Wenn man bei z eine führende Null zulässt, kann man bei jeder Ziffer eine Zahl mit n Stellen beginnen. Es gibt dann genau n Zahlen mit den Werten z, 2z, 3z, ..., n*z. Die Zahl mit der Endziffer 0 ist genau 10*z. Also ist Lena wenigstens 10 Jahre alt. Sie ist jünger als 20 Jahre, denn wenn 20z dabei wäre, hätten wir eine weitere Zahl mit Endziffer 0. Aber es gibt nur eine 0 und damit eine Zahl mit Endziffer 0 und das ist 10*z.
Ähnlich wie bei
Eine Ziffer versetzen kann man auch hier mit periodischen Dezimalbrüchen weiter kommen. Man schreibt nach Null und Komma die n Ziffern der Zahl z mit führender Null immer wieder periodisch hintereinander und erhält die rationale Zahl P/Q. Durch Weglassen einiger (1 bis n-1) Ziffern nach dem Komma müssen die rationalen Zahlen 2P/Q, 3P/Q, ..., n*P/Q gebildet werden, wobei es nicht wichtig ist, wie viele Ziffern man für eine bestimmte rationale Zahl kP/Q weglassen muss.
Weiss nicht, ob man heutzutage noch schriftliche Division in der Schule lernt, aber wenn man etwas damit vertraut ist, kann man erkennen, dass man damit zum Ziel kommt. Habe mal die Division 9/17 als Beispiel aufgeschrieben:
Beispiel:
9 : 17 = 0,5294117647058823...
90 (9 war < 17, 0 herunterholen) |
-85 (85 = 5*17) |
50 (Rest 5, 0 herunterholen) |
-34 (34 = 2 * 17) |
160 (Rest 16, 0 herunterholen) |
-153 |
70 |
-68 |
20 |
-17 |
30 |
-17 |
130 |
-119 |
110 |
-102 |
80 |
-68 |
120 |
-119 |
10 (hier haben wir Rest 1 und eine 0 heruntergeholt, so würden wir bei 1:17 starten)
-0
100
-85
150
-136
140
-136
40
-34
60
-51
90 (ab hier geht es so weiter, wie oben, d.h. die nächste Periode beginnt)
.
.
.
Bei so einem Bruch sieht man, dass alles nach einer bestimmten Kommastelle, nur vom gebliebenen letzten Rest abhängt, da ja nur Nullen heruntergeholt werden, wenn in P/Q sowohl P als auch Q ganzzahlig sind. In diesem Fall sind folgende Reste geblieben: 5, 16, 7, 2, 3, 13, 11, 8, 12, 1, 10, 15, 14, 4, 6 und 9. Natürlich darf bei uns der Rest 0 nicht auftreten, weil sonst P/Q abbricht und kein periodischer Dezimalbruch entsteht. Die Reste sind immer kleiner als Q im Beispiel < 17. Also gibt es maximal Q-1 verschiedene Reste und die Periode hat maximal Q-1 Stellen. Natürlich müssen nicht alle Reste auftreten, was man z.B. bei der Division 9:13 sehen kann. Dort gibt es nicht 12 sondern nur 6 verschiedene Reste.
Ein zweiter Blick zeigt: Wenn wir P zu P' verändern und P' in der Liste der Reste vorkommt, dann können wir die Division von oben nutzen und müssen für das Ergebnis nur alle Dezimalstellen nach dem Komma weglassen, die vor diesem Rest entstanden sind. Ich habe das im Beispiel für P'=1 eingetragen.
Zusammenfassend kann man also sagen, wenn bei einer Division P/Q mit 0 < P < Q alle möglichen Reste von 1 bis Q-1 auftreten, dann haben alle Dezimalbrüche 1/Q, 2/Q, 3/Q, ..., (Q-1)/Q die gleichen periodischen n Dezimalstellen aber mit anderem Beginn. Andersherum ist bewiesen, dass jeder mit n Stellen periodische Dezimalbruch r, der durch Weglassen der ersten 1..n-1 Ziffern nach dem Komma, die Menge {2r, 3r, ..., n*r} bildet, die Form 1/(n+1) hat. Weiter zeigt sich, dass n+1 eine Primzahl ist und natürlich bei schriftlicher Division 1:(n+1) alle Reste von 1..n auftreten müssen.
Aber auch ohne das "Andersherum" Wissen, welches die Eindeutigkeit unserer Lösung sicher stellt, kann man für Lenas n-ten Geburtstag mit 10 <= n < 20 die Brüche 1/10, 1/11, ..., 1/19 in die nähere Betrachtung ziehen. Wenn Q gerade oder durch 5 teilbar ist, entsteht eine sogenannte Vorperiode und diese Brüche fallen für uns weg. Bei 1/11 treten nur 2 Reste auf und bei 1/13 nur 6 verschiedene Reste. Bleiben 1/17 und 1/19. Bei beiden Dezimalbrüchen gibt es maximal viele Reste und wir können weitere Angaben über z nutzen, um das richtige z auszuwählen.
1/17 = 0,0588235294117647 Periode 0588235294117647 --> z = 588235294117647
5+8+8+2+3+5+2+9+4+1+1+7+6+4+7 = 72
72² = 8*3*9*4*6
Das passt, denn die Ziffern 8,3,9,4,6 sind im Produkt der Ziffern enthalten.
1/19 = 0,052631578947368421 Periode 052631578947368421 --> z = 52631578947368421
5+2+6+3+1+5+7+8+9+4+7+3+6+8+4+2+1=81
81² = 3^8 aber das Produkt der Ziffern enthält den Primfaktor 3 nur 6 fach, wie man leicht nachzählen kann.
Zur Abrundung noch die Zahl der Augenblicke je Sekunde:
Wir haben (411*33*73*101)=(411*73)(33*101)=30003*3333=99999999 Sekunden im Jahr. Teilen wir z durch 10^8 und runden auf, dann erhalten wir 5882353 Augenblicke je Sekunde. Probe: 5882353*99999999 = 588235300000000-5882353 = 588235294117647
