Der gefangene Lichtstrahl

[Neuling]

Hallo Otmar!

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Habe mal den linken unteren Startpunkt meines ganzzahligen Weges (Grafik im Post vom 16. März) um 0,5 cm nach oben verschoben - die blauen Linien skizzieren den Weg. In den unteren Ecken verliere ich die Übersicht, aber ich vermute mal, der Rundweg schließt sich, so wie ich die grünen Strahlen angedeutet habe. Dann treffe ich zumindest einige Punkte. 16 mal blaue Kreuzungspunkte und 16 mal grüne. Es sind die Kreuzungspunkte, die bei den roten Strahlen auf den waagerechten Quadratlinien lagen, nicht aber auch auf den senkrechten.
Mit ein bisschen guten Willen, lässt sich das aus dieser Grafik herauslesen.

Lichtstrahl Weg ganzzahlig parallel verschoben.png (57.48 KiB) 1232-mal betrachtet

LG Neuling

[Otmar]

Hallo Neuling,
du bist noch beim Zeichnen... Ich hoffe, dass dir die vielen Linien nicht die Sicht versperren, denn das Rätsel ist eher was zum Nachdenken gefolgt von einer kleinen, versprochen wirklich kleinen, Berechnung. Aber erstmal zu deiner Antwort:

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aber ich vermute mal, der Rundweg schließt sich,

Ja und zwar nach genau 2 Metern, egal, wohin du diesen Strahl parallel verschiebst.

Dann treffe ich zumindest einige Punkte.

Wenn dieser Strahl durch wenigstens einen Gitterpunkt geht, dann landet er auf seinem Rundweg immer genau 40 Treffer. Das ist leider zu wenig für die Lösung.

Mit ein bisschen guten Willen, lässt sich das aus dieser Grafik herauslesen.

Es ist sehr einfach sich die Trefferzahl mit der Lösungsidee anhand einer kleinen Skizze schnell auszurechnen.

für alle

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Ich sagte schon, man muss über den Rand schauen. Genauer: Der Rand ist blau. Wenn dahinter noch nichts ist, müsst ihr euch was denken. Inspirationen gibt es bei Lewis Carroll, aber ich meine nicht "Alice im Wunderland"!

[Otmar]

Nachdem die Rückkehr zum Schwerpunkt gelöst ist, ein Versuch in diese harte Nuss etwas Licht zu bringen:

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Ähnlich, wie bei den anderen beiden Reflextionsrätseln, hilft es auch hier, die ganze Zeichnung an den Spigelwänden zu spiegeln, und zwar nicht nur einmal, sondern, jedenfalls gedanklich, so oft wie nötig. Eigentlich könnte man die ganze Ebene mit regelmäßigen 10x12 Gitterrechtecken vollschreiben. Dabei kann ein Rechteck nur in vier verschiedenen Positionen auftreten, dazu habe ich in meiner Grafik die in den Ecken liegenenden Gitterpunkte gelb, rot, grün und blau eingefärbt. Den roten Gitterpunkt erkennt man am besten. Je nachdem, wo der rote Gitterpunkt liegt, habe ich dem Rechteck noch eine Hintergrundfarbe gegeben. Es ist nun leicht abzulesen, dass sich ein 20x24 Punkte Rechteck in der Ebene in allen Richtungen jeweils entsprechend verschoben wiederholt.

licht_loesung1.png (20.71 KiB) 1180-mal betrachtet

Der gefangene Lichtstrahl kann nun als Gerade in die Ebene eingetragen werden. In meinem Beispiel habe ich zwei Treffer rot umrandet. Horizontal liegen sie 23 cm und vertikal 32 cm auseinander. Man kann sich jetzt erstmal klar machen, dass es dazwischen keine weiteren Treffer gibt. Dann macht man sich klar, dass der Strahl wieder in sich selbst einmündet, wenn er z.B. auf seinem Weg nach rechts oben wieder in einem rosa hinterlegten Rechteck den vierten Punkt in der unteren Reihe trifft. Denn für jede hinterlegte Farbe ist die Trefferrichting eine andere und der Strahl sollte ja so lange verfolgt werden, bis er richtungsgleich wieder in sich selbst einmündet. Wann passiert das:

Geben wir dem blauen Punkt links unten die Koordinaten {0,0} dann hat der erste Treffer die Koordinaten {3,0}. Der zweite Treffer die Koordinaten {3+23, 0+32}= {26,32}, der dritte Treffer hätte {26+23, 32+32} = {49,64} und so weiter. Da in jedem 20x24 großem Rechteck nur 480 Punkte sind, muss nach spätestens 480 Treffern zwei mal der gleiche Punkt innerhalb des 20x24 großem Rechtecks getroffen werden und damit ist die richtungsgleiche Rückkehr sichergestellt, sobald zwei Punkte getroffen wurden.

Ich hoffe, etwas Licht in dieses Rätsel gebracht zu haben.

[Daydreamer]

Die gesuchte Lösung ist...

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1560cm lang und erreicht 120 Treffer (60 Punkte je zweimal).

