1560cm lang und erreicht 120 Treffer (60 Punkte je zweimal).
Als Ausgangspunkt kann dabei jeder X-beliebige Gitternetzpunkt genommen werden, da sich zwei unterschiedliche Lösungen nur durch Parallelverschiebung unterscheiden (und der Startpunkt bei einem Rundweg egal ist)
Damit der Rundweg eine ganzzahlige Länge besitzt, muss auch der Weg zwischen zwei aufeinanderfolgenden Treffern ( :=c ) ganzzahlig sein. Zwischen zwei Treffern hat der Rundweg einen geradzahligen X-anteil ( :=a ) und einen geradzahligen Y-anteil ( :=b ) zurückgelegt.
Die Möglichkeiten, für die a²+b² = c² mit a,b,c ganzzahlig gilt, sind überschaubar (3²+4²=5², 6²+8²=10², 5²+12²=13², 9²+12²=15², 7²+24²=25², …)
Für die folgende Ausführung setzt man in die linke untere Ecke des Spiegelrechtecks den Ursprung eines Koordinatensystems.
O.b.d.A Beginne der Lichtstrahl im Punkt [0,5|0,5]. Da der kürzeste Weg gesucht wird, macht es Sinn, zunächst von c=5 auszugehen. Das führt zu zwei Möglichkeiten: Schrittweite 3 in X-Richtung und Schrittweite 4 in Y-Richtung oder umgekehrt.
Versuch 1: X-Richtung 3, Y-Richtung 4:
Beginnend bei [0,5|0,5] wären die nächsten Treffer die Koordinaten
[0,5|0,5], [3,5|4,5], [6,5|8,5], [9,5|7,5], [11,5|3,5], [8,5|0,5], [5,5|4,5], [2,5|8,5],
[0,5|7,5], [3,5|3,5], [6,5|0,5], …
Da sich sowohl die X- als auch die Y-Koordinaten dann wiederholen (auch mit Richtung), kann man anhand des kgVs errechnen, wie lange es dauert, bis der Rundweg geschlossen ist: kgV(8,10) = 40 => dieser Weg hat 40 Treffer und eine Länge von 40x5 = 200 cm.
Versuch 2: X-Richtung 4 , Y-Richtung 3:
[0,5|0,5], [4,5|3,5], [8,5|6,5], [11,5|9,5], [7,5|7,5], [3,5|4,5],
[0,5|1,5], [4,5|1,5], [8,5|4,5], [11,5|7,5], [7,5|9,5], [3,5|6,5],
[0,5|3,5], [4,5|0,5], [8,5|2,5], [11,5|5,5], [7,5|8,5], [3,5|8,5],
[0,5|5,5], [4,5|2,5], [8,5|0,5], [11,5|3,5], …
Diesmal macht trifft die Y-Koordinate alle möglichen Punkte und das auch aus beiden Richtungen, daher gibt es nun kgV(6,20) = 60 Treffer und eine Länge von 60x5 = 300 cm.
Jetzt kann man schon die Maximalzahl der Treffer eines solchen Rundweges abschätzen:
In X-Richtung sind maximal 24 und in Y-Richtung maximal 20 unterschiedliche Treffer möglich.
kgV(24,20) = 120 ist damit die gesuchte Anzahl der Maximaltreffer (Begründung dass das stimmt, spar ich mir).
Da c=10 auf das selbe Ergebnis führt wie c=5, soll der nächste Versuch bei c=13 starten. Da es wenig Sinn macht in X-Richtung mit 12er Schritten zu arbeiten, bleibt
Versuch 3: X-Richtung 5, Y-Richtung 12:
Wieder beginnend in [0,5|0,5] kommt man auf 24 unterschiedliche X-Koordinaten und 5 unterschiedliche Y-Koordinaten. => kgV(24,5) = 120
120 Treffer und eine Länge von 120x13 = 1560 cm.
Auch wenn es wohl noch viele andere ganzzahlige Lösungen mit 120 Treffern geben wird, ist diese sicherlich