Die träge Masse Rätsel ist gelöst

Rätsel, die zum Lösen einen größeren Zeitaufwand erfordern, wie z. B. schwierige Physik- und Matherätsel.

Re: Die träge Masse

Beitragvon MadMac » Mittwoch 25. Oktober 2017, 09:21

Wie wär's damit:

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Vor dem ersten Schuss:
(me+m1+m2) * v0 = 0

Nach dem ersten Schuss:
(me+m2)*v1 - m1*(v-v1) = 0
(me+m1+m2)*v1 = m1*1
v1 = m1/(me+m1+m2)

Nach dem zweiten Schuss:

me*v + m2*0 - m1*(v-v1) = 0
m1*v1 = (m1-me)*1
v1 = (m1-me)/m1



m1/(me+m1+m2) = (m1-me)/m1

m1^2 = (m1-me) * (me+m1+m2) = m1me + m1^2 + m1m2 - me^2 - m1me - m2me

0 = -m1m2 + me^2 + m2me

me = m2/2 +/- w(m2^2/4 + m1)

- m2 muss durch 2 teilbar sein.
- m2^2/4 ist eine Quadratzahl.
- m2^2/4 + m1 ist eine Quadratzahl.
- m2^2/4 + m2*x ist eine Quadratzahl. x aus [0,999998; 1,000002]

m2^2/4 + m2*x = (m2/2 + 1)^2 =>
(m2/2 + 1)^2 - (m2/2)^2 = 1 + m2 = m2*x

ist der einzige denkbare Treffer.

Nominelle Schussmasse:
500000,5kg
Kugel 1: m1 = 500001
Kugel 2: m2 = 500000
Enterprise: me = 500001


Gruß,
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Re: Die träge Masse

Beitragvon MadMac » Mittwoch 25. Oktober 2017, 09:22

Meine "Festlegungen" fehlen noch:

Massen: me (Enterprise), m1, m2 (Kugeln)

Geschwindigkeiten: v0 = 0, v1 (Enterprise), v = 1 (obda, Schussgeschwindigkeit, relativ zur Bewegungsgeschwindigkeit der Enterprise NACH dem Schuss, und Kursgeschwindigkeit)
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Re: Die träge Masse

Beitragvon MadMac » Mittwoch 25. Oktober 2017, 09:51

falsch falsch falsch :shock:
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Re: Die träge Masse

Beitragvon MadMac » Mittwoch 25. Oktober 2017, 11:11

So stimmts (ab der Lösung der quadratischen Gleichung ist's neu):

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Massen: me (Enterprise), m1, m2 (Kugeln)
Geschwindigkeiten: v0 = 0, v1 (Enterprise), v = 1 (obda, Schussgeschwindigkeit, relativ zur Bewegungsgeschwindigkeit der Enterprise NACH dem Schuss, und Kursgeschwindigkeit)

Vor dem ersten Schuss:
(me+m1+m2) * v0 = 0

Nach dem ersten Schuss:
(me+m2)*v1 + m1*(v1-v) = 0
(me+m1+m2)*v1 = m1*1
v1 = m1/(me+m1+m2)

Nach dem zweiten Schuss:

me*v + m2*0 + m1*(v1-v) = 0
m1*v1 = (m1-me)*1
v1 = (m1-me)/m1



m1/(me+m1+m2) = (m1-me)/m1

m1^2 = (m1-me) * (me+m1+m2) = m1me + m1^2 + m1m2 - me^2 - m1me - m2me

0 = -m1m2 + me^2 + m2me

me = -m2/2 +/- w(m2^2/4 + m1m2)

- x = m1/m2 aus [0,(periode)999998000001; 1,(periode)000002]
- y = x+1/4 = a^2/b^2 aus [1,24(periode)999800000199; 1,25(periode)000200]
- m2^2/4 + m1m2 = y * m2^2 ist eine Quadratzahl.

Ich wähle y = 1,118034^2 = 1,250000025156.

m2 = 10^12

=> m1 = m2*1,000000025156 = 1000000025156

=> me = 618034000000

Immer noch mit einer gewissen Beliebigkeit ...
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Re: Die träge Masse

Beitragvon Otmar » Mittwoch 25. Oktober 2017, 15:15

@MadMac

schön mal wieder was dazu zu lesen.

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Du hast m2 gewählt. :?: Wie kannst du sicher sein, so die kleinste mögliche Masse der Enterprise zu finden? Die gesuchte Masse ist kleiner und man kann sie fast im Kopf ausrechnen, inclusive Beweis, dass es die kleinste Masse ist. Der mögliche Verzicht auf elektronische Rechenhilfen, heißt natürlich nicht, dass die Lösung einfach ist.


Aber bis zur Wahl von y und m2 sieht es alles richtig aus. Jedenfalls passt meine Lösung zu deinen Gleichungen und Angaben. Die eigentliche Schwierigkeit bei diesem Rätsel, die kleinsten möglichen Massen zu finden, ist in obiger Lösung allerdings noch gar nicht in Angriff genommen worden.

:spass:
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Re: Die träge Masse

Beitragvon MadMac » Freitag 3. November 2017, 09:06

Wo waren wir ...

(bitte nicht auflösen, wenn ich immer noch zu groß bin)...

