Die träge Masse

Rätsel, die zum Lösen einen größeren Zeitaufwand erfordern, wie z. B. schwierige Physik- und Matherätsel.

Die träge Masse

Beitragvon Otmar » Dienstag 1. August 2017, 15:44

Raumschiff Enterprise ist durch ein Wurmloch in die Steinzeit gefallen und steht still. Fred Feuerstein kommt mit zwei Steinkugeln vorbei, die in die Enterprise eingeladen werden und dann, eine nach der anderen in rückwärtige Richtung abgeschossen werden. Danach ist die Raumstation ist wieder auf Kurs. Wie groß ist die Masse der Enterprise, inclusive Besatzung und Ladung mindestens, wenn:

  • Die Masse des Raumschiffes und die Massen der beiden Kugeln in kg gemessen ganzzahlig sind.
  • Die Kanone der Enterprise für die Kugelmasse eine Toleranz von ±1ppm (± 1 Millionstel) von der nominalen Schussmasse hat.
  • Die Geschwindigkeiten mit der die Kugeln die Kanone verlassen gleich sind und diese Geschwindigkeit mit der neuen Kursgeschwindigkeit übereinstimmt.
  • Die Natur der Steinzeit nur newtonsche Gesetze kennt.
:?:

Viel Spaß beim Knacken dieser harten Nuss, insbesondere wenn keinerlei Programme (Exel und Co eingeschossen) zum Lösen verwendet werden. Ein nicht programmierbarer Taschenrechner reicht aus.
:spass:

edit: Bedingung: Erste Kugelmasse in kg ist Quadratzahl entfernt.
Spoilersperre ist festgelegt - Spoiler sind geöffnet
Start: Dienstag 1. August 2017, 15:44
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Re: Die träge Masse

Beitragvon Derryck » Dienstag 1. August 2017, 15:58

Ohje, ich glaube dafür brauche ich einen nicht programmierbaren Mathematiker. ^^
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Re: Die träge Masse

Beitragvon Otmar » Dienstag 1. August 2017, 22:34

Derryck hat geschrieben:Ohje, ich glaube dafür brauche ich einen nicht programmierbaren Mathematiker. ^^

Natürlich darfst du was programmieren, aber der Spaßfaktor ist höher ohne Durchprobieren.

PS: Ich bin auch kein Mathematiker, also du hast eine Chance!
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Re: Die träge Masse

Beitragvon MadMac » Freitag 4. August 2017, 15:30

Die Physik bzw. Mathematik ...
#
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ist nicht wild.

Auswertbar ist nur der Impulserhaltungssatz. Schwieriger ist es, die Aufgabenstellung zu interpretieren.

Das mit der Massetoleranz einer Kanone (Sorry, ich habe doch bereits die Kugeln mit bekannter bzw. gesuchter Masse, die wird ja von der Kanone nicht verändert. Außer alles wird relativistisch. Davon ist aber (trotz Mops-Warp-Antrieb) nicht auszugehen. Und rechnen könnte das hier, glaub ich, auch keiner mehr.

Interpretiert werden muss auch die Geschwindigkeit, mit der die Kugeln die Kanone verlassen. In welchem Bezugssystem denn?

Massen: mE, m1, m2 (Enterprise, erste Kugel, zweite Kugel)

a) Fred Feuerstein (außenstehender, ruhender Beobachter)

bedeutet, nach der ersten Kugel fliegt die Enterprise mit der zweiten Kugel an bord mit v1 nach links und die erste Kugel mit v nach rechts.
Nach der zweiten Kugel fliegt die Enterprise mit v nach links und beide Kugeln mit v nach rechts.

Impulserhaltungssatz: Jede Kombination von mE = m1 + m2 ist eine Lösung.

b) Kanone (näherliegend)

Vor der ersten Kugel:

Impuls (mE + m1 + m2)*0 = 0

Nach der ersten Kugel:

(mE+m2)*v1 + m1*(v1-v) = 0

Nach der zweiten Kugel:

mE*v + m2*0 + m1*(v1-v) = 0

Mehr Gleichungen krieg ich nicht zusammen.

Kürze ich durch v und wähle (Freiheitsgrad!) v1 = v/2, dann ist

m1 = 2mE
m2 = mE

mit unendlich vielen Lösungen und ohne Verwendung der obskuren Toleranz der Kanone.

Von Energie hab ich bei den Newtonschen Gesetzen nichts gelesen... auch steht da nicht, dass die Kanone stets die gleiche Schussenergie generiert (und dass diese ggfls. verlustfrei zur Verfügung steht?).


Gruß,
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Re: Die träge Masse

Beitragvon Otmar » Freitag 4. August 2017, 19:07

MadMac hat geschrieben:Das mit der Massetoleranz einer Kanone (Sorry, ich habe doch bereits die Kugeln mit bekannter bzw. gesuchter Masse, die wird ja von der Kanone nicht verändert. Außer alles wird relativistisch. Davon ist aber (trotz Mops-Warp-Antrieb) nicht auszugehen. Und rechnen könnte das hier, glaub ich, auch keiner mehr.


Nichts ist relativistisch, alles nach Newton, so war der vierte Punkt gemeint. Lass die Geschwindigkeiten einfach klein, wenn du es möchtest.

