Die Schlacht bei Hastings Rätsel ist gelöst

Rätsel, die zum Lösen einen größeren Zeitaufwand erfordern, wie z. B. schwierige Physik- und Matherätsel.

Re: Die Schlacht bei Hastings

Beitragvon Kolabord » Sonntag 15. März 2015, 16:32

Dann wollen wir uns eure Lösungsansätze mal genauer vornehmen.

Zunächst zur Eindeutigkeit der Formulierung: Zwar ist der Rätseltext vielleicht nicht hunderprozentig genau, aber ich denke, man kann gut intuitiv verstehen, was gemeint ist. Schließlich hattet ihr alle das richtige Verständnis.

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Da ihr alle das selbe Ergebnis raushabt, ist wenig überraschend, dass ihr damit richtig liegt. Nur eure Wege unterscheiden sich deutlich:

Neuling hat die Lösung direkt ausgerechnet. Das ist zwar extrem aufwändig und wohl kaum ohne Computer machbar, aber dadurch natürlich nicht falsch.

Die Kettenbrüche, die Musagetes zum Lösen der Gleichung nutzt, muss man halt kennen. Sicherlich ist es das Lösungsverfahren zum Lösen einer Pellschen Gleichung, aber man kommt wohl kaum einfach so darauf.

Zu Otmars Lösung möchte ich noch sagen, dass die Gleichung 13x^2-y^2=1 in der Ringerweiterung Z[sqrt(13)]=Z+sqrt(13)Z in die Gleichung (x+sqrt(13)y)(x-sqrt(13)y)=1 zerfällt, also die Antwort auf die Frage direkt mit der Suche nach der Einheitengruppe dieses Rings zusammenhängt. Du hast zwar diesen Ansatz nie erwähnt, aber ihn doch in deiner Lösung (unbewusst) genutzt.


Alles in Allem habt ihr alle gute Arbeit geleistet und das Rätsel ist gelöst. Auch wenn alles nicht geholfen hat, da Harald die Schlacht trotzdem verliert.
Fröhliches Rätselraten wünscht euch
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Re: Die Schlacht bei Hastings

Beitragvon Otmar » Sonntag 15. März 2015, 23:43

@Kolabord,

Kolabord hat geschrieben:Zu Otmars Lösung möchte ich noch sagen, dass die
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Gleichung 13x^2-y^2=1 in der Ringerweiterung Z[sqrt(13)]=Z+sqrt(13)Z in die Gleichung (x+sqrt(13)y)(x-sqrt(13)y)=1 zerfällt, also die Antwort auf die Frage direkt mit der Suche nach der Einheitengruppe dieses Rings zusammenhängt.
Du hast zwar diesen Ansatz nie erwähnt, aber ihn doch in deiner Lösung (unbewusst) genutzt.

Würde mich freuen, wenn du das etwas genauer erklären würdest. Ich sehe da nicht mal einen verdeckten Zusammenhang zu meinen Lösungen. Welche der drei verschiedenen Lösungen meinst du denn? Mir scheint das mindestens genau so kompliziert, wie die Methode von Musagetes.
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Das geht schon damit los, dass eine Einheit nicht durch die von dir gegebene Gleichung definiert ist, sondern so:
x+y sqrt(13) ist eine Einheit genau dann, wenn 1/(x+y sqrt(13)) = a + b sqrt(13) mit ganzen Zahlen a und b ist.

Jetzt muss man erst mal nachweisen, dass daraus folgt: a=x und b=-y.

Oder meinst du, dass ich zur ersten Vereinfachung in meinen letzten beiden Lösungen die dritte binomische Formel verwendet hatte? Hat Neuling genau so gemacht, aber in unseren Lösungen wurde die Formel auf eine andere Summe angewendet als bei deinem Beitrag.

Und was nützt die andere Formulierung bei der Lösung deiner Fragestellung? Sie wird doch dadurch nicht einfacher. Oder doch?
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Re: Die Schlacht bei Hastings

Beitragvon Neuling » Montag 16. März 2015, 17:04

Kolabord hat geschrieben:Neuling hat die Lösung direkt ausgerechnet. Das ist zwar extrem aufwändig und wohl kaum ohne Computer machbar, aber dadurch natürlich nicht falsch.