Als Ausgangspunkt kann dabei jeder X-beliebige Gitternetzpunkt genommen werden, da sich zwei unterschiedliche Lösungen nur durch Parallelverschiebung unterscheiden (und der Startpunkt bei einem Rundweg egal ist)

Damit der Rundweg eine ganzzahlige Länge besitzt, muss auch der Weg zwischen zwei aufeinanderfolgenden Treffern ( :=c ) ganzzahlig sein. Zwischen zwei Treffern hat der Rundweg einen geradzahligen X-anteil ( :=a ) und einen geradzahligen Y-anteil ( :=b ) zurückgelegt.
Die Möglichkeiten, für die a²+b² = c² mit a,b,c ganzzahlig gilt, sind überschaubar (3²+4²=5², 6²+8²=10², 5²+12²=13², 9²+12²=15², 7²+24²=25², …)

Für die folgende Ausführung setzt man in die linke untere Ecke des Spiegelrechtecks den Ursprung eines Koordinatensystems.
O.b.d.A Beginne der Lichtstrahl im Punkt [0,5|0,5]. Da der kürzeste Weg gesucht wird, macht es Sinn, zunächst von c=5 auszugehen. Das führt zu zwei Möglichkeiten: Schrittweite 3 in X-Richtung und Schrittweite 4 in Y-Richtung oder umgekehrt.

Versuch 1: X-Richtung 3, Y-Richtung 4:
Beginnend bei [0,5|0,5] wären die nächsten Treffer die Koordinaten
[0,5|0,5], [3,5|4,5], [6,5|8,5], [9,5|7,5], [11,5|3,5], [8,5|0,5], [5,5|4,5], [2,5|8,5],
[0,5|7,5], [3,5|3,5], [6,5|0,5], …
Da sich sowohl die X- als auch die Y-Koordinaten dann wiederholen (auch mit Richtung), kann man anhand des kgVs errechnen, wie lange es dauert, bis der Rundweg geschlossen ist: kgV(8,10) = 40 => dieser Weg hat 40 Treffer und eine Länge von 40x5 = 200 cm.

Versuch 2: X-Richtung 4 , Y-Richtung 3:
[0,5|0,5], [4,5|3,5], [8,5|6,5], [11,5|9,5], [7,5|7,5], [3,5|4,5],
[0,5|1,5], [4,5|1,5], [8,5|4,5], [11,5|7,5], [7,5|9,5], [3,5|6,5],
[0,5|3,5], [4,5|0,5], [8,5|2,5], [11,5|5,5], [7,5|8,5], [3,5|8,5],
[0,5|5,5], [4,5|2,5], [8,5|0,5], [11,5|3,5], …
Diesmal macht trifft die Y-Koordinate alle möglichen Punkte und das auch aus beiden Richtungen, daher gibt es nun kgV(6,20) = 60 Treffer und eine Länge von 60x5 = 300 cm.

Jetzt kann man schon die Maximalzahl der Treffer eines solchen Rundweges abschätzen:
In X-Richtung sind maximal 24 und in Y-Richtung maximal 20 unterschiedliche Treffer möglich.
kgV(24,20) = 120 ist damit die gesuchte Anzahl der Maximaltreffer (Begründung dass das stimmt, spar ich mir).

Da c=10 auf das selbe Ergebnis führt wie c=5, soll der nächste Versuch bei c=13 starten. Da es wenig Sinn macht in X-Richtung mit 12er Schritten zu arbeiten, bleibt

Versuch 3: X-Richtung 5, Y-Richtung 12:
Wieder beginnend in [0,5|0,5] kommt man auf 24 unterschiedliche X-Koordinaten und 5 unterschiedliche Y-Koordinaten. => kgV(24,5) = 120
120 Treffer und eine Länge von 120x13 = 1560 cm.

Auch wenn es wohl noch viele andere ganzzahlige Lösungen mit 120 Treffern geben wird, ist diese sicherlich

die kürzeste...

[Otmar]

jetzt ist auch die Länge des gefangenen Lichtstrahles gefunden.

@Daydreamer: und für den ausführlichen Lösungsweg.

meine Lösung:

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In der Grafik, die ich am 11. Mai eingestellt hatte, ist der Lichtstrahl im mehrfach gespiegelten Gitter als Gerade dargestellt. In dieser Darstellung wurde ein unendliches Gitter mit 1cm Linienabstandsind begonnen und dort sind die Lösungsgedanken eingebettet. Gleichfarbige 12cm x 10cm Rechtecke stellen Gitterabschnitte gleicher Orientierung dar. Wenn die Hintergrundfarben verschieden sind, liegt das Ausgangsgitter verschieden orientiert vor. Der geradlinige Lichtstahl trifft Gitterpunkte mit unterschiedlichen Hintergrundfarben im Originalgitter aus unterschiedlichen Richtungen und diese Treffer werden neu gezählt. Allerdings wiederholt sich ein 24cm x 20cm großes Vierfachgitter, bestehend aus 4 Ausgangsgittern in allen möglichen vier Orientierungen, in der Ebene. Trifft der Lichtstrahl im unendlich fortgesetzten Gitter zwei Punkte, die innerhalb des Vierfachgitters an der gleichen Stelle liegen, dann mündet der gefangene Lichtstahl im Original dort richtungsgleich in sich ein. Das muss irgendwann passieren, falls der Lichtstrahl wenigstens 2 Punkte im unendlichen Gitter trifft. Denn wenn T(0) = (x,y) und T(1) = (x+a, y+b) zwei getroffenen Punkte mit minimalem Abstand sind, dann werden alle Punkte T(k) = (x+k*a, y+k*b) mit ganzzahligem k getroffen. Die Koordinaten beziehen sich auf das unendliche Gitter und a und b sind ganzzahlige Werte der horizontalen bzw. vertikalen Punktabstände in cm. Da im Vierfachgitter nur 480 Gitterpunkte sind, müssen nach spätestens 480 Treffern 2 Punkte an gleicher Position getroffen worden sein.

