null“
„0-00-Kombinationen (durch zusätzl. 2- Stellen)“ = (x+1)!/2! *x
„Schnapszahlen (durch zusätzl. 2-Stellen)“ = (x+1)!/3!*(x-1)
„Zahlen ohne Schnapszahlen (durch zusätzl.2-Stellen)“ = (x+1)!/2!/2!*(x²-x) * (x-1)(x-2)/2

... erstmal zur auf Anhieb richtigen und vollständigen Lösung. Da sieht man die Liebe zum Detail.

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Du hattest beim Berechnen der Ausweißmöglichkeiten, den besten Ansatz.
Beim Lesen deiner Lsg. fiel mir auf, dass ich vergaß, k(M%B)=B+1 zu setzen, und es mir dadurch unnötig schwer (Ungleichungen) gemacht habe.
Dabei hatte ich es für C implizit genutzt.

... oder für z = B+3 >= 5 (wegen B >= 2) muss gelten: ...

Woher weiß man denn an dieser Stelle schon, dass B!=1 sein muss?

[Otmar]

Hallo Black,

Du hattest beim Berechnen der Ausweißmöglichkeiten, den besten Ansatz.

Darüber freue ich mich , aber ein Vergleich mit den Lösungen von Euch geht nicht, weil ich in einem anderen Zusammenhang auf diese Formel gekommen bin und sie erst dann als Grundlage für dieses Rätsel benutzt hatte.

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Woher weiß man denn an dieser Stelle schon, dass B!=1 sein muss

B ist doch die Basis eines Zahlensystems. Ich dachte immer ein Zahlensysteme zur Basis 1 gibt es nicht. Da wäre doch nur die Ziffer 0 möglich. Oder sehe ich das falsch?

Gruß Otmar

[black]

@Otmar:

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Ich dachte immer ein Zahlensysteme zur Basis 1 gibt es nicht. Da wäre doch nur die Ziffer 0 möglich. Oder sehe ich das falsch?

Ich war, bevor ich meine Lsg. editierte, aus diesem Grund auch von B>1 ausgegangen. Aber letztlich spricht doch eigentlich nix gegen Basis 1:

1: |
2: ||
3: |||
4: ||||
usw.

Da die Null (kein |) dann schlecht erkennbar wäre, sollte man vll. besser

0: |
1: ||
2: |||
3: ||||
4: |||||
usw.

setzen. Die Zahlen wären jedenfalls eindeutig bestimmt.

Das bringt mich doch gleich auf eine Rätselidee...

[Otmar]

Hi Black,

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ich hatte eigentlich nicht ein beliebiges Zahlensystem gemeint, sondern ein Stellenwertsystem. Hab ich gerade gelernt. Dabei muss man sogar noch sagen, dass die Basis eine positive ganze Zahl sein soll, denn man könnte auch jede komplexe Zahl mit Betrag > 1 als Basis nehmen. In dem Fall ist B >= 2 nötig.

Aber letztlich spricht doch eigentlich nix gegen Basis 1

Im Prinzip nicht, nur bei der Planetenaufgabe macht es Schwierigkeiten. Basis 1 liefert eigentlich ein additives Zahlensystem, wo die Position der Ziffer egal ist. Damit könnten wir noch leben. Aber irgendwie hatten wir auch bei der Aufstellung der Formel für die Ausweiszahlen, so ein System von vornherein ausgeschlossen. Denn für B=1 ist diese Formel nicht richtig, da sie dann 0 für die Anzahl der Ausweise liefert im Widerspruch dazu gibt aber genau eine Ausweisnummer bei obigen System mit Basis 1. Also gegen Basis 1 spricht, dass wir uns bei der Lösung des Rätsels am Anfang keinen Fehler vorwerfen lassen wollen .

Gruß Otmar