Streiche das Wort extrem und ersetze Computer durch Taschenrechner dann ist es eine zutreffende Aussage. :)
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Re: Die Schlacht bei Hastings

Beitragvon Kolabord » Dienstag 17. März 2015, 11:33

Neuling hat geschrieben:Streiche das Wort extrem und ersetze Computer durch Taschenrechner dann ist es eine zutreffende Aussage. :)


"Extrem" ist ja subjektiv und ein Taschenrechner jawohl auch ein Computer. Ich wollte damit nur gesagt haben, dass du wahrscheinlich nicht den elegantesten Lösungsweg gewählt hattest.

@Otmar:
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Ich bezog mich in erster Line darauf, dass du dich entschieden hast, die Gleichung in Modulo-Räumen zu betrachten. Diese Idee findet in meiner Anmerkung ja in gewisser Weise ihre Rechtfertigung.
Natürlich wird die Aufgabe nicht zwangsläufig leichter, wenn man den Ring betrachtet, aber es ist doch interessant zu sehen, welcher Zusammenhang sich hier ergibt.
Das Problem lässt sich durchaus auf die Einheiten zurückführen. Die Abbildung N: Z[sqrt(13)]->Z mit (a+sqrt(13)b)->a^2-13b^2 ist multiplikativ, also gilt für eine Einheit X und ihr Inverses Y 1=N(1)=N(XY)=N(X)N(Y).
Ohne ins Detail zu gehen: Die von Musagetes genutzte Kettenbruchzerlegung zur Lösung der Gleichung wird gerade durch diese Theorie gerechtfertigt.
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Re: Die Schlacht bei Hastings

Beitragvon Otmar » Mittwoch 18. März 2015, 00:13

@Kolabord,
OK, du beziehst dich also auf meine zweite und dritte Lösung und siehst einen Zusammenhang zwischen
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dem Ring Z[sqrt(13)] und den beiden von mir verwendeten Restklassenringen. Fällt mit ehrlich gesagt schwer, da einen Zusammenhang auszumachen. Denn bis auf die Tatsache, dass die oben genannten Strukturen Ringe sind, haben die beiden Strukturen wenig gemeinsam. Ringe können sehr verschieden Dinge sein und je nach Operation und Objekten ganz andere Zusammenhänge darstellen. So haben die von mir verwendeten Restklassenringe entweder 4 (bei Modulo 4) oder 9 (bei Modulo 9) Elemente und sind damit sehr überschaubar. Hingegen hat sowohl der Ring Z als auch der Ring Z mit Adjunktion der irrationale Zahl Wurzel aus 13 abzählbar unendlich viele Elemente und insbesondere ist die Multiplikation in Z[sqrt(13)] sehr verschieden von der Multiplikation in Restklassenringen.

Die Relation der Lösung der Pellschen Gleichung zu den Einheiten in Z[sqrt(13)] ist schon klar. Die Frage für mich war halt, ob jemand, der sich mit Algebra weniger auskennt, aus einer Lösung, die auf derartige Strukturen abstützt, etwas anfangen kann. Meine Lösungen verwenden nur einfache Zusammenhänge und das Rechnen mit Resten. Dieses scheint mir in der Unterhaltungsmathematik, wie wir sie hier betreiben, geläufig. Und da ich mich kurz fassen wollte, habe ich gleich den Begriff der Modulo Rechnung verwendet.
Anmerken möchte ich noch, dass die Vereinfachung infolge der betrachteten Restklassen auch etwas mit der Wahl der Gleichung zu tun hat und nicht verallgemeinert werden kann. Hätte es zu Anfang nicht 13 sondern nur 11 Quadrate gegeben, dann hätte mein Ansatz keinen Erfolg gehabt. Aber das ist ja das schöne an einem Rätsel. Es gibt einen konkreten Anwendungsfall, der je nach Wahl der Parameter mehr oder weniger elegant gelöst werden kann.

