Die Grabkammer des Setegasum

[Musagetes]

Die Grabkammer des Setegasum


Die Grabkammer liegt aus der nördlichen Ecke, mittig betrachtet, in einer Entfernung der Wurzel aus 2 plethra zum Schnittpunkt mit der 5 plethra langen Diagonalen in der Höhe der Breite einer geraden, rechteckigen Pyramide, die so hoch wie lang ist.

Um die Grabkammer kostengünstig zu erschließen, ist die kürzeste Strecke von einer Außenwand gesucht.

Begründe (Beweise) deine Lösung so einfach und ausführlich wie nötig!

Gesucht ist eine Lösung mit analytisch, elementaren Mitteln, ohne approximative Methoden, sogar ohne Trigonometrischenfunktionen ist diese Aufgabe im Wesendlichen lösbar.

Wünsche allen noch viel Spaß beim Lösen!

Freundliche Grüße
Musagetes

[Otmar]

Hi Musagetes,
ich vermisse da etwas und zwar den Satz: "Ich hoffe, ihr konntet meinen Ausführungen folgen" , was mir in diesem Fall, trotz mehrmaligen Lesens des Rätsels nicht gelungen ist.

Ich finde die nötigen Beziehungen nicht:
Kann man die Grabkammer als punktförmig betrachten oder meint

, mittig betrachtet,

dass es sich um den Mittelpunkt der Grabkammer handeln soll?

in einer Entfernung der Wurzel aus 2 plethra

Ist damit der Abstand von nördlicher Ecke und Grabkammer gemeint?
Ist der Betrag der Entfernung sqrt(2) plethra?
Oder ist es die Entfernung zwischen einem Schnittpunkt und der Grabkammer, wenn ja, warum dann die Relation zur nördlichen Ecke?
Oder braucht man die nördliche Ecke nur für die "mittige Betrachtung", die ggf. eine Ebene spezifiziert, die senkrecht zur Grundfläche steht, die nördliche Ecke enthält und z.B. den Mittelpunkt der Pyramide enthält und natürlich die Grabkammer?
Wie ist der "Schnittpunkt" definiert. Er ist in einer der beiden Diagonalen der rechteckigen Grundfläche enthalten und wo noch?

Klar ist:
Die Diagonale, ich nehme an, die der rechteckigen Grundfläche, ist 5 plethra lang.
Die Grabkammer liegt in einer Höhe über der Grundfläche, wobei diese Höhe und die kurze Seite des Rechtecks betragsmäßig gleich sind.
Die Höhe der Pyramide entspricht der langen Seite der rechteckigen Grundfläche.

Nun, vielleicht ist das Entschlüsseln des Textes Bestandteil des Rätsels. Bin auf jeden Fall auf die Lösung gespannt, denn die Aufgabe scheint interessant...

[Musagetes]

Hi Otmar,

@ Otmar:
… die Aufgabe scheint interessant...

es freut mich dass du erkannt hast, dass die Aufgabe interessant ist und dass du dich dem Problem neben dem des Papawerdens
annimmst.
Sie ist zudem auch noch sehr schön!

@ Otmar:
… "Ich hoffe, ihr konntet meinen Ausführungen folgen" ,

Diese Aussage gebrauche ich in der Regel beim oder Auflösen eines Rätsels.
Das dieser bei der Aufgabenstellung schon nötig wird, liegt wohl an der Vorliebe Einsätzige Rätsel zustellen.

@ Otmar:
Nun, vielleicht ist das Entschlüsseln des Textes Bestandteil des Rätsels.

Das möchte ich nicht ausschließen!

@ Otmar:
warum dann die Relation zur nördlichen Ecke?

Die nördliche Ecke bezogen auf Grundfläche dient als Bezugspunkt für die Lagebestimmung der Grabkammer.
Da ja die Pyramidengrundfläche zwei Diagonalen und vier Ecken hat.

@ Otmar:
Kann man die Grabkammer als punktförmig betrachten ….

So kann man es sehen, die Grabkammer oder der Eingang sind als punktförmig zu sehen.

@ Otmar:
Musagetes hat geschrieben: in einer Entfernung der Wurzel aus 2 plethra

Ist damit der Abstand von nördlicher Ecke und Grabkammer gemeint?
Ist der Betrag der Entfernung sqrt(2) plethra?

