Der Armreif Rätsel ist gelöst

Rätsel, die zum Lösen einen größeren Zeitaufwand erfordern, wie z. B. schwierige Physik- und Matherätsel.

Der Armreif

Beitragvon Otmar » Sonntag 26. Mai 2013, 23:50

Auf einem fernen Planeten hat jedes Jahr 411 Tage, jeder Tag hat 33 Stunden, jede Stunde hat 73 Minuten und jede Minute hat 101 Sekunden. Die Sekunden werden für eine noch feinere Zeitmessung in eine ganze Anzahl von Augenblicken unterteilt. Auf diesem Planet bekommt Lena zu ihrem n-ten Geburtstag von ihrem Freund Max einen Armreif geschenkt. Auf dem Armreif sind n Ziffern eingraviert. Es ist genau eine 0 dabei. Liest man die Ziffern nach der 0 beginnend bis zur 0 als Dezimalzahl z und lässt die 0 dabei weg, dann ist z genau die Anzahl der Augenblicke eines Jahres. Aber das ist nicht alles. Es ist ein besonderer Ring, denn auch die Anzahl der Augenblicke von 2, 3, 4, ...., n Jahren ist als Zahl eingraviert. Lena findet diese Zahlen, wenn sie an geeigneter Stelle beginnend jeweils alle n Ziffern ringförmig liest. Max erwähnt noch: Wenn man alle Ziffern von z multipliziert, dann ist das Produkt ein Vielfaches des Quadrates der Quersumme von z.

Wie alt ist Lena geworden und wie viele Augenblicke hat eine Sekunde?

:time:
Spoilersperre ist festgelegt - Spoiler sind geöffnet
Start: Sonntag 26. Mai 2013, 23:50
Ende: Mittwoch 29. Mai 2013, 23:50
Aktuell: Sonntag 5. April 2020, 12:46
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Re: Der Armreif

Beitragvon Friedel » Montag 27. Mai 2013, 01:30

:-?
Otmar hat geschrieben:Es ist genau eine 0 dabei. Liest man die Ziffern nach der 0 beginnend bis zur 0 als Dezimalzahl z und lässt die 0 dabei weg, dann ist z genau die Anzahl der Augenblicke eines Jahres...
:bahnhof:
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Re: Der Armreif

Beitragvon Otmar » Montag 27. Mai 2013, 07:31

Beispiel:

Angenommen auf dem Armreif würde 8 1 2 3 4 2 2 3 3 0 3 4 8 stehen. Bei den beiden Achten am Rand musst du dir den Reif ringförmig geschlossen vorstellen. Es ist genau eine 0 dabei. Die Zahl z wäre dann: 348812342233. Eine der anderen Zahlen wäre: 3422330348812 Ich hoffe, dass man das jetzt besser verstehen kann.
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Re: Der Armreif

Beitragvon Friedel » Montag 27. Mai 2013, 09:13

Ich verliere ungern Geld, aber der Groschen ist gefallen. Leider hat das bisher nicht zu einer Idee für einen Lösungsansatz geführt. :gruebel2:
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Re: Der Armreif

Beitragvon Neuling » Montag 27. Mai 2013, 13:37

Harte Nuss ??? :nein:

Hallo Otmar!
Normalerweise sind Deine, unter "Harte Nüsse" geposteten Aufgaben für mich eine Nummer zu groß. Normalerweise!
Du weißt doch, ich kenne Max und Lena ;) und als kürzlich (praktisch vorgestern) Lenas kleine Schwester Geburtstag hatte und
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7 Jahre alt geworden ist, da bin ich zum ersten Mal auf diese Problematik gestoßen. Das hat mich sehr interessiert und ich habe mich ein bisschen intensiver damit beschäftigt.
Habe also Papier und Bleistift rausgeholt und nur ein paar Proberechnungen durchgeführt. Auch Deine Postings in Deiner Aufgabe "Ziffernfolge im Quadrat" waren mir eine schnelle Hilfe.
Werde hier aber nicht Lenas Alter und die Anzahl der Augenblicke posten, da dann nach Spoileröffnung der Spaß für die anderen vorbei ist. Am wenigsten kann man wohl damit anfangen, wenn ich schreibe, wie groß das Vielfache ist, das Du in Deiner Aufgabenstellung mit der letzten Aussage erwähnst.
Also, ich habe V = 156800 errechnet.

