Die Energiedifferenz

[Otmar]

schaltung.png (4.05 KiB) 1386-mal betrachtet

In der abgebildeten elektrischen Schaltung wird der Stromkreis so lange geschlossen, bis die beiden Kondensatoren aufgeladen sind, also kein Ladestrom mehr in die Kondensatoren fließt. In diesem Zustand fließt aus der Spannungsquelle noch ein Strom von einem Milliampere. Nun wird der Schalter geöffnet und die Kondensatoren entladen sich über R1 und R2. Durch die Entladung wird in R1 eine um drei Millijoule größere Wärmemenge erzeugt als in R2.

Wie groß ist das Verhältnis von R1 zu R2, wenn die Spannungsquelle eine Spannung von 15 Volt hat, die Kondensatoren C1 und C2 jeweils eine Kapazität von zwei Millifarad haben und sowohl R1 = R3 als auch R2 = R4 gilt.

Gesucht ist die exakte Lösung in Form einer Formel, die nur ganze Zahlen, die Grundrechenarten +, -, *, / und Quadratwurzeln enthält.

Damit ihr euere Rechnung überprüfen könnt, sind hier Näherungswerte für die Widerstände angegeben:

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R1 = 6.12551... Kiloohm
R2 = 5.87553... Kiloohm

Während der Spoilersperrzeit muss allerdings ohne diese Hilfe gerechnet werden.

[Musagetes]

Hi Otmar,

bei dieser Aufgabe aus dem Gebiet der Elektrik, sieht man mal wieder deine breiten Interessen- und Wissensspektrum.

Deshalb bist du auch ein ehrenwürdiger „Champion des Jahres 2012“ und ich Gratuliere dir von ganzen Herzen zu diesem Titel
mit dem ich ehr dein Gesamtjahreswerk gekürt sehe.


So nun zu deiner Elektrik Aufgabe, wo ich meinen Horizont etwas erweitern konnte.

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Die Differenz der beiden Widerstände (Rd = R1 - R2) ergab sich relativ schnell.

Nun habe ich mir mal zeitgenommen auch die Widerstände R1 und R2 auszurechen.

Rd = 3^(1/2) Ohm

R2 = 5,90911759342 kOhm

R1 = R2 + Rd R1 = 5,90911759342 kOhm + 3^(1/2) Ohm

R1 = 5,910849644 kOhm

R1/R2 = 1,000000293

Wenn die Berechnung korrekt sein sollte, dann Begründe ich gerne meine Lösung.

Freundliche Grüße
Musagetes

[Otmar]

Hallo Musagetes, erstmal für die Glückwünsche. Nun zum Lösungsansatz:

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Die Differenz der beiden Widerstände (Rd = R1 - R2) ergab sich relativ schnell.

Das wundert mich, denn, jedenfalls nach meiner Lösung bekommt man die Differenz der Widerstände erst kurz vorm Ziel raus. Eventuell meintest du die Differenz der Quadrate der Widerstände. In dem Fall wäre ich mit dir einer Meinung.

[Musagetes]

Hi Otmar,

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@otmar:
Das wundert mich, denn, jedenfalls nach meiner Lösung bekommt man die Differenz der Widerstände erst kurz vorm Ziel raus.

das wundert mich nun auch.

Aber wie ich schon schrieb, hat sich bei meinem Lösungsansatz,

@Musagetes:
Die Differenz der beiden Widerstände (Rd = R1 - R2) ergab sich relativ schnell.

und nur die Widerstände waren etwas „mühselig“ zu berechnen.

Wie gesagt, sollten meine Ergebnisse richtig sein, dann begründe ich gerne meine Lösung auch.

Ansonsten müsste ich meinen Horizont noch etwas erweitern.

Freundliche Grüße
Musagetes

[Otmar]

@Musagetes,

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leider stimmen deine Werte nicht. Du kannst das gern an den numerischen Widerstandswerten, die ganz oben unterm Spoiler stehen, prüfen. Ich hab sie ja gerade deshalb angegeben, dass man die einzelnen Schritte bei der Lösung der Rätsels überprüfen kann.

Aber da du sagst, dass du die Widerstandsdifferenz sehr einfach berechnen konntest, kannst du gern schreiben, wie du vorgegangen bist. Dann könnte ich detaillierter antworten.

[Musagetes]

Hallo Otmar,

da ist mir wohl ein kleiner/großer Fauxpas unterlaufen.

Nun habe ich meine Ergebnisse nochmals überprüft und jetzt kommen auch brauchbare Werte heraus.

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Die Differenz der beiden Widerstände (Rd = R1 - R2) ergab sich relativ schnell.

Rd = 3^(1/2) KiloOhm (statt Ohm)

Demnach:
R2 = 5.15887128818 KiloOhm

R1 = R2 + Rd R1 = 5.15887128818 kOhm + 3^(1/2) kOhm

R1 = 6.89092209575 KiloOhm

R1/R2 = 1,335742202

Ich hoffe, dass jetzt die Berechnung korrekt ist, dann Begründe ich auch gerne meine Lösung.

Freundliche Grüße
Musagetes

[Otmar]

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Passt leider nicht.

Du kannst das gern an den numerischen Widerstandswerten, die ganz oben unterm Spoiler stehen, prüfen. Ich hab sie ja gerade deshalb angegeben, dass man die einzelnen Schritte bei der Lösung der Rätsels überprüfen kann.

