m = Masse Enterprise
a = Masse erste Kugel
b = Masse zweite Kugel
Im System in dem die Enterprise anfangs still stand, fliegt das noch mit Kugel b beladene Schiff nachdem die erste Kugel abgeschossen wurde, mit Geschwindigkeit u in Rückstoßrichtung und die Kugel a entfernt sich von der Enterprise mit Geschwindigkeit v, fliegt also mit v-u in Abschußrichtung. Nach Impulserhaltungssatz gilt
(m+b)u = a(v-u) ---> (m+b+a)u = av (1)
Vergessen wir die erste Kugel und gehen in das mit der Enterprise mitbewegte Bezugssytem, dann gilt dort analog nach Abschuß der zweiten Kugel:
(m+b)w = bv (2),
wobei w der Zuwachs an Geschwindigkeit der Enterprise in Rückstoßrichtung ist. Da nun nach Voraussetzung
u+w=v (3)
gelten soll, kann man die Geschwindigkeiten aus den drei Gleichungen eliminieren, in dem man (1) mit (m+b) und (2) mit (m+a+b) multipliziert und beide Gleichungen addiert:
(m+a+b)(m+b)(u+w) = (m+b) a v + (m+a+b) b v (4)
und nun u+w durch v Ersetzen (3) und durch v Kürzen liefert:
(m+a+b)(m+b) = (m+b)a + (m+a+b)b --->
m²+ma+mb+mb+ab+b² = ma+ab+mb+ab+b² --->
m²+mb=ab (5)
Ab hier seien alle verwendeten Variablen Massen in kg und positive ganze Zahlen. Ferner haben a, b und m keinen gemeinsamen Teiler, da wir sonst durch diesen Kürzen könnten, ohne dabei die Toleranzbedingung zu verändern. Gäbe es einen gemeinsamen Teiler größer als 1 hätten wir noch nicht die kleinste Masse m in der Gleichung. Jetzt wird erstmal der Trivialfall a = b ausgeschlossen. Angenommen a=b:
m²+ma=a²---> m²=a(a-m), da a und b teilerfremd sind, geht für a nur 1 und dann ist m²+m=1 nicht möglich, da m²+m >= 2 für positive ganze Zahlen m ist. Also sind a und b verschieden. Und jetzt wird es schwierig. Wir haben nur die Toleranzbedingung und Gleichung (5) für ganze Zahlen. Es bietet sich an, die drei Massen auf gemeinsame Teiler zu untersuchen:
m²=b(a-m) zeigt schon, dass m und b einen größten gemeinsamen Teiler t haben. Der wird benutzt:
m=tx
b=ty
wobei x und y ganze teilerfremde Zahlen sind. Nun kann man (5) nach a umstellen:
a=m+m²/b=m+t²x²/(ty)=m+tx²/y
Da x und y teilerfremd sind, ist t = sy ein s-faches von y. Setzt man das dür a, b und m ein steht da:
a=m+tx²/y=syx+sx²=s(xy+x²)
b=ty=sy²
m=tx=syx.
Offenbar ist s=1, da a, b und m teilerfremd sind. Also:
a=x(x+y)
b=y²
m=xy
Das sieht schon gut aus. Wir brauchen also nicht mehr drei, sondern nur zwei ganze Zahlen x und y zu suchen. Dazu hilft ein Blick auf den klein zu haltenden Betrag der Differenz der Kugelmassen d:
d=|b-a|=|y²-xy-x²| (6)
Für y > x kann man was machen. Und zwar die rechte Seite von (6) für echte Zahlen für x und y auch mit kleineren Zahlen schreiben:
d=|y²-xy-x²|=|y(y-x)-x²|
Hier kann man anstelle y auch die kleinere positive ganze Zahl r=y-x (da ja y > x) verwenden:
d=|(r+x)r-x²|=|-(x²-rx-r²)|=|x²-rx-r²|
Das ist interessant. Wenn man das Paar (y,x) durch (x,r)=(x,y-x) eintauscht, ändert sich der Betrag der Differenz nicht. Gedanklich kann man das jetzt so lange weitermachen, bis ein Paar (m,n) mit m<=n entsteht.
Beispiele beginnend mit y -> x -> ...:
14 -> 9 -> 5 -> 4 -> 1 -> 3 hier ist d=|1²-1*3-3²|=5
16 -> 10 -> 6 -> 4 -> 2 -> 2 hier ist d=|2²-2*2-2²|=4
Wir hatten jetzt also schon zu Anfang x>=y oder durch mehrfache Anwendung obiger Differenzbildung ein Paar (m,n) mit n>=m und d=|m²-nm-n²|. Die kleinste Differenz d=1 wird offenbar erreicht, wenn die Folge auf m=1 und n=1 endet. Ansonsten ist d >=4. Der weitere Weg zur Lösung ist einfach. Wir starten mit 1, 1 und bilden andersrum geeignete Paare (y,x) bis die Toleranzbedingung eingehalten wird. Da das nächste Glied der Folge die Summe aus beiden Vorgängern ist, kann man diese prominente Folge sicher auch nachschlagen. Da die beiden Kugelmassen sich jetzt um nur 1kg unterscheiden also d=1, nehmen wir die nominale Masse c=(a+b)/2 (ab nun sind wieder reelle Zahlen erlaubt) zwischen a und b an. Die Abweichung ist dann, ±0,5 / c und soll betraglich keiner als 1ppm sein. Also
0,5 / c <= 0,000001 ----> (mit |a-b|=d=1)
0,5 * 1000000 <= c <= b+0,5 =y²+0,5 ---> y²>= 499999,5 ---> y > 707.
Jetzt kommt die Fleißarbeit, die bei einer harten Nuss nicht fehlen darf. Wir brauchen eine Fibonaccifolge bis ein Glied der Folge größer als 707 ist:
1,1,2,3,5,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987 --> x=610, y=987
Wenn x, y nicht durch die Fibonacci Folge entstanden wäre, dann wäre d >=4 und wir bräuchten ein y > 1414, um die Toleranzbedingung zu schaffen. Das führt aber zu einer größeren Masse der Enterprise.
Also ist die minimale Masse m = x*y = 610*987 (und jetzt hole ich doch den Taschenrechner) = 602070.
Und damit wiegt die Enterprise (ohne Kugeln) mindestens 602070 kg. Was ich schon immer mal wissen wollte.