Fast analog zur Verwendung von Einheiten aus Z[sqrt(13)] kann man auch spezielle 2x2 Matrizen mit Determinante 1 verwenden. Vielleicht begründe ich noch einige wesentliche Eigenschaften der Lösungsmenge der Ausgangsgleichung mit Hilfe dieser Objekte, in der Hoffnung, dass man das auch mit weniger Vorwissen versteht und dem Zweck, die Minimaleigenschaft meiner erste "geratenen" Lösung (die mir persönlich besser gefällt, als die anderen beiden) zu zeigen.


Das Rätsel hat mir sehr gut gefallen, wollte ich nochmal loswerden. Natürlich warte ich noch auf Kolabords Lösung....
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Re: Die Schlacht bei Hastings

Beitragvon Otmar » Mittwoch 18. März 2015, 23:01

Otmar hat geschrieben:Mit etwas Glück, kann man das erraten:
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13a²+1=b² --> 13=(b²-1)/a² < (b/a)² --> Sqrt(13) < b/a
Sqrt(13) = 3,605551275... < 3,60555555.... = 32,45/9=649/180

Probe mit a=180 und b=649 passt. Wie gesagt, mit etwas Glück ist das schon die Lösung. Dann waren es mit Harald 649²=421201 Leute.

Kolabord hat geschrieben:Natürlich kann man mit etwas Glück oder durch Probieren die Lösung erraten. Allerdings müsste man sie dann auch noch verifizieren und somit zeigen, dass man tatsächlich die kleinste "Lösung" gefunden hat.

Das will ich nun nachholen:
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Es sei A eine spezielle 2x2 Matrix mit ganzzahligen Koeffizienten:
.       |a'    13a"|
A = | |
|a" a' |
deren Determinante (Ruck-Minus-Zuck-Regel) gleich 1 sei.
det(A) = a'² - 13a"² = 1 ---> a' = Sqrt(13a"²+1)
Offenbar ist obige Gleichung genau die Beziehung im Rätsel wobei a'² die Soldatenzahl im großen Quadrat und a"² die Soldatenzahl in einem kleinen Quadrat ist.

Für die folgende Analyse soll a' positiv gewählt werden und für a" sind alle ganzen Zahlen zugelassen.
a' = 1, 2, ....
a" = ..., -2, -1 0, 1, 2, ...
Sind A und B beides spezielle Matrizen mit den genannten Eigenschaften, dann ist auch ihr Matritzenprodukt C=A*B eine solche Matrix. Insbesondere gilt
det(C) = det(A) * det(B) = 1 * 1 = 1.
Und die neuen Koeffizienten ergeben sich aus den alten durch:
c' = a'b'+13a"b"
c" = a'b"+a"b' (Gleichung *)
Die Einheitsmatrix E mit e'=1 und e"=0 gehört auch dazu und beschreibt den Fall, dass Harald ein Einzelkämpfer ist. Für jede derartige Matrix X gibt es eine Inverse Y für die Y*X=E gilt wobei y'=x' und y"=-x" gesetzt werden muss. Einfach mal nachrechnen! In der Diagonalen von Y*X steht gerade det(X), die ja nach Voraussetzung gleich 1 ist.
Überträgt man die Größenrelation zwischen den ganzen Zahlen a" und b" auf die Matritzen A und B, dann kann man sinnvall <, =, > Zeichen zwischen den Matrizen schreiben, also
A>B, genau dann wenn a" > b"
A=B, genau dann wenn a" = b", geht ja, weil dann auch a' = b' gilt
A<B, genau dann wenn a" < b"

Die Matrix M heißt Minimallösung, wenn M > E ist und es keine spezielle Matrix Y mit E < Y < M gibt.