[Musagetes]

Hi Otmar,

da bin ich wohl einem Trugschluss aufgesessen, die Widerstandsdifferenz indirekt mittels Formel über die Spannung zu berechnen.

Das hätte mir spätestens dann auffallen müssen, wenn ich nicht nur bis zu den Widerständen gerechnet hätte, sondern bis zu der
Energiebilanz.

@Musagetes:
Ansonsten müsste ich meinen Horizont noch etwas erweitern.

Freundliche Grüße
Musagetes

[Musagetes]

Hallo Otmar,

nun wage ich doch mal einen Lösungsansatz.

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Man unterscheidet bei der Schaltung unter zwei Zustände.

1. Geschlossene Schalterstellung:

Gleichspannungsquelle: 15V

R1 = R3 R2 = R4

Widerstände R3 und R4 sind parallel verschaltet und mit R2 und R1 in reihe geschaltet.

C1 = 2mF C1 = C2

Kondensator C1 und C2 sind jeweils parallel zu R1 und R2 geschaltet.

=> Kondensatoren geladen => (hochohmig)

Stromstärke I= mA Nach dem Ohmschengesetz Rg = U/I 15V/1mA = 15kOhm Rg = 15KOhm


2. Offene Schalterstellung:

=> Entladung der Kondensatoren jeweils über R1 und R2

Energie in R1 um 3mJ (Ed = 3mWs) größer als in R2.

Gesucht ist X = R1/R2

Daraus folgt: R1/R2=U1/U2

E1 = (C1 *U1^2)/2 E2 = (C2 *U2^2)/2 => E1/E2 = U1^2/U2^2

Daraus folgt: E1/E2 = U1^2/U2^2 = R1^2/R2^2
E1 = E2 + Ed => E1/E2 = (E2 + Ed )/E2 => E1/E2 = 1 + Ed /E2

R2/Rg = U2/Ug => U2 = Ug * R2/Rg
E2 = (C2 *U2^2)/2 => E2 = C2/2 * (Ug * R2/Rg) ^2

Rg = R1 + R2 + R1R2/(R1 + R2) => Rg = (R1^2 + R2^2 + 3R1R2)/(R1 + R2)

Daraus folgt: E2 = C2/2 * Ug^2 * [R2(R1 + R2)/(R1^2 + R2^2 + 3R1R2)]^2

Aus E1/E2 = 1 + Ed /E2 = R1^2/R2^2
folgt: (R1/R2)^2 = 1+ 2Ed/(C*Ug^2)* [(R1^2 + R2^2 + 3R1R2)/ R2(R1 + R2)]^2

Diesen Term [(R1^2 + R2^2 + 3R1R2)/ R2(R1 + R2)]^2 dividiert durch R2^2
folgt: [((R1/R2)^2 + 1 + 3R1/R2)/(R1/R2 + 1)]^2
[((R1/R2)^2 + 1 + 3R1/R2)/(R1/R2 + 1)]^2 (R1/R2) ersetzt mit X folgt: [(X^2 + 1 + 3X)/(X + 1)]^2

Eingesetzt in: (R1/R2)^2 = 1+ 2Ed/(C*Ug^2)* [(R1^2 + R2^2 + 3R1R2)/ R2(R1 + R2)]^2

Folgt: X^2 = 1+ 2Ed/(C*Ug^2)*[(X^2 + 1 + 3X)/(X + 1)]^2


Aber wie mir im Nachhinein auffiel, geht das wohl mit folgendem Ansatz noch viel einfacher.

Wenn man bei der Schaltung die Reihenschaltung (R1 + R2), der Parallelschaltung der Widerstände gegenüberstellt, stellt man leicht fest, dass Reihenschaltung Vielfache der Parallelschaltung ist.

(R1+R2)/R1*R2/(R1+R2) = (R1+R2)^2/R1*R2 daraus folgt (R1^2 + 2R1R2 + R2^2)/R1R2

(R1^2/R1R2 + 2 + R2^2/R1R2) wie zu erkennen, sind das vier Vielfache, demnach setzt sich der Gesamtwiderstand aus fünf Parallelwiderstandsanteile zusammen.

Demnach ist der Parallelwiderstandsanteil R1*R2/(R1+R2) = Rg/5 = 15KOhm/5 = 3KOhm

Bevor ich nun die zwei Seitenvorgabe überschreite, schließe ich erst einmal.

Freundlich Grüße
Musagetes

[Otmar]

nun wage ich doch mal einen Lösungsansatz.

wer wagt, gewinnt! Mal sehen:

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X^2 = 1+ 2Ed/(C*Ug^2)*[(X^2 + 1 + 3X)/(X + 1)]^2

das passt und ist
X^2 = 1+ (1/75)*[(X^2 + 1 + 3X)/(X + 1)]^2
eine Gleichung is X. Es dürfte aber recht schwer sein, diese nur mit Quararwurzeln zu lösen. Sicher geht es, denn es gibt ja so eine Lösung. Aber schwer wird es bestimmt.

R1*R2/(R1+R2) = Rg/5 = 3KOhm

Das stimmt leider nicht. Numerisch stimmt es zwar auf 2 Kommastellen, aber die vorgegebenen Werte müssten eine bessere Übereinstimmung liefern. Auch die Annahme, dass Die Reihenschaltung ein ganzzahliges Vilefaches der Parallelschaltung ist, ist nicht richtig. Die Annahme mit dem Vierfachen würde nur stimmen, wenn R1=R2 wäre, aber das ist nur näherungsweise der Fall, denn sonst gäbe es ja keine Energiedifferenz.