Beide Fragen sind ebenfalls zu bejahen, der Abstand aus der mittigen nördlicher Ecke und der Grabkammer bezogen auf die Pyramidengrundfläche beträgt sqrt(2) plethra.

@ Otmar:
Wie ist der "Schnittpunkt" definiert. Er ist in einer der beiden Diagonalen der rechteckigen Grundfläche enthalten und wo noch?

Der "Schnittpunkt" ist gleichzeitig auch Fußpunkt, auf der Diagonalen, mit der Entfernung von Wurzel aus 2 plethra zur mittigen, nördlichen Ecke der Pyramide.

@ Otmar:
Die Diagonale, ich nehme an, die der rechteckigen Grundfläche, ist 5 plethra lang.
Die Grabkammer liegt in einer Höhe über der Grundfläche, wobei diese Höhe und die kurze Seite des Rechtecks betragsmäßig gleich sind.
Die Höhe der Pyramide entspricht der langen Seite der rechteckigen Grundfläche.

Die obigen Aussagen sind ebenfalls richtig interpretiert.

Ich hoffe, ihr konntet meinen Ausführungen folgen

So nun viel Spaß beim Lösen und ein schönes langes Wochenende!

Musagetes

P. S. Ich möchte dein Augenmerk auch noch auf mein „Rätsel für Grammatiker“ richten, wo noch eine Lösung bedarf und das MHD erreicht ist.

[Otmar]

Hallo Musagetes,
dann würde ich mal folgende Skizze anbieten:

Mehr ->

pyramide.png (23.96 KiB) 1612-mal betrachtet

Längeneinheiten in plethron und G ist die Grabkammer. Stimmt das so schon, oder ist da noch ein Fehler drin.

[Friedel]

Hallo.

Auch nach vielfachem Lesen, gelingt es mir nicht in die Wortfolge, die offensichtlich eine Aufgabenstellung sein soll, einen Sinn zu interpretieren. Wenn man solche Satzmoster schreibt, muss man sehr genau darauf achten, dass die Zeichensetzung und Rechtschreibung stimmt. Sonst ist der Satz nicht zu verstehen. Ich vermute stakt, dass die Zeichensetzung hier nicht stimmt. Dass "plethra" eine Längeneinheit sein soll, habe ich nach ein paar Mal lesen kapiert, obwohl es klein geschrieben ist. Aber mir gelingt es nicht, heraus zu finden, was der Hauptsatz dieses Monstersatzes ist.

Ich glaube mittlerweile erkannt zu haben, dass es um eine ägyptische Pyramide geht. (Ägyptische Pyramiden haben eine quadratische Grundfläche, die Spitze ist über dem Diagonalenschnittpunkt und die Seiten der Grundfläche verlaufen in Nord-Süd-, bzw. Ost-West-Richtung. Diese Pyramide ist so lang wie hoch. In dieser Pyramide ist ein Grabkammer, die punktförmig ist, aber eine nördliche Ecke hat. (Nanu?)

Und was ist gesucht? Und was bedeuten die anderen Wortfolgen?

[Otmar]

Ich glaube, ich hab die Aufgabe jetzt verstanden. Jedenfalls macht meine erste Skizze keine schöne Aufgabe, da das Ergebnis vom Seitenverhältnis des Rechtecks abhängig ist. Da Musagetes aber von einer schönen Aufgabe schreibt, kann das nicht die Lösung sein.

Nachdem Friedel die Analyse in Richtung der ägyptischen Pyramidenbauform vorangetrieben hat, bin ich auch mal zum Google gegangen. Dort stand, dass die Ecken exakt nach den Himmelsrichtungen ausgerichtet sind. So macht die nördliche Ecke Sinn. Bei einer quadratischen Pyramide würden die Strecken vom Mittelpunkt zu den Ecken auch nach Norden, Osten, Süden oder Westen zeigen. Aber Setegasum hat eine rechteckige, gerade Pyramide. Da klappt die Verbinding Mittelpunkt zu Ecke nicht für alle Himmelsrichtungen. Deshalb nehme ich an, dass die Winkelhalbierenden der Ecken der Grundfläche genau in die Himmelsrichtungen zeigen. Das geht dann für alle Ecken auch bei einem Rechteck. Jetzt wird die "mittige Betrachtung" klar. Die Grundfläche auf ein Blatt Papier gezeichnet (Norden oben) macht den Text verständlich: Man muss von der nördlichen Ecke entlang der Mitte (also entlang der Winkelhalbierenden) um sqrt(2) Pletra nach unten (Süden) gehen und stößt dort auf die Diagonale, das ist der Schnittpunkt, von dem aus man dann noch um die Breite des Rechtecks nach oben geht und zur Grabkammer gelangt.

