Die Schlacht bei Hastings Rätsel ist gelöst

Rätsel, die zum Lösen einen größeren Zeitaufwand erfordern, wie z. B. schwierige Physik- und Matherätsel.

Die Schlacht bei Hastings

Beitragvon Kolabord » Montag 9. März 2015, 16:10

In einem Geschichtsbuch findet sich folgender Absatz über die Schlacht bei Hastings, in der im Jahre 1066 die Normannen die Angelsachsen und ihren König Harald II besiegten:

Haralds Männer standen dichtgedrängt in 13 gleich großen Quadraten. Als Harald aber selbst das Schlachtfeld betrat, formten sie sich zu einem einzigen großen Quadrat mit Harald an der Spitze und stürmten unter Gebrüll in die Schlacht.


Wie groß muss Haralds Armee mindestens gewesen sein?
Spoilersperre ist festgelegt - Spoiler sind geöffnet
Start: Montag 9. März 2015, 16:10
Ende: Donnerstag 12. März 2015, 16:10
Aktuell: Donnerstag 21. Juni 2018, 18:04
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Re: Die Schlacht bei Hastings

Beitragvon Otmar » Montag 9. März 2015, 18:27

Mit etwas Glück, kann man das erraten:

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13a²+1=b² --> 13=(b²-1)/a² < (b/a)² --> Sqrt(13) < b/a
Sqrt(13) = 3,605551275... < 3,60555555.... = 32,45/9=649/180

Probe mit a=180 und b=649 passt. Wie gesagt, mit etwas Glück ist das schon die Lösung. Dann waren es mit Harald 649²=421201 Leute.
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Die Schlacht bei Hastings

Beitragvon Neuling » Dienstag 10. März 2015, 01:47

:schulterzuck:
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Erraten konnte ich das nicht!

Ich weiß nicht einmal, ob ich die Aufgabe überhaupt richtig interpretiert habe.
Es könnten doch in jedem der 13 Quadrate 11 Mann stehen. Dann erhält man 13*11 + 1 = 144 = 12*12
Aber dann wäre es keine harte Nuss.

Daher denke ich, dass eine Lösung für die Gleichung 13x² + 1 = y² gesucht wird.

13x² + 1 = y² ---> 13x² = (y+1)*(y-1) ---> einer der beiden Faktoren muss durch 13 teilbar sein.
Also habe ich wieder mal fleißig probiert und nacheinander folgende Paare untersucht:
(13, 11); (15, 13)
(26, 24); (28, 26)
(39, 37); (41, 39) ... usw.

Die 99. Rechnung mit den Faktoren (650, 648) hat zum Erfolg geführt.
x = 180, y = 649

180*180 = 32400
13*32400 = 421200
421200+1= 421201=649*649
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Re: Die Schlacht bei Hastings

Beitragvon Otmar » Dienstag 10. März 2015, 21:42

Ob ich beim ersten Rätselraten Glück gehabt hatte?
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13a²=b²-1=(b+1)(b-1). Wenigstens einer der Terme b+1 oder b-1 ist also ein Vielfaches von 13. Also entweder b+1=13x oder b-1=13x.
D.h.: 13a²=13x(13x±2) oder
  a²=x(13x±2)  

Die eingerahmte Gleichung muss natürlich auch modulo 4 gelten. Dann kann man schreiben:
a²=x(x+2), weil 13=1 und -2=2 modulo 4 ist. a² ist dann entweder 0 oder 1 und für
x=0, 1, 2, 3 ist x(x+2)=0, 3, 0, 3.

D.h. x ist (jetzt nicht nur modulo 4, sondern überhaupt) eine gerade Zahl.

Eine weitere Vereinfachung bringt die eingerahmte Gleichung modulo 9.
Dann gilt, wenn man als Repräsentanten der Restklassen die neun ganzen Zahlen von -4 bis +4 wählt:
a²=x(13x±2)=x(4x±2)=2x(2x±1)=y(y±1)=y²±y mit y=2x, (alles modulo 9)

