Wenn man nach deinen Vorgaben mit der Bayessche Formel herangeht und für die beiden Scheckbeträge S1 und S2 setzt.
Um den Betrag B im roten Umschlag zu erzielen, gibt es zwei Möglichkeiten je nach der Anzahl von Wappenwürfen (x) bzw. (x + 1).
B = S1 * 3^(x +1)
B = S2 * 3^x
Die erwartete Wahrscheinlichkeit eines Münzwurfes z. B. Wappen beträgt p=0,5 bzw. bei mehrfachen Wappenwürfen hintereinander p(x) = 0,5^x .
Bei der Entscheidung für den roten oder den blauen Umschlag ist das einzige Kriterium, ob die Höhe des zu erwarteten Gewinnes E(B) größer ist als die des Gewinnes im roten Umschlag.
E(B) = p1 * S1 * 3^x + p2 * S2 * 3^(x+1)
Dann kann man in der obigen Formel E(B) den Term S1 * 3^x mit B/3
und S2 x 3^(x +1) mit 3B ersetzten.
Demzufolge wäre wie schon oben dargelegt:
E(B) = p1 * B/3 + p2 * 3B =>
E(B) = p1 * B/3 + p2 * 3B
E(B) = B (p1/3 + 3p2 ) =>
E(B) = B (p1/3 + 3p2 )
Wobei :
p1 = p8/(p8+p9) => p1 = 2/3
p1 = p8/p8(1+p)
p1 = 1/(1+p)
p2 = p9/(p8+p9) => p2 = 1/3
p2 = p9/ p9(1/p+1)
p2 = p/(1+p)
E(B) = B (1/(1+p)/3 + 3 p/(1+p) )
E(B) = B (1/3(1+p) + 9p/3(1+p) )
E(B) = B ((1+ 9p)/3(1+p) ) da p=0,5
E(B) = 1,22B
@Otmar:
Man kann sich ja mal fragen, wieviel Geld Paul erwarten würde, wenn er den blauen oder roten Umschlag nimmt, ohne dass ein Umschlag vorher geöffnet wird.
Um hier einen Mittelwert zu ermitteln, versuche ich das mal durch die Gegenüberstellung des Betrages im roten Umschlag B und des erwarteten
Gewinnes E(B) => B = E(B)
E(B) = p1 * S1 * 3^x + p2 * S2 * 3^(x+1)B = E(B)
S1 x 3^(x +1) = p1 * S1 * 3^x + p2 * S2 * 3^(x+1)
S1 * 3^(x +1) = p1 * S1 * 3^x + p2 * S2 * 3^(x+1)
S1 * 3^(x +1) = p1 * S1 * 3^x + p2 * S2 * 3^x * 3
S1 * 3^(x +1) =3^x ( p1 * S1 + p2 * S2 * 3)
S1 * 3^(x +1) =3^x (1/(1+p) * S1 + p/(1+p)* S2 * 3)
S1 * 3^(x +1) =3^x (1/3* S1 + 2/3 * S2 * 3)
S1 * 3^x *3 =3^x (1/3* S1 + 2/3 * S2 * 3)
S1 = (1/3* S1 + 2/3 * S2 * 3)/3
S1 = (S1/6 + 2/3 * S2)
S1 = (S1/6 + 2S1)
S1 = S1(1/6 + 2)
S1 = S1 * 2 1/6
Demzufolge ist ergibt sich ein Mittelwert von M = p * S1 * 2 1/6 * 3^x
Jetzt rennt mir die Zeit davon!!!Frage C: Warum ist das Öffnen des roten Umschlags nötig, um die Gewinnerwartung zu
optimieren?
@Musagetes:
Die beiden Umschläge dürften auch gleichwertig sein, da in der Realität auch nur zwei Geldbeträge existieren. Bei o. a. fiktiven Berechnung ist eine zu erwartende Gewinnmaximierung, bei einer fiktiven unterschiedlichen Anzahl von Münzwürfen berücksichtigt.
Bei einer fiktiven unterschiedlichen Anzahl von Münzwürfen, gibt es unendlich viele Einzelwahrscheinlichkeiten, je nach Anzahl der Wappenwürfe.
Um nun für diesen konkreten Fall, des Betrages im roten Umschlag, diese Wahrscheinlichkeit zu errechnen, spielt es eine Rolle ob Paul den Betrag im roten Umschlag kennt oder nicht.