Jetzt kommen wir zur eigentlichen Lösung. Dazu setzen wir x=y=0, T(0) ist also der Koordinatenursprung, und erhalten für die Punkte T(k)={k*a, k*b}. Offenbar sind a und b teilerfremd, denn hätte a und b einen gemeinsamen Teiler t > 1 dann würden zwischen T(0) und T(1) noch wenigstens t-1 Punkte getroffen werden, was der Annahme widerspricht, dass T(0) und T(1) minimalen Abstand haben.

Nun fragen wir, wie lang der Rundweg ist, wenn a und b bereits gegeben wären. Dazu reicht es, zu fragen, wann zum ersten Mal in einem anderen Vierfachgitter ein Punkt T(n) getroffen wird, der innerhalb dieses Vierfachgitters an gleicher Stelle liegt wie T(0) in dessen Vierfachgitter. Dazu muss n*a ein Vielfaches von 24 sein und n*b ein Vielfaches von 20. Für den Rundweg suchen wir das kleinste n, das auch gleichzeitig die Zahl der Treffer auf dem Rundweg ist. Natürlich erreicht der Strahl in einem ferneren Vierfachgitter auch nach mehreren z.B. nach m Rundwegen auch im Punkt T(m*n) die gleiche Stelle bezogen auf das Vierfachgitter wie T(0). So ist T(480) auf jeden Fall an der gleichen Stelle im Vierfachgitter wie T(0), weil 480 = 24*20 ist und damit sowohl 480*a ein Vielfaches von 24 als auch 480*b ein Vielfaches von 20 ist. Also ist n = 480/m. Offenbar ist m ein Teiler von 480. Und da n*a=(480/m)*a=24*i also (480/24)*a=20*a=i*m, ist m auch ein Teiler von 20*a. Und analog ist m auch ein Teiler von 24*b. Zusammenfassend suchen wir also den größten gemeinsamen Teiler von 480, 20*a und 24*b, was wir mit m=ggT(480, 20a, 24b) bezeichnen. Der ggT(480, 20a, 24b) ist in jedem Fall größer gleich 4 und ist z.B. für a=b=1 genau 4. D.h. n=480/m <= 480/4=120. Und das heißt, dass auf einem Rundweg maximal 120 Treffer erzielt werden und für a=b=1 diese Trefferzahl auch erreicht wird.

Damit kommen wir zum zweiten Teil der Lösung und suchen den kürzesten ganzzahligen Rundweg mit 120 Treffern:

Die Länge in cm ist l=120*Wurzel(a²+b²). Da l ganzzahlig ist, kann Wurzel(a²+b²) nicht irrational sein, da l/120 ja eine rationale Zahl ist. Da a und b ja ganze Zahlen sind, ist a²+b² eine natürliche Zahl und weil Wurzeln aus natürlichen Zahlen nun entweder natürliche Zahlen oder irrational sind, muss a²+b² eine Quadratzahl c² sein. Tripel a, b, c mit dieser Eigenschaft nennt man Pythagoreische Tripel. Man kann sie für kleine Werte von c schnell durch Probieren finden. 5²=3²+4², 10²=6²+8² und 13²=5²+11² sind die ersten drei mit dem kleinsten Wert für c. c soll so klein wie möglich sein, da der kürzeste Rundweg l=120 c für die maximale Trefferzahl n = 120 gesucht ist. Versuchen wir das erste Tripel, dann ist entweder a=3 und b=4 oder a=4 und b=3. In beiden Fällen ist m=ggT(480, 20a, 24b) größer als 4 und es werden weniger als 120 Treffer erzielt. Das zweite Tripel kommt nicht in Frage, da a und b nach unserer Erkenntnis von oben ja teilerfremd sein müssen. Beim dritten Tripel klappt es dann schon mit: a = 5 und b = 11 --> m = ggT(480, 20*5, 24*12)=4 --> n = 480/4 = 120. Und die Länge in cm ist: l = 120*13. Und so hätten wir den kürzeste ganzzahlige Rundweg mit einer Länge von 15 Metern und 60 Zentimetern gefunden.

Und jetzt noch, auch als kleine Entschädigung für die Versuche der grafischen Lösung, eine Grafik eines möglichen Lichtstrahles mit der gesuchten Länge:

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gefangener Lichtstrahl.png (38.97 KiB) 1139-mal betrachtet