a oder y      a²        y²+y     y²-y
0 0 0 0
1 1 2 0
2 4 -3 2
3 0 3 -3
4 -2 2 3

Von der Spalte unter a² ist nur der Wert 0 in den letzten beiden Spalten wiederzufinden. Deshalb ist y modulo 9 gleich 0, -1 oder +1, wobei y=-1 nur für das + in der eingerahmten Gleichung möglich ist und y=+1 nur für das - der eingerahmten Gleichung.
y= 0=2x  --->  x= 0
y=-1=2x ---> x= 4 wegen 2*4-9=-1
y= 1=2x ---> x=-4 wegen 2*(-4)+9=1
Da x als ganze Zahl gerade ist, ist x nach der modulo 9 Rechnung als ganze Zahl beschränkt auf
x=18k-4 für -
x=18k für ±
x=18k+4 für +
Ferner kann ein Primfaktor p>2 nicht in ungerader Anzahl in x vorkommen, da 13x±2 nicht durch p teilbar ist und a² dann diesen Primfaktor in ungerader Anzahl enthalten würde, was nicht möglich ist. Das sei die Ausschlussbedingungn (###).
x       a²=x(13x+2)              a²=x(13x-2)
14=2*7 (###)
18=9*2 9*2*2*(13*9+1)=9*4*118 9*2*2*(13*9-1)=9*4*116 falsch, da weder 118 noch 116 eine Quadratzahl
22=2*11 (###)
32=16*2 gilt hier nicht 16*2*2(13*16-1)=8²*207 falsch, da 207 keine Quadratzahl
36=6² 6²(13*36+2)=6²*470 6²*464 falsch, da weder 470 noch 464 eine Quadratzahl
40=5*8 (###)
50=5²*2 gilt hier nicht 5²*2*2(13*25-1)=5²*2²*324=(5*2*18)² kleinste mögliche Lösung.


D.h. a=180 und in Haralds Armee waren 13*180²+1=421201 Leute.

Jetzt hab ich Hunger und passend zum Rätsel Appetit auf Pellkartoffeln. :hunger:
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Re: Die Schlacht bei Hastings

Beitragvon Half-Eye » Mittwoch 11. März 2015, 12:36

Zählt Harald zu dem großen Quadrat mit? :durcheinander-erstaunt0557: :schulterzuck:
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Re: Die Schlacht bei Hastings

Beitragvon Kolabord » Mittwoch 11. März 2015, 15:59

Zu euren Lösungsansätzen sage ich natürlich erst etwas, wenn die Spoilersperre abgelaufen ist, aber so viel schonmal:

Natürlich kann man mit etwas Glück oder durch Probieren die Lösung erraten. Allerdings müsste man sie dann auch noch verifizieren und somit zeigen, dass man tatsächlich die kleinste "Lösung" gefunden hat.

Half-Eye hat geschrieben:Zählt Harald zu dem großen Quadrat mit? :durcheinander-erstaunt0557: :schulterzuck:

Ja! Harald zählt zu dem großen Quadrat. Ansonsten wäre das Rätsel wohl etwas zu einfach.

Und noch ein Hinweis zu Neulings Lösung:
Es soll schon davon ausgegangen werden, dass die Soldaten ein perfektes Quadrat bilden. Es ist also beispielsweise nicht erlaubt einfach 11 Männer auf eine quadratische Fläche zu stellen.
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Re: Die Schlacht bei Hastings

Beitragvon Musagetes » Mittwoch 11. März 2015, 16:31

Hallo Kolabord,

schön wiedermal was von dir zu hören.

Mit einer Geschichtsfrage, um „Die Schlacht von Hastings“.
Hoffe, ihr habt alle im Geschichtsunterricht gut aufgepasst?! ;-)

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Dann müsste die Armee incl. Harald mindestens 421201
Mann stark sein.

Man kann die Frage auch mathematisch betrachten,
dann sind hier für abzählbare Mengen die natürlichen Zahlen,
die die positiven ganzen Zahlen umfassen, heran zuziehen.

N = { 1;2;3;…}

Wenn man nun die 13 gleichgroßen Anfangsquadrate, die die Anzahl
der Soldaten darstellen sollen mit a² bezeichnet und zu dieser Menge sich
noch Harald dazu gesellt, dann kann sich diese Gesamtmenge zu dem
Endquadrat b² formatieren, woraus sich folgende Gleichung aufstellen lässt.

13a² + 1 = b²

Aus dieser Gleichung resultieren unendlich viele Lösungen,
die mit dem Kettenbruchverfahren auffindbar sind.
Da hier aber die Mindestmenge gesucht ist, ergibt sich eine
Lösung für a = 180 und b = 649

13 x 180² + 1 = 649²

Somit besteht Haralds Armee und Ihm selbst aus mindestens
421201 Mannen.


Viel Spaß beim Geschichtsbuch blättern.