Musagetes hat das halt kürzer geschrieben.

Und was ist gesucht?

Wir wollen zur Grabkammer und suchen den kürzesten Weg von der Mantelfläche der Pyramide dorthin. Von diesem Weg ist die Länge gesucht, ohne Näherung, ohne Winkelfunktionen, mit Begründung oder Beweis. Wahrscheinlich reicht eine Begründung, denn ein Beweis hat viele Formalitäten die den Spass verderben könnten.

Mal sehen ob mir dazu demnächst was einfällt. Falls nicht, vielleich hat jemand anderes Zeit, dass Grab zu erschließen.

[Otmar]

Hallo Musagetes,

könntest du folgen Abstand testen:

Mehr ->

Habe eine analytische Lösung für den gesuchten Abstand d. Zur besseren Übersicht mit zwei Hilfsgrößen s und b, wobei s der halbe Umfang der Grundfläche und b die Breite der Pyramide ist:

s = 1 + sqrt(24) = 6.099019...
b = s - sqrt(50-s^2) = 1.260518...
d = b (2-b)/sqrt(20-3 b^2) = 0.238825...
alles in Plethra Einheiten.

wenns passt, kommt dann die Herleitung der Formeln. Ist jetzt schon etwas spät geworden.

[Friedel]

Bisher habe ich in dieser Aufgabe noch nicht erkannt, worum es eigentlich geht. So machen (mir) Geometrieaufgaben keinen Spaß und ich werde mich daher mit der Aufgabe nicht mehr befassen. Immerhin hat die Aufgabe ergeben, dass ich nach dem Hinweis von Otmar auch mal bei Wiki nachgesehen habe, wie ägyptische Pyramiden vermessen wurden. Die Beschreibung, dass die Ecken nach den 4 Himmelsrichtungen ausgerichtet sind, war natürlich falsch. Die Kanten der Grundfläche sind nach den Himmelsrichtungen ausgerichtet. Das kann man z.B. in Gizeh sehr schön sehen.

@Otmar: Viel Spaß noch beim Versuch heraus zu finden, was eigentlich die Aufgabe ist.

[Musagetes]

Hallo Hobby-Archäologen!

Tut mir leid, dass ich mich heute erst melden konnte!

@Friedel:
Ich glaube mittlerweile erkannt zu haben, dass es um eine ägyptische Pyramide geht. (Ägyptische Pyramiden haben eine quadratische Grundfläche, die Spitze ist über dem Diagonalenschnittpunkt und die Seiten der Grundfläche verlaufen in Nord-Süd-, bzw. Ost-West-Richtung

Ich weiß zwar nicht wo dran du das erkannt hast, aber grundsätzlich treffen diese Eigenschaften auf meine Pyramide sogar zu.
Viele dieser Kriterien treffen nur grundsätzlich bei den ägyptischen Pyramiden zu.
z. B. Djoser-Pyramide in Sakkara (ist auch rechteckig)

Zudem ist es zur Lösung der Aufgabe überhaupt nicht relevant wo die Pyramide des Setegasum steht.

@Friedel:
Auch nach vielfachem Lesen, gelingt es mir nicht in die Wortfolge, die offensichtlich eine Aufgabenstellung sein soll, einen Sinn zu interpretieren.

Bei einigen Schriften des Altertums hat es jahrtausende gedauert, bis entschlüsselt wurden.
Das ging hier zum glück relativ sehr schnell.

@Friedel:
… was der Hauptsatz dieses Monstersatzes ist.

Sehen wir das doch mal von der praktische Seite, stell dir vor du müsstest die Erklärungen in meinen zweiten Beitrag in Fels meißeln oder den des „Monstersatz“.
Was wäre dir lieber?

@Friedel:
Dass "plethra" eine Längeneinheit sein soll, habe ich nach ein paar Mal lesen kapiert, obwohl es klein geschrieben ist.

