Die Schlacht bei Hastings Rätsel ist gelöst

Rätsel, die zum Lösen einen größeren Zeitaufwand erfordern, wie z. B. schwierige Physik- und Matherätsel.

Re: Die Schlacht bei Hastings

Beitragvon Otmar » Freitag 17. November 2017, 23:17

Da ist ein schönes Rätsel hochgepoppt! Hab den Anlass genutzt, um noch einen weiteren vollständigen Lösungsweg (für Kolabords Quadratvorstellung)einzustellen, der mit Schulkenntnissen und wenig Aufwand auskommt:

Mehr ->
13a²+1=b² ---> b/a=Sqrt(13+1/a²) > Sqrt(13) = 3,605551275....

wenn man die irrationale Zahl 3,605551275... auf die rationale Zahl 3,605555555... vergrößert, erhält man vielleicht eine Lösung für a und b:

3,605555555... * 9 = 32,45 versuchen wir b/a=3245/900=649/180

Probe mit b=649 und a=180 passt. Glück gehabt!

Sind das aber die kleinsten Werte für a und b? Angenommen 1 <= x < a sei besser:

13x²+1=y² ---> y/x=Sqrt(13+1/x²)

Dann gilt b/a < y/x, weil unter der Wurzel 1/x² > 1/a² ist. Jetzt noch eine obere Schranke für y/x. Man nehme für 13+1/x² mit der Abkürzung d=Sqrt(13) ein etwas größeres Quadrat:

(d+1/(2*d*x²))² = 13+1/x²+1/(2*d*x²)² > 13+1/x² ---> Sqrt(13+1/x²) < d+1/(2*d*x²) --->

y/x < d+1/(2*d*x²)

und wegen b/a > d gilt natürlich auch:
y/x<b/a+1/(2*d*x²) oder nach Subtraktion von b/a:
y/x-b/a < 1/(2d*x²) und nach Multiplikation mit a*x²
x(ay-xb) < a/(2d) = 180/(2*Sqrt(13)) < 25
wegen b/a < y/x ist xb < ay und ay-xb >= 1 --->

x < 25

Nun kommt Neulings Ansatz:
13x²=y²-1=(y-1)(y+1) <= 13 * 24² = 7488
---> y <= Sqrt(7489) ---> y <= 86
Wegen x > 0 ist y > 1. Es bleiben also noch möglichen Zahlen für x²
1*(13±2), 2*(26±2), 3*(39±2), 4*(52±2), 5*(65±2), 6*(78±2)
Hier kann man im Kopf die Primfaktorzerlegung (ggf. teilweise) machen und sieht, dass keine der 12 verbliebenen Zahlen eine Quadratzahl ist.

z.B.: 5*(65±2) hat nur einmal den Primfaktor 5.

Somit war der erste Treffer ein echter Glückstreffer.
Liebe Grüße, Otmar.
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