Die Energiedifferenz Rätsel ist gelöst

Rätsel, die zum Lösen einen größeren Zeitaufwand erfordern, wie z. B. schwierige Physik- und Matherätsel.

Re: Die Energiedifferenz

Beitragvon Musagetes » Montag 4. März 2013, 16:36

Hi Otmar,

ich habe heute etwas Zeit gefunden, auf dem „steinigen Weg“, weiter zu rechnen.

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Ausgehend von,
@Musagetes:
Folgt: X^2 = 1+ 2Ed/(C*Ug^2) *[(X^2 + 1 + 3X)/(X + 1)]^2

ersetze ich der Einfachheit halber, die bekannte Größe „ 2Ed/(C*Ug^2)“= 1/75=1/y => y=75.

Daraus folgt: X^2 = 1+ 1/y[(X^2 + 1 + 3X)/(X + 1)]^2 => X^2 - 1= 1/y[(X^2 + 1 + 3X)/(X + 1)]^2
y(X^2 – 1) = [(X^2 + 1 + 3X)/(X + 1)]^2 => y(X + 1)(X – 1) = [(X^2 + 1 + 3X)/(X + 1)]^2 =>
y(X + 1)^3 * (X – 1) = (X^2 + 1 + 3X)^2 => y(X + 1)^3 * (X – 1) = [(X+1)^2 + X]^2


Nun ersetze ich nochmals, (X+1) mit Z: => y*Z^3 * (Z – 2) = [Z^2 + (Z-1)]^2 =>

y*Z^3 * (Z – 2) = [Z^4 + 2*Z^2 * (Z-1) + (Z-1)^2] => y*Z^3 * (Z – 2) = [Z^4 + 2*Z^3 -2*Z^2 + (Z-1)^2] =>
y*Z^3 * (Z – 2) = Z^4 + 2*Z^3 -2*Z^2 + (Z^2 – 2*Z + 1) => y*Z^3 * (Z – 2) = Z^4 + 2*Z^3 -Z^2 – 2*Z + 1 =>
Z^4*y – 2Z^3*y= Z^4 + 2*Z^3 -Z^2 – 2*Z + 1 => Z^4*y – 2*Z^3*y - Z^4 - 2*Z^3 +Z^2 + 2*Z - 1 =0

Daraus folgt: Z^4*(y – 1) –Z^3*2(y +1) +Z^2 + 2*Z - 1 = 0

Für y = 75 gilt: Z^4 *74 – Z^3 *152 + Z^2 + 2*Z - 1 = 0


Durch Polynomdivision nach Z aufgelöst, z. B. über "http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm"

ergibt sich für Z = 2,0425456495708474 und somit für X = Z-1 X= R1/R2

Folglich ergibt sich folgende Lösung: X = 1,0425456495708474


Nach diesem strapaziösen Weg, wirst du wohl nun erzählen, dass es dieser Anstrengung nicht bedurft hätte,
und dass man mit relativ viel einfacheren Mitteln zu dem gewünschten Ergebnis gekommen wäre. 8-)

Vermute mal eine ähnliche Lösung wie bei „Dagobert“, ich bin schon ganz gespannt!

Freundliche Grüße
Musagetes
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Re: Die Energiedifferenz

Beitragvon Otmar » Montag 4. März 2013, 23:03

Hallo Musagetes,
numerisch passt das und dafür gibt es einen Zwischenapplaus. :zustimm: Aber
Otmar hat geschrieben:Gesucht ist die exakte Lösung in Form einer Formel, die nur ganze Zahlen, die Grundrechenarten +, -, *, / und Quadratwurzeln enthält.

Ich hab die Aufgabe so gemacht, dass es tatsächlich mit Quadratwurzeln geht, denn normalerweise braucht man für die Lösung der Gleichung vierten Gerades Kubikwurzeln und wenn du bei Arndt Brünner genau nachliest, werden da auch welche verwendet:
u = kubikwurzel(-q/2 + T) = 0,3815534123438513
v = kubikwurzel(-q/2 - T) = 0,0013294705386068517

Da sind wir also noch sehr weit von einer Lösung entfernt und an ein Abhaken ist noch nicht zu denken. Es gibt zwar Programme im Internet, die aus der gegebenen Gleichung vierten Gerades die gesuchte Lösung mit Quadratwurzeln berechnen, aber eigentlich ist es schon so gedacht, dass die Lösung ohne solche Hilfen auskommt.

Ganz kleiner :tipp:
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Es ist einfacher nicht gleich das Verhältnis der Widerstände zu bestimmen, sondern sich in einem ersten Schritt eine andere Zwischengröße vorzunehmen. In diesem Fall bietet sich bei geeigneten Umformungen die Summe R1+R2 an. Später ist es dann vorteilhaft, ein geeignetes Vielfaches des Reziprokwert dieser Summe durch geeignete quadratische Ergänzungen zu ermitteln.