Angenommen Y>E (d.h. y" > 0) sei eine spezielle Matrix, die zwischen zwei benachbarten Potenzen von M liegt, also M^k < Y < M^(k+1) mit k > 0. Dann gibt es ein X mit Y = X*M^k wobei die Existenz von X = Y*M^-k sichergestellt ist, weil M^-k als Inverse von M^k existiert. Die Zwischenannahme X >= M also X*M^k >= M*M^k liefert den Widerspruch Y >= M^(k+1). Dabei resultierte die Ungleichung X*M^k >= M*M^k aus (Gleichung *), wobei wegen E < M <= X dort alle Zahlen positiv sind. Also muss X < M sein und weil es keine weitere positve Lösung kleiner M (d.h. 0 < x" < m") gibt, muss X sogar kleiner als E sein, also x" muss negativ sein. Das heißt, die Inverse Z der Matrix X, Z=X^-1 hat ein positives z"=-x". Also ist Z > E. Daraus folgt Z * Y > Y. Die Ungleichung Z * Y > Y ging wieder aus (Gleichung *) hervor, wobei dort wegen E < Z und y" > 0 auch wieder alle Zahlen positive sind. Tauscht man die Seiten der Ungleichung und rechnet weiter erhält man:
Y < Z * Y = X^-1 * Y = X^-1 * (X * M^k) = M^k
einen weiteren Widerspruch, weil M^k < Y angenommen wurde. D.h. es gibt kein Y zwischen zwei Lösungen M^k und M^(k+1). Daraus folgt nun, dass die unendlich große Lösungsmenge der Rätselgleichung durch Potenzen der Minimallösung in Matrixform gegeben ist.

Dieses natürlich auch in der Fachliteratur angegeben Ergebnis hilft nun meine erste Lösung zu vervollständingen und den fehlenden Nachweis der Minimalität mit wenig Aufwand zu führen.
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Angenommen die gefunden Lösung A wäre die zweite, also A=M². Dann wäre wegen (Gleichung *) von oben a"=2m'm"=180. Setzt man m'=90/m" in 13m"²+1=m'² erhält man eine biquadratische Gleichung in m", die für m" keine ganzzahlige Lösung hat. D.h., wenn A > M wäre, muss A>=M³ sein. Eine kurze Rechnung liefert dann a">=3m"m'²+13m"³ und mit m'²=1+13m"² erhält man:
3m" + 52m"³<=180 also 52m"³<180 und damit m"³ < 4 und damit m"=1, was zu keiner ganzzahligen Lösung von 13m"²+1=m'² führt.
D.h. die geratene Lösung war auch die gesuchte Minimallösung.
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Die Schlacht bei Hastings

Beitragvon Friedel » Mittwoch 25. März 2015, 13:38

Hallo.

Ich möchte auch noch was zu dieser Aufgabe schreiben. Ihr habt hier zwar die gleiche Lösung wie ich gefunden, aber ich denke, das ist wohl Zufall. Die gestellte Aufgabe ist imho nicht so einfach, wie ihr sie behandelt.

Kolabord hat geschrieben:Es soll schon davon ausgegangen werden, dass die Soldaten ein perfektes Quadrat bilden. Es ist also beispielsweise nicht erlaubt einfach 11 Männer auf eine quadratische Fläche zu stellen.


Mehr ->
Hier ist mal so ein "perfektes Quadrat":
hastings.gif
hastings.gif (3.71 KiB) 526-mal betrachtet


Wie man sehen kann, enthält dieses Beispiel-Quadrat 41 Punkte bzw. Männer. Man darf also nicht davon ausgehen, dass die Zahl der Männer in einem Quadrat eine Quadratzahl ist. Sie kann eine Quadratzahl n² sein. Dabei ist n die Zahl der Männer, die entlang einer Seite des Quadrats stehen. Sie kann aber auch n²+(n-1)² sein.

Dadurch wird die Aufgabe imho sehr viel komplexer. Haralds Mannen haben zuerst in 13 Quadraten gestanden. Das könnte bedeuten, dass es N=13*n² Leute waren. Es könnten aber auch M=13*(m²+(m-1)² Leute gewesen sein. Und nach der Umgruppierung gibt es wieder 2 Möglichkeiten der Anordnung, wobei es durchaus sein kann, dass die Leute das Anordnungsschema gewechselt haben, denn wir wissen ja nur, dass es vorher und nachher "perfekte Quadrate" waren. Es gibt also für jede Anzahl Männer entlang den Kanten der 13 Quadrate jeweils 2 mögliche Anordnungen und damit 2 unterschiedliche Männer-Zahlen und 2 mögliche Anordnungen und Männer-Zahlen für das große Quadrat.