Die Masse der Kugeln ist nicht gegeben, sondern gesucht. Ganz klar, ohne zu rechnen, kann man ja sagen, dass eine Lösung für die gesuchten Massen auch Lösungen liefert, für Vielfache dieser Massen. Darum ist die kleinste Masse gesucht.

Angenommen, die nominale Schussmasse wäre 10000000 kg. Dann könnte die Kanaone Massen von 9999990kg .... 10000010kg abschießen.

Aber die nominale Schussmasse ist nicht gegeben, sondern ergibt sich durch die restlichen Bedingungen. Die verwendeten Kugeln haben eine Masse im erlaubten Bereich (weichen also voneinander maximal 2ppm ab), da sie ja abgeschossen wurden. Wenn du zwei Kugelmassen findest, die mit dem Rest des Gegebenen verträglich sind, dann darf die nominale Schussmasse dazwischen liegen. Sie muss auch nicht ganzzahlig in kg sein. Das ist nicht vorgegeben. Die gesuchten Massen (Kugeln und Enterprise) lassen sich dennoch eindeutig bestimmen, da sie in kg ganzzahlig sind und die kleinste mögliche Masse der Enterprise gefunden werden soll.

MadMac hat geschrieben:Interpretiert werden muss auch die Geschwindigkeit, mit der die Kugeln die Kanone verlassen. In welchem Bezugssystem denn?


Abschießen der Kugeln immer relative zum Lauf. D.h. wenn die erste Kugel mit 10m/s den Lauf der Kanone verlässt, dann auch die zweite. In v=s/t ist s der Abstand zwischen Kugel und Kanone.
Die neue Kursgeschwindigkeit ist relativ zum anfänglichen Stillstand, d.h. in dem System in welchem die Enterprise am Anfand still stand.

Natürlich sind für die Gleichheit der Geschwindigkeiten nur die Beträge der Geschwindigkeiten gemeint. Ist ja kar, dass Kugel und Enterprise sich in entgegengesetzte Richtung bewegen. D.h. als Vektor sind die Geschwindigkeiten unterschiedlich.

Mehr ->
MadMac hat geschrieben:Vor der ersten Kugel:

Impuls (mE + m1 + m2)*0 = 0

geht klar

MadMac hat geschrieben:Nach der ersten Kugel:

(mE+m2)*v1 + m1*(v1-v) = 0

wenn v1 im ruhenden System (Fred Feuerstein) und v der Betrag der Kugelgeschindigkeit aus dem Lauf, ist das OK.

MadMac hat geschrieben:Nach der zweiten Kugel:

mE*v + m2*0 + m1*(v1-v) = 0

im Fred Feuerstein System OK.


MadMac hat geschrieben:Kürze ich durch v und wähle (Freiheitsgrad!) v1 = v/2, dann ist

m1 = 2mE
m2 = mE

Ja, so wäre es trivial, aber der Freiheitsgrad ist nur ein bischen frei, und zwar so, dass die Toleranzbedingung eingehalten wird. Bei dir is ja im Monent noch eine Kugelmasse doppelt so schwer, wie die andere und wenn jetzt im günstigsten Fall die nominale Schussmasse 1,5 mE wäre, dann weicht m1 um +33,3% und m2 um -33,3% von dieser nominalen Masse ab. So kann es ja nicht gewesen sein.


Aber ansonsten, alles richtig, bis dahin! :gut:
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Re: Die träge Masse

Beitragvon Otmar » Dienstag 8. August 2017, 08:37

Zugegeben, das Rätsel ist schwer zu lösen. Aber es ist eines meiner besten Matherätsel. Da es gleich zwei sehr schwere Stellen gibt, verrate ich die Erste in einem :tipp:

Mehr ->
Wenn a die Masse der ersten und b die Masse der zweiten Kugel gemessen in kg ist, dann gibt es zwei ganze positive Zahlen x und y mit

a=x*(x+y)
b=y²
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Re: Die träge Masse

Beitragvon MadMac » Mittwoch 9. August 2017, 08:22

Ich denke ich weiß schon ungefähr wie es zu lösen ist ... allein ... die Zeit fehlt. :?
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Re: Die träge Masse

Beitragvon Otmar » Mittwoch 9. August 2017, 15:59

MadMac hat geschrieben:Ich denke ich weiß schon ungefähr wie es zu lösen ist ... allein ... die Zeit fehlt. :?


Super, dann will ich dir und allen anderen nichts weiter vorweg nehmen. Bin jetzt eh noch auf Dienstreise und dann bis Ende August im Urlaub. Also nicht wundern, wenn bei mir erstmal Funkstille ist. (WLAN war doch Funk?)
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Re: Die träge Masse

Beitragvon Friedel » Freitag 11. August 2017, 19:12

Otmar hat geschrieben:Die Kanone der Enterprise für die Kugelmasse eine Toleranz von ±1ppm (± 1 Millionstel) von der nominalen Schussmasse hat.
??? Was soll das denn bedeuten?
Bei der Aufgabenstellung ist mir so viel unklar, dass es wenig Sinn hat, nach Details zu fragen.
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