Liebe Grüße
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Re: Die Schlacht bei Hastings

Beitragvon Otmar » Mittwoch 11. März 2015, 19:42

Mir ist noch was anderes eingefallen:
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13a²=b²-1=(b+1)(b-1). Wenigstens einer der Terme b+1 oder b-1 ist also ein Vielfaches von 13. Also entweder b+1=13x oder b-1=13x.
D.h.: 13a²=13x(13x±2) oder
  a²=x(13x±2)  

Die eingerahmte Gleichung muss natürlich auch modulo 4 gelten. Dann kann man schreiben:
a²=x(x+2), weil 13=1 und -2=2 modulo 4 ist. a² ist dann entweder 0 oder 1 und für
x=0, 1, 2, 3 ist x(x+2)=0, 3, 0, 3.

D.h.x ist (jetzt nicht nur modulo 4, sondern überhaupt) eine gerade Zahl x=2y. Damit ist a² ein Produkt aus zwei geraden Zahlen und durch vier teilbar. Also ist:
a²=2y(13*2*y±2)=4y(13y±1)=4c² und damit
  c²=y(13y±1)  

Offenbar sind y und 13y±1 teilerfremd. D.h. beide Faktoren haben keinerlei gemeinsame Primfaktoren. Deshalb muss jeder Faktor für sich eine Quadratzahl sein. Testet man für y der Reihe nach die Quadratzahlen 1, 4, 9, 16 und 25, dann wird der zweite Faktor 13y±1 zum ersten mal bei y=25 für das - in ± eine Quadratzahl: 13*25-1=324=18². Damit ist a=2c=2*5*18=180 und in Haralds Armee waren 13*180²+1=421201 Leute.
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Re: Die Schlacht bei Hastings

Beitragvon Otmar » Donnerstag 12. März 2015, 00:28

Kolabord hat geschrieben:Natürlich kann man mit etwas Glück oder durch Probieren die Lösung erraten. Allerdings müsste man sie dann auch noch verifizieren und somit zeigen, dass man tatsächlich die kleinste "Lösung" gefunden hat.


Ich bin immer davon ausgegangen, dass zum Lösen eines Rätsels das "Raten" die geeignete Herangehensweise ist. Scheinbar habe ich da prinzipiell was falsch verstanden. :o

@Kolaborad, ich bin bei meinen drei Lösungen immer davon ausgegangen, dass je Mann eine kleine quadratische Fläche im Quadrat vorgesehen ist, also in jedem Quadrat eine Quadratzahl von Männern steht. Aber aus dem Text und deiner Klarstellung
Kolabord hat geschrieben:Es soll schon davon ausgegangen werden, dass die Soldaten ein perfektes Quadrat bilden. Es ist also beispielsweise nicht erlaubt einfach 11 Männer auf eine quadratische Fläche zu stellen.
geht das eigentlich nicht hervor. Aber du hast es doch so gemeint? Oder doch nicht?
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Re: Die Schlacht bei Hastings

Beitragvon Otmar » Samstag 14. März 2015, 00:31

Vielleicht ist das Rätsel doch eindeutiger gestellt, als gedacht. Denn bei solchen Schlachten standen
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die Soldaten in Reih und Glied hintereinander. Meine Annahme, dass jedem eine quadratische Fläche zugeordnet wurde ist gar nicht nötig. Es reicht die Annahme, dass jeder auf einer rechteckigen Fläche der Größe x * y steht und diese Fläche je Soldat in jedem der Quadrate gleich ist. Dann stehen in den 13 kleinen Quadraten c * d Soldaten und es gilt c*x = d*y, weil die Seiten eines Quadrates ja gleich lang sind. Im großen Quadrat stehen e * f Soldaten und es gilt e*x = f*y. Offenbar ist dann
x/y = f/e = d/c und
13 * c * d + 1 = e * f.
Aus der letzten Gleichung geht hervor, dass c bzw. d zu e * f und damit auch einzeln sowohl zu e als auch zu f teilerfremd sind.
Wegen f/e = d/c gilt f * c = d * e. Da d * e ein Vielfaches von c ist, aber e und c teilerfremd sind, muss d ein Vielfaches von c sein. Analog muss c ein Vielfaches von d sein. Und daraus folgt c = d. Analog erhält man e = f. Und schon ist man bei der in allen Lösungsversuchen vorausgesetzten Pellschen Gleichung mit a=c=d und b=e=f:
13a²+1=b²

:danke: an Kolabord.
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