"Oh Augenblick! Verweile doch! Du bist so schön!" - J. W. von Goethe :flower:

Hoffentlich habe ich den Mund jetzt nicht zu voll genommen und irgendwo einen Denkfehler drin.
Danke für diese wunderschöne Aufgabe!

Gruß Neuling
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Re: Der Armreif

Beitragvon Daydreamer » Mittwoch 29. Mai 2013, 13:45

Hallo zusammen.

Ich gib dann auch mal meinen Tipp ab:
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Max schenkt seiner Lena zum 16. Geburtstag das Armband mit der Zahl 0588235294117647
Eine Sekunde hat auf diesem seltsamen Planeten 5.882.353 Augenblicke.

Hintergedanke: die Tage, Stunden, Minuten und Sekunden pro Jahr ergeben 99.999.999 (Sekunden/Jahr)
Die auf dem Armband eingravierte Zahl setzt sich aus x:= Anzahl der Augeblicke einer Sekunde mal der Sekunden pro Jahr und einer weiteren 0 zusammen.
Nach anfänglichen (teilweise auch guten) Versuchen die Zahl x und die Zahl n möglichst einzuschränken, wurde mir klar, dass es sich bei der eingravierten Zahl um eine zyklische handelt. Wie alle zyklischen Zahlen wird auch die Lösung als Kehrbruch einer Primzahl darzustellen sein.
Bei 1/17 wird man auch schon fündig: 1/17= 0,05882352941176470588235... mit der geuschten gravierten Zahl als Periode
der Test 588235294117647 : 99999999 = 5882353 die Division geht also auf und die Anzahl der Augenblicke sollte passen.

Fies fand ich, die Ratenden mit "Wenn man alle Ziffern von z multipliziert, dann ist das Produkt ein Vielfaches des Quadrates der Quersumme von z. " auf einen anderen Lösungsweg zu drängen


Nettes Rätsel :daumen:
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Re: Der Armreif

Beitragvon Neuling » Donnerstag 30. Mai 2013, 00:13

Na gut, weil jetzt eh schon alles bekannt ist, hier noch ein interessanter Link zum Thema:

http://elektroniktutor.de/allerlei/zyklisch.html
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Re: Der Armreif

Beitragvon Otmar » Freitag 31. Mai 2013, 00:40

Hallo Neuling und Daydreamer. Ihr habt das Rätsel gelöst.

:juchhu: :gutgemacht: :super:

Danke auch für die mathematischen Stichworte und den Link. Da halte ich mich jetzt zurück. Aber hier eine Lösung:

Mehr ->
Wenn man bei z eine führende Null zulässt, kann man bei jeder Ziffer eine Zahl mit n Stellen beginnen. Es gibt dann genau n Zahlen mit den Werten z, 2z, 3z, ..., n*z. Die Zahl mit der Endziffer 0 ist genau 10*z. Also ist Lena wenigstens 10 Jahre alt. Sie ist jünger als 20 Jahre, denn wenn 20z dabei wäre, hätten wir eine weitere Zahl mit Endziffer 0. Aber es gibt nur eine 0 und damit eine Zahl mit Endziffer 0 und das ist 10*z.

Ähnlich wie bei Eine Ziffer versetzen kann man auch hier mit periodischen Dezimalbrüchen weiter kommen. Man schreibt nach Null und Komma die n Ziffern der Zahl z mit führender Null immer wieder periodisch hintereinander und erhält die rationale Zahl P/Q. Durch Weglassen einiger (1 bis n-1) Ziffern nach dem Komma müssen die rationalen Zahlen 2P/Q, 3P/Q, ..., n*P/Q gebildet werden, wobei es nicht wichtig ist, wie viele Ziffern man für eine bestimmte rationale Zahl kP/Q weglassen muss.

Weiss nicht, ob man heutzutage noch schriftliche Division in der Schule lernt, aber wenn man etwas damit vertraut ist, kann man erkennen, dass man damit zum Ziel kommt. Habe mal die Division 9/17 als Beispiel aufgeschrieben:

Beispiel:
9 : 17 = 0,5294117647058823...
90 (9 war < 17, 0 herunterholen) |
-85 (85 = 5*17) |
50 (Rest 5, 0 herunterholen) |
-34 (34 = 2 * 17) |
160 (Rest 16, 0 herunterholen) |
-153 |
70 |
-68 |
20 |
-17 |
30 |
-17 |
130 |
-119 |
110 |
-102 |
80 |
-68 |
120 |
-119 |
10 (hier haben wir Rest 1 und eine 0 heruntergeholt, so würden wir bei 1:17 starten)
-0
100
-85
150
-136
140
-136
40
-34
60
-51
90 (ab hier geht es so weiter, wie oben, d.h. die nächste Periode beginnt)
.
.
.