:spass:
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Die Energiedifferenz

Beitragvon Otmar » Freitag 15. März 2013, 22:00

Da die langen Abende und das trübe Wetter nun endlich dem Frühling weichen müssen, werde ich diese Rätsel, das eigentlich für lange Winterabende gedacht war, jetzt auflösen. Es ist zugegeben sehr schwer, so ähnlich wie das mit den gekreuzten Leitern, vielleicht sogar noch etwas anspruchsvoller.

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Nachdem die Kondensatoren aufgeladen sind und kein Strom mehr durch sie fließt verrät uns Strom und Spannung den Gesamtwiderstand der
  R1+R2+R3*R4/(R3+R4)=15V/1mA=15kOhm  

ist. Dann liegt an C1 eine Spannung U1=R1*1mA und an C2 eine Spannung U2=R2*1mA. Die elektrische Energie in den Kondensatoren ist U1²*C1/2 bzw. U2²*C2/2. Da diese völlig in den Widerständen R1 bzw. R2 bei der Entladung verbraucht wird, die Größe der Widerstände ist dabei völlig egal, ist die Energiedifferenz bei C1=C2=C=2mF=2mAs/V: 3mJ=3*mWs=3*0.001*VAs=(R1²-R2²) (0.001²A² * 0.002As/V)/2. Oder 3*1000²(V/A)² = 3(kOhm)²=R1²-R2² Oder
  3 = (R1/kOhm)²-(R2/kOhm)²  
Soweit zur Elektrik.
Wenn wir R1=R3=x kOhm und R2=R4=y kOhm setzen beginnt ein Jonglierspiel mit Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten die aus x und y gebildet werden können, um das gesuchte Verhältnis R1/R2 = x/y zu bestimmen.

Hier die Formeln mit einer Erklärung unten
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EnergiediffernzLösung.png
EnergiediffernzLösung.png (90.17 KiB) 903-mal betrachtet

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In (1) werden sie Variablen s, d, p, q für Summe, Differenz, Produkt und Quotient definiert.
In (2) wird aus dem Gesamtwiderstand eine Relation zwischen s und p hergestellt.
In (3) wird aus der Energiediffernz das Produkt von s und d aufgeschrieben.
In (4) wird das Quadrat der Differnz zu Summe und Produkt in Relation gesetzt und dann in (5) in das Quadrat von Gleichung (3) eingesetzt mit dem Ergebnis einer Gleichung vierten Grades für s. Diese wird in (6) durch s^4 geteilt notiert. Dadurch kommt s nur noch zweimal in vierter und erster Potenz in Nennern vor. Die linke Seite wird jetzt durch die Hilfsgröße t^4 ersetzt, wodurch eine Gleichung vierten Grades in t entsteht, die in (7) aufgeschreiben ist. Und jetzt kommt der eigentliche Trick. Auf beiden Seiten der Gleichung wird eine quadratische Ergänzung für t^4 --> (t²+a)² addiert, mit dem Ziel, dass auch auf der rechten Seite ein vollständiges Quadrat steht, und wir auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel ziehen können und damit aus der Gleichung vierten Grades eine einfache quadratische Gleichung wird. Dann können wir t und s mit den für die Lösung erlaubten Operationen aufschreiben.
In (8) wurde die Addition ausgeführt und (9) gibt an, wie der Klammerausdruck der rechten Seite von (9) ein Quadrat wird. In (10) und (11) wird daraus die Hilfsgröße a bestimmt, was bei dieser Gleichung einfach möglich ist.
(12) ist (8) mit eingesetzten a und b und dem Klammerausdruck in der Form ganz rechts in (9). Jetzt kommt nochmal Elektrik. s ist ja die Reihenschaltung der Widerstände in kOhm. Da diese eine größern Widerstand hat, als die Parallelschaltung, muss die Reihenschaltung mehr als 15/2 kOhm haben. Und daraus können wir schlußfolgern, dass t klein genug ist, um die richtige, der beiden möglichen Differenzen unter dem Quadrat zu wählen, was in (13) passiert ist.
Aus (13) folgt (14) mit der für t positiven Lösung (15).
(16) bereitet den gesuchten Quotienten aus Summe und Differnz auf und (17) zeigt, dass t² der Qutient aus Differnz und Summe ist. Dabei wird (3) verwendet. (18) und (19) setzt jetzt nur noch t in (16) ein und das gesuchte Ergebnis steht da.
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Die Energiedifferenz

Beitragvon Otmar » Montag 18. März 2013, 23:39

Korrektur:
mir ist gerade aufgefallen, das sich in die Formelsammlung ein Fehler eingeschlichen hat. Und zwar in Gleichung (4) und (5) muss jeweils vor der 4 ein - und kein + stehen. Ab Gleichung (6) hab ich dann wieder korrekt abgetippt.
Liebe Grüße, Otmar.
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