Ich habe keine "elegante" Lösungsmethode gefunden. Im Laufe meiner Überlegungen habe ich recht schnell die von euch beschriebene mögliche Lösung gefunden. Aber es hat recht lange gedauert, bis ich sicher war, dass es keine Lösung mit einer kleineren Zahl von Leuten gibt. Ich habe mir zum Lösen ein Script geschrieben, das das ganze per Brute Force löst. Mein Script hat mir als kleine Lösung ausgegeben, dass es am Anfang 0 Leute gewesen sein könnten. 0 ist ja eine Quadratzahl und man kann 0 Leute wunderbar zu einem Quadrat zusammen stellen, an dessen Kanten jeweils 0 Leute stehen. 13 solcher Quadrate müssten es dann am Anfang gewesen sein. Dann kam Harald dazu und es waren insgesamt 1 Mann. Auch das ist eine Quadratzahl... Leider hätte der Geschichtsschreiber bei dieser Lösung nicht erkennen können, dass es vor der Umgruppierung gerade 13 Quadrate waren. Diese Lösung scheidet also aus. Und als 2. Lösung hat mein Script die auch von euch gefundene Lösung ausgespuckt. Eure Lösung ist also richtig, aber ihr habt nicht gezeigt, dass es keine kleinere Lösung gibt.

mfg Friedel
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Re: Die Schlacht bei Hastings

Beitragvon Otmar » Donnerstag 26. März 2015, 00:05

Hallo Friedel, schöner Ansatz :daumen:
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Hab mal versucht, das ohne Software zu lösen. Für eine griffige Beschreibung habe ich deine neue quadratische Anordnung Raute (mit R=1+2m(m+1) Männern) genannt und die bisher verwendete Anordnung mit Q=n² Männern Quadrat.
Zuerst hab ich beide Zahlen Modulo 4 betrachtet. Geometrisch sieht man sofort, dass R in jeder Raute bei Division durch 4 Rest 1 lässt. D.h. die Kombination von zwei Rauten geht nicht, da 13R+1 bei Division durch 4 den Rest 2 lässt. Da n² bei Division durch 4 entweder keinen Rest oder Rest 1 lässt, kann 13R+1=Q niemals wahr sein. Es bleibt also bei Verwendung von Rauten nur noch die Möglichkeit, dass Harald zu 13 Quadraten dazukommt und eine Raute entsteht. Also
13n²+1=1+2m(m+1)
13n²=2m(m+1)
----> entweder ist m=13x oder m+1=13x also
13n²=2*13x(13x±1)
n²=2x(13x±1)
----> Da x und 13x±1 teilerfremd sind, ist für ungerade x die Zahl x selbst eine Quadratzahl und 13x±1 eine halbe Quadratzahl oder für gerade x ist x eine halbe Quadratzahl und 13x±1 ist eine Quadratzahl. Man probiert also für x nacheinander 1,2,8,9,25,... bis 2x(13x±1) größer als 180² ist. Interessanter Weise bekommt man bei x=2 schon eine Lösung. 2x=4 und 13x-1=25 sind beides Quadratzahlen woraus folgt n²=100.
Also stehen in jedem der 13 Quadrate 100 Männer und in der Raute sind 1301=1+2*25*26 Männer.


Diese Lösung passt auch viel besser zu den historisch vermuteten Zahlen.
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Die Schlacht bei Hastings

Beitragvon MadMac » Mittwoch 15. November 2017, 12:42

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421200 + Harald selber.


Gruß,
MadMac
Zuletzt geändert von MadMac am Mittwoch 15. November 2017, 12:58, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: Die Schlacht bei Hastings

Beitragvon MadMac » Mittwoch 15. November 2017, 12:50

Waaaaa. nicht gespoilert. Sorry.
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