Bei so einem Bruch sieht man, dass alles nach einer bestimmten Kommastelle, nur vom gebliebenen letzten Rest abhängt, da ja nur Nullen heruntergeholt werden, wenn in P/Q sowohl P als auch Q ganzzahlig sind. In diesem Fall sind folgende Reste geblieben: 5, 16, 7, 2, 3, 13, 11, 8, 12, 1, 10, 15, 14, 4, 6 und 9. Natürlich darf bei uns der Rest 0 nicht auftreten, weil sonst P/Q abbricht und kein periodischer Dezimalbruch entsteht. Die Reste sind immer kleiner als Q im Beispiel < 17. Also gibt es maximal Q-1 verschiedene Reste und die Periode hat maximal Q-1 Stellen. Natürlich müssen nicht alle Reste auftreten, was man z.B. bei der Division 9:13 sehen kann. Dort gibt es nicht 12 sondern nur 6 verschiedene Reste.

Ein zweiter Blick zeigt: Wenn wir P zu P' verändern und P' in der Liste der Reste vorkommt, dann können wir die Division von oben nutzen und müssen für das Ergebnis nur alle Dezimalstellen nach dem Komma weglassen, die vor diesem Rest entstanden sind. Ich habe das im Beispiel für P'=1 eingetragen.

Zusammenfassend kann man also sagen, wenn bei einer Division P/Q mit 0 < P < Q alle möglichen Reste von 1 bis Q-1 auftreten, dann haben alle Dezimalbrüche 1/Q, 2/Q, 3/Q, ..., (Q-1)/Q die gleichen periodischen n Dezimalstellen aber mit anderem Beginn. Andersherum ist bewiesen, dass jeder mit n Stellen periodische Dezimalbruch r, der durch Weglassen der ersten 1..n-1 Ziffern nach dem Komma, die Menge {2r, 3r, ..., n*r} bildet, die Form 1/(n+1) hat. Weiter zeigt sich, dass n+1 eine Primzahl ist und natürlich bei schriftlicher Division 1:(n+1) alle Reste von 1..n auftreten müssen.

Aber auch ohne das "Andersherum" Wissen, welches die Eindeutigkeit unserer Lösung sicher stellt, kann man für Lenas n-ten Geburtstag mit 10 <= n < 20 die Brüche 1/10, 1/11, ..., 1/19 in die nähere Betrachtung ziehen. Wenn Q gerade oder durch 5 teilbar ist, entsteht eine sogenannte Vorperiode und diese Brüche fallen für uns weg. Bei 1/11 treten nur 2 Reste auf und bei 1/13 nur 6 verschiedene Reste. Bleiben 1/17 und 1/19. Bei beiden Dezimalbrüchen gibt es maximal viele Reste und wir können weitere Angaben über z nutzen, um das richtige z auszuwählen.

1/17 = 0,0588235294117647 Periode 0588235294117647 --> z = 588235294117647
5+8+8+2+3+5+2+9+4+1+1+7+6+4+7 = 72
72² = 8*3*9*4*6
Das passt, denn die Ziffern 8,3,9,4,6 sind im Produkt der Ziffern enthalten.

1/19 = 0,052631578947368421 Periode 052631578947368421 --> z = 52631578947368421
5+2+6+3+1+5+7+8+9+4+7+3+6+8+4+2+1=81
81² = 3^8 aber das Produkt der Ziffern enthält den Primfaktor 3 nur 6 fach, wie man leicht nachzählen kann.

