Drei Analoguhren

[Banone]

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Das habe ich auch so. Uhr A laeuft am langsamsten und Uhr C am schnellsten. Da der Zeitfehler unter fuenf Minuten liegt, muessen sich die angegebenen Zeiten jeweils auf dieselbe Tageshaelfte beziehen.

Tipp an dich Poenix^^
er gab den Tipp V1<V2<V3<M das müsste heißen, (weil die uhren zum zeitpunkt M gleich laufen und M hinter den anderen ist), dass A am schnellsten läuft! dennoch hinterher ist... (meine Lösung war für den fall das M vor den geschehnissen war und meine rechnungen gingen in meinen Tabellen auf^^)

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Da ich schonmal ähnliche rätsel hatte, nicht, dass die tageszeit davon abhängig ist durch was sich die konkreten Uhrzeiten teilen lassen oder ähnliches... ? Wenn ja sags mal bitte nicht... möchte das mal ausknobeln ob ich da was finde ^^ (das würde einiges erleichtern in dem man sich ein kleines schema benutzt).... soweit ich das sehe waren auch alle angaben in sekunden durch 3 teilbar könnte aber zufall sein °~°...

[Otmar]

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Wenn man mal die fehlenden Angaben bei den Uhrenvergleichen einsetzt (z.B. in Form von Variablen), dann wird man feststellen, das jener der die Uhrenvergleiche machte den Moment M als Lösung einer quadratischen Gleichung erhält. Eine quadratische Gleichung hat bekanntlich entweder zwei oder genau eine oder keine reelle Lösung. Da in diesem Rätsel gesagt wurde, dass jener der die Uhrenvergleiche machte, den Moment M eindeutig bestimmen konnte, muss es gerade so sein, dass die quadratische Gleichung genau eine Lösung hatte:

x^2 + p x + q = 0 --->
x = -p/2 +- wurzel(p^2/4 - q)

also der Ausdruck unter der Wurzel muss Null sein, dass die Wurzel selbst verschwindet, was eine weitere entscheidende Gleichung

p^2 = 4 q

zur Lösung des Rätsels liefert.

Das war eine der schönen Stellen im Rätsel, jetzt ist es nur noch Rechnen. Vielleich macht das ja jemandem Spass Ansonsten werde ich das bald selbst auflösen.

[Otmar]

Dummerweise habe ich zum Selbstauflösen meine Berechnung verlegt, nicht ganz ohne Absicht . Jetzt bin ich in den Genuss gekommen, mein Rätsel nochmal lösen zu dürfen. Klingt gar nicht so kompliziert, wie es dann ist. Aber etwas Gutes hatte die neue Lösung auch. Sie ist zwar länger als die alte war, aber kommt mit wesentlich kleineren Zahlen aus und holt noch kleine Tricks aus der Ganzzahlarithmetik.

Deshalb kommt jetzt nur eine Hälfte der Lösung und dann noch ein , denn vielleicht mag ja noch jemand von euch den Lauf der Zeit eigens mitverfolgen. Doch vorher die Berechnung, die zum vorherigen Tipp geführt hat:

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Seit ich LaTeX habe ist das Formelschreiben reiner Genuss. Deshalb ein Blatt mit Genuss:

dreianaloguhren1.png (70.18 KiB) 1180-mal betrachtet

Und die Erklärung:
(1) definiert mit V denr Index für die drei Vergleiche V1, V2, V3.
(2) Definiert einen Nullpunkt in der Anzeige der Uhren. Das ist eine sehr wichtige und entscheidende Stelle, deshalb schreib ich da noch was dazu. Wir können ja annehmen, dass die Uhren sowohl die Tageshälfte (am oder pm) als auch das Datum anzeigen, wir aber diese Werte nie mitgeteilt bekommen haben. In dem Fall könnten wir uns den Wertebereich der angezeigten Zeit vom Jahr 0 bis weit in die Zukunft vorstellen. Für die Berechnung ist es aber praktischer, bezüglich der angezeigten Zeit für jede Uhr einen Nullpunkt festzulegen, der in der Nähe der Vergleiche liegt. Ich habe für jede Uhr bezüglich der angezeigten Zeit (mit Tageshälfte und Datum) die Zeit der Uhr A beim ersten Vergleich V1 als Nullpunkt gewählt. Die Uhren hatten ihren Nullpunkt natürlich nicht gleichzeitg, da sie ja nur im Moment M die gleiche Zeit zeigten und der nicht bei V1 lag. Bie Buchstaben a, b, c sind jetzt die angezeigten Zeiten minus die Zeit vom Nullpunkt. In (2) habe ich schonmal den Index V angefügt, da die Zeiten nur zu den Uhrenvergleichen benutzt werden.
(3) ergibt sich direkt aus (2)
(4) bis (6) sind die zeitlichen Relationen an den Uhrenvergleichen.
(7) bescheibt das zu schnell oder zu langsam gehen. Beta und Gamma sind konstant und wohl sehr nah bei 1. Die Faktoren geben die Relation zwischen Uhr B und A bzw. C und A an. Man sieht daraus, dass die Uhren nur im Moment M gleiche Zeit anzeigen.
(8) bis (10) erhält man aus (7) und (2) wenn man geeignete Werte für V einsetzt.
(11) Hier sind wir Beta und Gamma losgeworden, indem wir (8) und (9) in (10) eingesetzt haben und mit den Differenzen im Nenner erweitert haben.
(12), (13) und (14) kommen direkt aus (11) wenn man nach Potenzen von m sortiert. Vereinfachend wurde (3) bis (6) eingesetzt. Das ist die quadratische Gleichung, die jener, der die Vergleiche durchfürte, nutzen kann, um M zu bestimmen. Da er M eindeutig bestimmen konnte, hatten die Gleichung für m nur eine Lösung, also war p^2/4 - q = 0. Daraus folgte (15).
(16) ist (15) mit (13) und (14) geschrieben.
(17) ergibt sich aus den abgelesenen Zeiten von V1 und V2. Wobei die fehlende Information, ob Vor- oder Nachmittag in k steckt. k = 0 beide Vergleiche entweder am Vormittag oder am Nachmittag. k = 1: V1 vormittages und V2 nachmittags. k = -1: V1 nachmittags und V2 vormittags.
(18) ist eine Zerlegung von a2 aus (17) in Faktoren für die drei Möglichkeiten von k. (brauche ich für meine neue aus meiner Sicht schönere Lösung)