Plethra Pl. bzw. Plethron ist eine Längeneinheit im Altertum. Der Plural von Plethron stand bei „Wiki“ klein geschrieben.
Ob diese Schreibweise korrekt ist, kann ich nicht sagen. Wenn du anderer Meinung bist, kannst du den Beitrag bei „Wiki“ Bearbeiten und korrigieren.


@Otmar:

Danke erst einmal für die anschauliche Skizze, dadurch wird das Ganze doch viel klarer.

Mehr ->

Da stimmte fast alles, bis auf die Lage des Ortes der Grabkammer.

Die Strecke der A-P kann nicht auf einer Diagonalen liegen.

@Musagetes:
Der "Schnittpunkt" ist gleichzeitig auch Fußpunkt, auf der Diagonalen, mit der Entfernung von Wurzel aus 2 plethra zur mittigen, nördlichen Ecke der Pyramide.

@Musagetes:
…… der Abstand aus der mittigen nördlicher Ecke und der Grabkammer bezogen auf die Pyramidengrundfläche beträgt sqrt(2) plethra.

Demzufolge, muss die Strecke A-P aus der Mitte der nördlichen Pyramidenecke entspringen und der Fußpunkt auf deren gegenüberliegenden Diagonalen liegen.

Aber das hast du ja mittlerweile ganz alleine in einer sehr ergiebigen „Nachtschicht“ bravourös gelöst.

@Otmar:
Deshalb nehme ich an, dass die Winkelhalbierenden der Ecken der Grundfläche genau in die Himmelsrichtungen zeigen. Das geht dann für alle Ecken auch bei einem Rechteck. Jetzt wird die "mittige Betrachtung" klar. Die Grundfläche auf ein Blatt Papier gezeichnet (Norden oben) macht den Text verständlich: Man muss von der nördlichen Ecke entlang der Mitte (also entlang der Winkelhalbierenden) um sqrt(2) Pletra nach unten (Süden) gehen und stößt dort auf die Diagonale, das ist der Schnittpunkt, von dem aus man dann noch um die Breite des Rechtecks nach oben geht und zur Grabkammer gelangt.

So nun wäre, eigentlich das Problem gelöst.

Da der Glanzpunkt des Rätsels das Lösen des rechtwinkligen Dreiecks der Grundfläche war.

@Otmar:
Habe eine analytische Lösung für den gesuchten Abstand d. Zur besseren Übersicht mit zwei Hilfsgrößen s und b, wobei s der halbe Umfang der Grundfläche und b die Breite der Pyramide ist:
s = 1 + sqrt(24) = 6.099019...
b = s - sqrt(50-s^2) = 1.260518...

Und das hast du mit den obigen Ergebnissen grandios gemeistert.

Nur ein der Wert (d) für die kürzeste Distanz von der Grabkammer zur Außenwand weicht von meiner Lösung ab.

@Otmar:
d = b (2-b)/sqrt(20-3 b^2) = 0.238825...

Möchte aber nicht ausschließen, dass ich mich verrechnet habe.

So nun bin ich auf den Lösungsweg gespannt.

Viel Spaß noch beim Weitergraben!

Freundliche Grüße
Musagetes

[Otmar]

Hallo Musagetes,
inzwischen hab ich ja weiter gerätselt und vorallem die Information, dass es sich um eine schöne Aufgabe handelt, zum Entschlüsseln des Satzmonsters verwendet. Nebenbei, aber zum Glück, erst nachdem ich meine Lösung fertig hatte, hab ich herausgefunden, dass du da ein ganz bekanntes mathematisches Problem flach gelegt hast. Du wirst wissen, was ich meine. Sogar die Diagonalenlänge wird üblicherweise als Länge einer Fortbewegungshilfe, die ich mir beim Klettern manchmal wünsche, herangezogen. Aber ich war so ins Altertum versetzt, dass ich das erst sehr spät erkannt hatte.

Genug, jetzt wird gelöst und ich hoffe, dass ich mich nicht wieder verrechnet habe.

Also, nach einigen Anfangsschwierigkeiten, jetzt eine Lösung zu dem wirklich schönen geometrischen Problem. Im Folgenden sind alle Längen in pletrum angegeben.