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me = -m2/2 +/- w(m2^2/4 + m1m2) = -m2/2 + y * m2/2
y^2 * m2^2/4 = m2^2/4 + m1m2

Nun zäume ich das Pferd mal von der anderen Seite auf und suche ein geeignetes y. Damit etwas endliches rauskommt, sollte y eine rationale Zahl, also ein Bruch sein. Da am Ende

m1 = m2 / 4 * (y^2 - 1)

sollten m2/4 und der Nenner von y möglichst gut kürzbar sein, oder, andersrum, damit ich im letzten Schritt möglichst wenig erweitern muss, der Nenner von y so klein wie möglich.

Außerdem muss (y^2-1)/4 möglichst gut die 1 annähern (Toleranzintervall [0,999999/1,000001 ; 1,000001/0,999999]) beziehungsweise y ~= w(5). Mit dem Wissen nähere ich y mal als Kettenbruch an.

Um die Toleranz einzuhalten (und gleichzeitig den Nenner so klein wie möglich zu halten) muss ich den Kettenbruch 6 Glieder lang machen. Das letzte Glied darf ich von 1/6 über 1/5 bis 1/4 variieren (und bin immer noch in der Toleranz.

y1 = 2 + 1/(4 + 1/(4 + 1/(4 + 1/(4 + 1/4)))) = 2889/1292
y2 = 2 + 1/(4 + 1/(4 + 1/(4 + 1/(4 + 1/5)))) = 3571/1597
y3 = 2 + 1/(4 + 1/(4 + 1/(4 + 1/(4 + 1/6)))) = 4253/1902

(wenn ich mich beim Abschreiben jetzt nirgendwo vertan habe).

Ich bestimme für die drei y jeweils m2, me, und m1 (in der Reihenfolge) und erweitere wenn nötig.
y1:
m2 2584 -> 6677056
me 1579 -> 4080136
m1 6677057 / 2 / 1292 -> 6677057
y2:
m2 3194 -> 5100818
me 1974 -> 3152478
m1 10201632 / 2 / 1597 -> 5100816
y3:
m2 3804 -> 14470416
me 2351 -> 8943204
m1 14470405 / 2 / 1902 -> 14470405

Als kleinste Masse für me habe ich aus diesen drei Werten für y 3152478 kg ermittelt.


Gruß,
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Re: Die träge Masse

Beitragvon MadMac » Freitag 3. November 2017, 09:10

(Noch n kleiner Rechenfehler: 4126648 bei y1)
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Re: Die träge Masse

Beitragvon MadMac » Freitag 3. November 2017, 15:30

Wenn man kann, sollte man noch um

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2 kürzen.


Und ich weiß schon, dass es noch kleiner geht. Habe aber im Moment mal wieder keine Systematik zur Hand, die nächstkleinere Lösung zu bestimmen :-//
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Re: Die träge Masse

Beitragvon Otmar » Samstag 4. November 2017, 23:21

@MadMac
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Geht in die richtige Richtung. :zustimm:
Bei meiner Musterlösung kommen keine Kettenbrüche vor. Und du hast recht, die gesuchte Masse ist noch etwas kleiner.
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Die träge Masse

Beitragvon MadMac » Dienstag 14. November 2017, 08:45

Das ist wahrscheinlich immer noch nicht die Musterlösung ... aber ich glaube das ist die kleinste.

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Ich habe mal die Annahme getroffen, dass mit größter Wahrscheinlichkeit m1 und m2 die Differenz 1 haben, wenn ich die kleinste Lösung gefunden habe.

Damit komme ich auf

me = -m2/2 + w(5/4 * m2^2 +/- m2)

Das habe ich vergeblich versucht weiterzuverfolgen, auch aus dem hier enthaltenen goldenen Schnitt wollte ich was machen, aber so recht ist mir nichts gelungen. Dann hab ich aber nochmal meine Kettenbruchidee aufgegriffen, und das Verhältnis m2/me ~= w(5)/2 angenähert. Die Zähler und Nenner des abgebrochenen Kettenbruches wachsen hier viel langsamer (weil immer nur ein 1/(1+...) als Fortsetzung entsteht), wodurch ich die Hoffnung hatte, dass ich hier die instesamt möglichen Ergebnisse viel feiner auflösen kann und ggfls. weniger mögliche Ergebnisse übersehe.

Ein neues Minimum habe ich bei

m2/me = 987/610 gefunden, mit

m1, m2, me: 974170, 974169 (siehe da, Differenz 1), 602070 bei der Kettenbruchlänge von 13

Das passt in den Rahmen, denn für m1, m2 zwischen 500000 und 1000000 ist keine größere Differenz als 1 möglich, kleiner als 500000 kann keine der beiden Massen werden.

Die nominelle Schussmasse der Kanone wäre dann ca. mn = 974169,5kg und nicht ganzzahlig (was auch nicht gefordert war).

Beim kürzeren Kettenbruch bleibt die Toleranz zwischen m1, m2 und mn zu groß, bei längeren laufen uns alte bekannte über den Weg (z.B. me = 1576239 für 14, me = 4126648 für 15).


Ein wirklich systematischer Treffer ist das aber immer noch nicht. Lediglich Octave beweist mir, dass es die kleinste Lösung ist.

Gruß,
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