Im Prinzip könnte man aus p^2 = 4 q mit den drei Möglichkeiten für a2 drei quadratische Gleichungen in c3 aufschreiben und diese lösen. Es gibt dann maximal 2 * 3 reelle Lösungen, von denen jene gesucht sind, bei denen c3 ganzzahlig ist. Das wäre die einfachste Variante, die allerdings gute Rechengenauigkeit braucht, da relativ große Zahle entstehen.
Ich habe jetzt noch eine andere Lösung gefunden, die auch Teilbarkeitsregeln und die ganzzahlige Wurzel in (15) verwendet und dann in den Zwischenrechnungen mit Zahlen, die nicht viel größer als Tausend sind, auskommt.

[Otmar]

Also wie versprochen, jetzt kommt der Lösung zweiter Teil:

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Die Formelsammlung

dreianaloguhren2.png (149.03 KiB) 1170-mal betrachtet

mit Erklärung:

Untersuchung des Falls k = -1 (19)

(20) ergibt sich aus (18), (19). Die Folgerung für die Struktur von c3 mit ganzzahligem n erhält man aus (16), da unter der Wurzel eine Quadratzahl stehen muss, und a2 nicht durch eine Quadratzahl teilbar ist, da sowohl 3 als auch 239 Primzahlen sind.
(21) ergibt sich, wenn c3 aus (20) in (16) eingesetzt wird.
(22) kommt aus (21)
(23) erhält man aus (22) und (20). Da hier nur die linke Seite der Gleichung ein Vielfaches von 239 ist, ist (23) ein Widerspruch und der Fall k = -1 kann nicht eingetreten sein.

Untersuchung der anderen beiden Fälle für k (24)

(25) ergibt sich aus (24) und (18) wobei die Struktur von c3 mit ganzzahligem x sich wiederum aus der ganzzahligen Wurzel in (16) ergibt.
(26) erhält man, wenn man in (16) a2 und c3 aus (25) einsetzt.
(27) erhält man aus (26) wenn beidseitig durch 3 geteilt und 6 u x subtrahiert bzw. addiert wird.
(28) ist (27) auf beiden Seiten durch 15 geteilt. Es sind zwei (+, -) quadratische Gleichungen in x.
(29) sind die vier Lösungen für die beiden quadratischen Gleichungen in (28).
(30) und (31) sind nur einfache Umformungen der darüberstehenden Gleichungen.

Damit sind die Gemeinsamkeiten der Fälle k = 0 oder k = 1 fertig und wir machen mit den Einzelfällen weiter:

Fall k = 0 (32)

(33) ergibt sich aus (32), (25) und (18)
(34) ergibt sich aus (31) und (33)
(35) ergibt sich aus (34) und zeigt, dass x irrational ist, da unter der Wurzel keine Quadratzahl steht, denn 3 und 787 sind Primzahlen. Deshalb scheidet auch der Fall k = 0 für die Lösung aus, da ja ein Ganzzahliges x gesucht ist.

Fall k = 1 (36)

(37) ergibt sich aus (36), (25) und (18)
(38) ergibt sich aus (31) und (37)
(39) folgt aus (38) wobei nur die Lösung x = +/- 187 zu einem ganzzahligen c3 führt, dass in (40) angegeben ist.
(41) ergibt sich aus (18) für k = 1
(42) ergibt sich aus (12), (15), (13), (40) und (41)
(43) bis (49) ergibt sich aus A1 = 300 Sekunden und (2), (40), (41) und (42)

Und daraus erhält man die fehlenden Werte:

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V1 war am Vormittag.
V2 war am Nachmittag.
V3 war am 21.11.2011 am Vormittag. Uhr C zeigte 5:13:27 und Uhr B zeigte 5:13:11
M war am 23.11.2011 am Vormittag. Alle drei Uhren zeigten 7:05:27.