Aber erst einmal muss ich die Herleitung meiner Summenformel für die erwarteten Gewinne im blauen Umschlag E(B), auch aus Vereinheitlichungsgründen mit den anderen Summengleichungen korrigieren.
Zudem habe ich diese, wie du auch erkannt hast, nicht mit den Wahrscheinlichkeiten multipliziert.
Noch mal zum Ausgangspunkt.
E(B) = p1 * S1 * 3^x + p2 * S2 * 3^(x+1)
E(B) = 3^x (p1 * S1 + p2 * S2 * 3) ________=> S2=3S1 =>
E(B) = 3^x (p1 * S1 + p2 * 3S1*3)
E(B) = 3^x (p1 * S1 + p2 * 9S1)
E(B) = 3^x * S1 (p1 + 9p2)_________bei p1= 1/(p+1) __ p1 = 2/3 ___ p2 = p/(p+1) ___ p2 = 1/3 =>
E(B) = 3^x * S1 (2/3 + 9/3)
E(B) = 3^x * 11/3 S1 Das Ergebnis E(B) basiert aber nur unter der Kenntnis des im roten Umschlag gefundenen Betrages.
Demzufolge:
E(B) = 11/3S1* 3^x
lässt sich das in folgender Summenformel ausdrücken.
(x=0 bis unendlich) __________p^(x+1)
Summe E(B) = p^1*11/3S1* 3^0 + p^2*11/3S1* 3^1 +….+ p^(x+1)*11/3S1* 3^x =>
Summe E(B) = 11/3S1 * p[(3p)^0 + (3p)^1 + (3p)^2 + (3p)^3 + … + (3p)^x]
- Formel.JPG (2.3 KiB) 1007-mal betrachtet
Summe E(B) = 11/3S1 * p{[(3p)^(x+1) –1]/(3p – 1)} _____ => bei p=05 =>
Summe E(B) = 11/3S1 * p{[(3p)^(x+1) –1]/(3*0,5 – 1)} =>
Summe E(B) = 11/3S1 * [(3p)^(x+1) –1] => Summe E(B) => unendlich
Wenn man hier die einfachen Reihenkonvergenzkriterien heranzieht, strebt der Term [(3p)^(x+1) –1] in den Grenzwert Unendlich.
Nach einer Fallbewertung für die Konvergenz müsste (3p)< 1 => p<1/3 sein.
Angenommen ein Sender hätte eine unbegrenzte Geldmenge und natürlich auch die Zeit zur Verfügung, dann könnte ich mir vorstellen, dass durch die zusätzliche Information durch den Geldbetrag im roten Umschlag, dieser Widerspruch sich im Unendlichen vereinbaren lässt.
Dies wird wohl auf eine Definitionsargumentation hinauslaufen. Beweisen kann ich es nicht hierzu fehlen mir die mathematischen Grundlagen und die unbegrenzte Zeit.Demzufolge ist E(R):
E(R) = p2* S1 * 3^(x+1) + p1 * S2 * 3^x
E(R) = 3^x (p2 * S1*3 + p1* S2) ______ => S2=3S1 =>
E(R) = 3^x (p2 * S1*3 + p1 * 3S1)
E(R) = 3^x * 3S1 (p1 + p2) ________ bei p1= 1/(p+1) __ p1 = 2/3 __ p2 = p/(p+1) ___ p2 = 1/3 =>
E(R) = 3^x * 3S1 (2/3 + 1/3) ______ p1+p2=1
E(R) = 3S1* 3^x Analog zu oben wäre die Summe E(R) in dem roten Umschlag
Summe E(R) = p^1 * 3S1 * 3^0 + p^2 * 3S1* 3^1 +….+ p^(x+1) * 3S1* 3^x =>
Summe E(R) = 3S1* p[(3p)^0 + (3p)^1 + (3p)^2 + (3p)^3 + … + (3p)^x]
- Formel.JPG (2.3 KiB) 1007-mal betrachtet
Summe E(R) = 3S1 * p{[(3p)^(x+1) –1]/(3p – 1)} ____ => bei p=05 =>
Summe E(R) = 3S1 * p{[(3p)^(x+1) –1]/(3*0,5 – 1)} =>
Summe E(R) = 3S1 * [(3p)^(x+1) –1] =>
Hier gelten auch die gleichen Konvergenz- und Fallkriterien wie oben.
Auch das Ergebnis E(R) basiert nur unter der Kenntnis des im roten Umschlag gefundenen Betrages.
Daraus folgt, der Erwartungswert eines Gewinns ohne das Wissen des roten Umschlages.
Um nun auf den Erwartungswert E(B) eines Gewinns ohne das Wissen des roten Umschlages zu schließen, geht man davon aus, dass in diesem konkreten Fall die Schecks S1 und S2 in den roten und blauen Umschlag normal 50/50 verteilt sind.
x=0...unendlich) _______ bei p(x) _____ p^(x+1)
Demzufolge ist:
E(B)=p*S1* 3^x + p*S2* 3^x =>
E(B)=p * (S1 + S2) * 3^x ______ => S2=3*S1
E(B)= 0,5 (S1 + 3S1) *3^x =>
E(B)= 2S1*3^x Demnach ist, der Erwartungswert der Gewinne ohne das Wissen des roten Umschlages.
Summe E(B) = p^1 * 2 S1 * 3^0 + p^2 * 2 S1 * 3^1 +….+ p^(x+1) * 2 S1 * 3^x =>
Summe E(B) = 2S1 * p[(3p)^0 + (3p)^1 + (3p)^2 + (3p)^3 + … + (3p)^x]
- Formel.JPG (2.3 KiB) 1007-mal betrachtet
Summe E(B) = 2S1 * p{[(3p)^(x+1) –1]/(3p – 1)} _____ => bei p=0,5 =>
Summe E(B) = 2S1 * {[(3p)^(x+1) –1]/(3*0,5 – 1)} =>
Summe E(B) = 2S1*[(3p)^(x+1) –1] Wie auch oben gelten die gleichen Konvergenz- und Fallbetrachtungen.
@Otmar:
Dieser durchschnittliche Gewinn müsste sich aber auch ergeben, wenn wir aus Pauls Sicht die Gewinnerwartung für den roten und blauen Umschlag mit den Wahrscheinlichkeiten, des Betrags im roten Umschlag multiplizieren und die Produkte addieren.
Wenn ich das nun richtig interpretiere, dann wäre demzufolge der durchschnittliche Gewinn aus mehreren Shows. (p=0,5)
Summe E(B|R) = p[p^x * Summe E(R)+ p^x * Summe E(B)]
Summe E(B|R) = p{3S1*p^x *[(3p)^(x+1)–1]+11/3S1*p^x *[(3p)^(x+1)–1]}
Summe E(B|R) = p*p^x * [(3p)^(x+1)–1] (9/3S1 + 11/3S1)
Summe E(B|R) = 20/3 S1 * p*p^x * [(3p)^(x+1)–1]Unter diesen Gesichtspunkten, konvergiert die Reihe in den Grenzwert Null, da der Term p^x*[(3p)^(x+1) –1] < 1 ist und immer kleiner wird.
Nach einer Fallbewertung für die Konvergenz müsste p<(1/3)^(1/2) sein. 