1. Die Grundfläche

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paramide1.png (47.23 KiB) 1580-mal betrachtet

Die Grundfläche der Pyramide sei das Rechteck ABCD mit der nördlichen Ecke A. Von dort bewegt man sich mittig derart zur Diagonalen BD, so dass AK = AL ist. Und weil die Entfernung AF Wurzel aus 2 beträgt, sind AK und AL beide 1 lang.
Bezeichnen wir die Länge der Grundfläche mit a und die Breite mit b, dann erhält man aus der Ähnlichkeit der Dreiecke BFK und FDL die Relation (1) und damit (2) und (3).
Da die Diagonale 25 ist, gilt (4) und damit unter Benutzung von (3) auch (5). Bezeichnen wir die Summe a+b mit s, dann erhält man aus (5) die quadratische Gleichung (6) mit der Lösung (7) wobei die negative Lösung mit minus wegfällt, weil s positiv ist, also (8) gelten muss.
Setzt man a = s-b in (4) ein, erhält man (9) und daraus die quadratische Gleichung (10) von der wir die kleinere Lösung b suchen, da b die kleinere der beiden Seiten des Rechtecks sein soll. Die andere Lösung würde die lange Kante a ergeben.

Damit sind die Abmessungen der Pyramide und die Position der Grabkammer klar.

2 Auswahl der Seitenfläche

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Um die Seitenfläche auszuwählen, durch die man auf kürzestem Weg die Grabkammer G erreicht, habe ich eine weitere Überlegung mit Skizze:

paramide2.png (50.29 KiB) 1580-mal betrachtet

Da das Lot, gefällt von G auf die Grundfläche, die Diagonale BD triff, geht die Verlängerung des Lotes auch durch die Kante BS wobei S die Spitze der Pyramide ABCDS ist. Das verlängerte Lot schneidet BS in P. P sei nun die Spitze eine kleinen fiktiven graden Pyramide mit quadratischer Grundfläche LMNO. Das Quadrat LMNO wird gerade so gewählt, dass L und M auf BC liegen. Diese Pyramide liegt vollständig innerhalb der Ausgangspyramide und muss „durchbohrt“ werden, wenn wir zum Grab wollen. Da G auf der Mittelachse FP dieser kleineren Pyramide liegt, können wir aus Symmetiegründen die Seitenfläche frei wählen, um den kürzesten Weg zu G durch die Pyramide LMNOP zu finden. Wir wählen die vordere Seitenfläche LMP. Da LMNOP innerhalb ABCDS liegt, ist der gesuchte Weg zum Grab mindestens so lang, wie der kürzeste Weg in LMNOP. Und weil die vordere Seitenfläche LMP vollständig in BCS liegt, geht der gesuchte kürzeste Weg zur Grabkammer bezüglich der Ausgangspyramide ABCDS durch die Seitenfläche BCS.

3. Abstand des Grabes zur Seitenfläche

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paramide3.png (32.76 KiB) 1580-mal betrachtet

In der Skizze gibt es zwei Projektionen (für parallele Projektion) jeweils auf eine senkrechte Ebene durch die Punkte F, G und P, die ja auf dem Lot von P auf die Grundfläche ABCD liegen. In der linken Skizze geht die Projektionsebene auch durch K, ist also parallel zur den langen Kanten der Grundfläche und in der rechten Skizze geht die Ebene auch durch L und ist parallel zu den kurzen Kanten der Grundfläche.

Die Entfernung von A’ nach E’ ist a/2. Die von E’ nach S’ ist a. Die Entfernung von F zu P ist b und die Entfernung von G zu P sei y. Da die Entfernung von A’ zu F eins ist, erhalten wir (12) und damit (13).

In der rechten Skizze ist der gesuchte kürzeste Abstand x von X nach G von der Seitenfläche BCS zur Grabkammer G eingezeichnet. Die Dreiecke B’E’S’ und GXP sind ähnlich, denn sie haben den gleichen ganz spitzen Winkel und sind rechtwinklig, denn Winkel GXP ist 90°, da der kürzeste Abstand von G auf die Seitenfläche die Länge des Lotes von G auf die Seitenfläche ist. Durch die gewählte Projektion ist der rechte Winkel zwischen GX und der Seitenfläche aus der Blattebene heraus auch rechtwinklig.

Die Entfernung von B’ nach E’ ist b/2 und die von E’ nach S’ ist wieder a. Damit gilt (14) wobei (4) verwendet wurde. Und aus (14) und (13) folgt die Lösung (15).

Wenn ich in (8) , (11) und (15) Zahlen einsetze bekomme ich:

x = 0.0955173... pletra

Für den kürzesten Abstand von einer Außenwand zur Grabkammer.