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13a²+1=b² ---> b/a=Sqrt(13+1/a²) > Sqrt(13) = 3,605551275....
wenn man die irrationale Zahl 3,605551275... auf die rationale Zahl 3,605555555... vergrößert, erhält man vielleicht eine Lösung für a und b:
3,605555555... * 9 = 32,45 versuchen wir b/a=3245/900=649/180
Probe mit b=649 und a=180 passt. Glück gehabt!
Sind das aber die kleinsten Werte für a und b? Angenommen 1 <= x < a sei besser:
13x²+1=y² ---> y/x=Sqrt(13+1/x²)
Dann gilt b/a < y/x, weil unter der Wurzel 1/x² > 1/a² ist. Jetzt noch eine obere Schranke für y/x. Man nehme für 13+1/x² mit der Abkürzung d=Sqrt(13) ein etwas größeres Quadrat:
(d+1/(2*d*x²))² = 13+1/x²+1/(2*d*x²)² > 13+1/x² ---> Sqrt(13+1/x²) < d+1/(2*d*x²) --->
y/x < d+1/(2*d*x²)
und wegen b/a > d gilt natürlich auch:
y/x<b/a+1/(2*d*x²) oder nach Subtraktion von b/a:
y/x-b/a < 1/(2d*x²) und nach Multiplikation mit a*x²
x(ay-xb) < a/(2d) = 180/(2*Sqrt(13)) < 25
wegen b/a < y/x ist xb < ay und ay-xb >= 1 --->
x < 25
Nun kommt Neulings Ansatz:
13x²=y²-1=(y-1)(y+1) <= 13 * 24² = 7488
---> y <= Sqrt(7489) ---> y <= 86
Wegen x > 0 ist y > 1. Es bleiben also noch möglichen Zahlen für x²
1*(13±2), 2*(26±2), 3*(39±2), 4*(52±2), 5*(65±2), 6*(78±2)
Hier kann man im Kopf die Primfaktorzerlegung (ggf. teilweise) machen und sieht, dass keine der 12 verbliebenen Zahlen eine Quadratzahl ist.
z.B.: 5*(65±2) hat nur einmal den Primfaktor 5.
Somit war der erste Treffer ein echter Glückstreffer.
wenn man die irrationale Zahl 3,605551275... auf die rationale Zahl 3,605555555... vergrößert, erhält man vielleicht eine Lösung für a und b:
3,605555555... * 9 = 32,45 versuchen wir b/a=3245/900=649/180
Probe mit b=649 und a=180 passt. Glück gehabt!
Sind das aber die kleinsten Werte für a und b? Angenommen 1 <= x < a sei besser:
13x²+1=y² ---> y/x=Sqrt(13+1/x²)
Dann gilt b/a < y/x, weil unter der Wurzel 1/x² > 1/a² ist. Jetzt noch eine obere Schranke für y/x. Man nehme für 13+1/x² mit der Abkürzung d=Sqrt(13) ein etwas größeres Quadrat:
(d+1/(2*d*x²))² = 13+1/x²+1/(2*d*x²)² > 13+1/x² ---> Sqrt(13+1/x²) < d+1/(2*d*x²) --->
y/x < d+1/(2*d*x²)
und wegen b/a > d gilt natürlich auch:
y/x<b/a+1/(2*d*x²) oder nach Subtraktion von b/a:
y/x-b/a < 1/(2d*x²) und nach Multiplikation mit a*x²
x(ay-xb) < a/(2d) = 180/(2*Sqrt(13)) < 25
wegen b/a < y/x ist xb < ay und ay-xb >= 1 --->
x < 25
Nun kommt Neulings Ansatz:
13x²=y²-1=(y-1)(y+1) <= 13 * 24² = 7488
---> y <= Sqrt(7489) ---> y <= 86
Wegen x > 0 ist y > 1. Es bleiben also noch möglichen Zahlen für x²
1*(13±2), 2*(26±2), 3*(39±2), 4*(52±2), 5*(65±2), 6*(78±2)
Hier kann man im Kopf die Primfaktorzerlegung (ggf. teilweise) machen und sieht, dass keine der 12 verbliebenen Zahlen eine Quadratzahl ist.
z.B.: 5*(65±2) hat nur einmal den Primfaktor 5.
Somit war der erste Treffer ein echter Glückstreffer.