Meine Vermutung war, dass es prinzipiell nur dann lohnt mit einer Falltür den Gewinn zu halbieren, wenn man eine Menge gleichwahrscheinlicher Ereignisse in zwei gleichgroße Teilmengen aufteilt. Also z.B. 10 Ereignisse in zwei Gruppen zu 5 Ereignissen.
Für mich überraschend ist dem nicht so. Es ist für den "mittleren" Gewinn egal, wie groß die beiden Teilmengen sind, wenn jede wenigstens 1 Element hat. Denn angenommen man hat n Ereignisse, jedes mit der Wahrscheinlichkeit p=1/n und ein Ereignis hat einen Gewinn G und die anderen keinen Gewinn, dann ist der Gewinnerwartungswert E = G/n, wenn man sofort ein Ereignis auswählt. Teilt man jedoch vorher in zwei Gruppen mit a>0 und b>0 Ereignissen (n = a+b) und der neue Gewinn ist T = G/2 und bekommt die Teilmenge, in der der Gewinn ist, genannt, dann hat man mit einer Wahrscheinlichkeit a/n den Erwartungswert Ea = T/a und mit einer Wahrscheinlichkeit b/n den Erwartungswert Eb = T/b. Bei dieser Strategie ist der gesamte Erwartungswert Eneu die gewichtete Summe der Erwartungswerte für die beiden Situationen nach der Teilung. Also Eneu = (a/n)Ea+(b/n)Eb =(a/n)(T/a)+(b/n)(T/b) = 2T/n = G/n = E. Und das gilt natürlich für jede Falltür, die in diesem Spiel betreten wird.
Also bringt das Teilen für den Erwartungswert weder einen Vorteil noch einen Nachteil. Wenn man also sehr viele solche Fernsehshows betrachte, wird für jede Strategie im Mittel so viel gewonnen, wie bei der trivialen Möglichkeit, ohne Benutzung der Falltüren sofort auf eine Zahl zu tippen.
Der zweite Spieler hat natürlich immer die Möglichkeit, einen Gewinn zu erzwingen und jetzt hängt es ganz von den Präferenzen der Spieler (bei dieser Aufgabe von mir) ab, wie hoch ich die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Gewinn gestalten will. Das Rätsel war aber so gemeint, dass man eine Strategie sucht, mit dem Ziel, möglichst viele kleine Gewinne mit der Wahrscheinlichkeit 0 zu belegen, das heißt im schlimmsten Fall immer noch möglichst viel mit nach Hause zu nehmen. Kurt hat gezeigt, wie das geht und auch, dass man dann auf die beiden höchsten Gewinnmöglichkeiten verzichten muss. Aber wie das Leben so spielt, wenn die beiden gerade mal 8 Millionen Euro brauchen, um was ganz besonderes zu machen, dann sollten sie natürlich mit etwas mehr Risiko spielen, den ersten Spieler auf Falltür 7 stellen und hoffen, dass er mit 2,702.. prozentiger Wahrscheinlichkeit (nicht so wenig) durchfällt. Fällt er nicht durch, können sie so ähnlich weiterspielen wie bei Kurt. Aber auf den Erwartungswert des Gewinns hat die Spielweise keinen Einfluss.