Es sei A eine spezielle 2x2 Matrix mit ganzzahligen Koeffizienten:
. |a' 13a"|
A = | |
|a" a' |
deren Determinante (Ruck-Minus-Zuck-Regel) gleich 1 sei.
det(A) = a'² - 13a"² = 1 ---> a' = Sqrt(13a"²+1)
Offenbar ist obige Gleichung genau die Beziehung im Rätsel wobei a'² die Soldatenzahl im großen Quadrat und a"² die Soldatenzahl in einem kleinen Quadrat ist.
Für die folgende Analyse soll a' positiv gewählt werden und für a" sind alle ganzen Zahlen zugelassen.
a' = 1, 2, ....
a" = ..., -2, -1 0, 1, 2, ...
Sind A und B beides spezielle Matrizen mit den genannten Eigenschaften, dann ist auch ihr Matritzenprodukt C=A*B eine solche Matrix. Insbesondere gilt
det(C) = det(A) * det(B) = 1 * 1 = 1.
Und die neuen Koeffizienten ergeben sich aus den alten durch:
c' = a'b'+13a"b"
c" = a'b"+a"b' (Gleichung *)
Die Einheitsmatrix E mit e'=1 und e"=0 gehört auch dazu und beschreibt den Fall, dass Harald ein Einzelkämpfer ist. Für jede derartige Matrix X gibt es eine Inverse Y für die Y*X=E gilt wobei y'=x' und y"=-x" gesetzt werden muss. Einfach mal nachrechnen! In der Diagonalen von Y*X steht gerade det(X), die ja nach Voraussetzung gleich 1 ist.
Überträgt man die Größenrelation zwischen den ganzen Zahlen a" und b" auf die Matritzen A und B, dann kann man sinnvall <, =, > Zeichen zwischen den Matrizen schreiben, also
A>B, genau dann wenn a" > b"
A=B, genau dann wenn a" = b", geht ja, weil dann auch a' = b' gilt
A<B, genau dann wenn a" < b"
Die Matrix M heißt Minimallösung, wenn M > E ist und es keine spezielle Matrix Y mit E < Y < M gibt.
Angenommen Y>E (d.h. y" > 0) sei eine spezielle Matrix, die zwischen zwei benachbarten Potenzen von M liegt, also M^k < Y < M^(k+1) mit k > 0. Dann gibt es ein X mit Y = X*M^k wobei die Existenz von X = Y*M^-k sichergestellt ist, weil M^-k als Inverse von M^k existiert. Die Zwischenannahme X >= M also X*M^k >= M*M^k liefert den Widerspruch Y >= M^(k+1). Dabei resultierte die Ungleichung X*M^k >= M*M^k aus (Gleichung *), wobei wegen E < M <= X dort alle Zahlen positiv sind. Also muss X < M sein und weil es keine weitere positve Lösung kleiner M (d.h. 0 < x" < m") gibt, muss X sogar kleiner als E sein, also x" muss negativ sein. Das heißt, die Inverse Z der Matrix X, Z=X^-1 hat ein positives z"=-x". Also ist Z > E. Daraus folgt Z * Y > Y. Die Ungleichung Z * Y > Y ging wieder aus (Gleichung *) hervor, wobei dort wegen E < Z und y" > 0 auch wieder alle Zahlen positive sind. Tauscht man die Seiten der Ungleichung und rechnet weiter erhält man:
Y < Z * Y = X^-1 * Y = X^-1 * (X * M^k) = M^k
einen weiteren Widerspruch, weil M^k < Y angenommen wurde. D.h. es gibt kein Y zwischen zwei Lösungen M^k und M^(k+1). Daraus folgt nun, dass die unendlich große Lösungsmenge der Rätselgleichung durch Potenzen der Minimallösung in Matrixform gegeben ist.