Zur Abrundung noch die Zahl der Augenblicke je Sekunde:

Wir haben (411*33*73*101)=(411*73)(33*101)=30003*3333=99999999 Sekunden im Jahr. Teilen wir z durch 10^8 und runden auf, dann erhalten wir 5882353 Augenblicke je Sekunde. Probe: 5882353*99999999 = 588235300000000-5882353 = 588235294117647

Am Ende noch
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mal die Division 1:17 mit den Startpunkten für 2/17, 3/17, ..., 16/17:
1                          : 17 = 0,05882352941176470...
10 |||||||||||||||
-0 |||||||||||||||
100 10:17----------------------- ||||||||||||||
-85 ||||||||||||||
150 15:17---------------------- |||||||||||||
-136 |||||||||||||
140 14:17---------------------- ||||||||||||
-136 ||||||||||||
40 4:17---------------------- |||||||||||
-34 |||||||||||
60 6:17----------------------- ||||||||||
-51 ||||||||||
90 9:17----------------------- |||||||||
-85 |||||||||
50 5:17----------------------- ||||||||
-34 ||||||||
160 16:17----------------------- |||||||
-153 |||||||
70 7:17----------------------- ||||||
-68 ||||||
20 2:17----------------------- |||||
-17 |||||
30 3:17----------------------- ||||
-17 ||||
130 13:17----------------------- |||
-119 |||
110 11:17----------------------- ||
-102 ||
80 8:17----------------------- |
-68 |
120 12:17-----------------------
-119
10
.
.
.


@Daydreamer:
:welcome: super Einstand!
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Daydreamer hat geschrieben:Fies fand ich, die Ratenden mit "Wenn man alle Ziffern von z multipliziert, dann ist das Produkt ein Vielfaches des Quadrates der Quersumme von z. " auf einen anderen Lösungsweg zu drängen


Eigentlich wollte ich keine falsche Fährte setzen, sondern die Relation Quersumme/Produkt war anfangs dazu gedacht,
die Lösung eindeutig zu machen. Die Angaben zu den Zeiten hatte ich erst später hinzugefügt, um auch eine "Brute Force"
Lösung zu erleichtern.


@Neuling:

Gute Idee, die Lösung zu verschleiern. Wie du siehst, ich hatte das Vielfache gar nicht berechnet. Aber es passt natürlich. War Lenas kleine Schwester nicht erst 6 Jahre alt geworden :?:

edit: da musste noch 2 Mal n anstelle von 20 stehen.
Zuletzt geändert von Otmar am Freitag 31. Mai 2013, 16:21, insgesamt 1-mal geändert.
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Der Armreif

Beitragvon Neuling » Freitag 31. Mai 2013, 15:49

Hallo Otmar!
Wow, ich ziehe den Hut, vor Deinen immer wieder ausführlichen und respektablen Lösungsdarstellungen.

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War Lenas kleine Schwester nicht erst 6 Jahre alt geworden :?:


Nöö, die kleine Maus ist tatsächlich schon 7 geworden und weil sie zu ihrem 6. Geburtstag keinen solchen Armreif bekommen hat, ...
Ja, in Deine Aufgabe eingekleidet, hätte sie natürlich erst 6 werden sollen. Die 7 sollte der Hinweis auf die zyklischen Zahlen sein.

Als ich das erste Mal mit soetwas konfrontiert wurde, war die Länge der Zahl mit 6 Stellen schon vorgegeben. Da konnte man auch relativ schnell, durch Betrachtung der ersten und der letzten Stelle dieser Zahl, die einzelnen Ziffern errechnen.

Gute Idee, die Lösung zu verschleiern.


Hatte nicht gedacht, dass diese Aufgabe so schnell geknackt wird. Wer, wie ich, die Thematik kennt, für den sind ja nur ein paar Proben zu machen. Habe auch die 19 durchgerechnet, die ja auch nur eine Null enthält und sogar die 23 per Hand dividiert. Zum Glück hatte die dann 2 Nullen.

Eigentlich wollte ich keine falsche Fährte setzen, sondern die Relation Quersumme/Produkt war anfangs dazu gedacht, die Lösung eindeutig zu machen.


Und für mich war dieser Hinweis auch keine "falsche Fährte", sondern tatsächlich die Hilfe, um die 19 auszuschließen.


Ich hatte in meinem Kommentar Bezug auf eine andere Aufgabe von Dir genommen. Der Grund war dieser Zusammenhang:

z * 17 = 9999999999999999 = 99999999 * 100000001
Und also 100000001 / 17 = 5882353
(ohne zu runden ;) )

Auch wenn ich mich wiederhole - das war eine sehr schöne Aufgabe, Danke! Ich weiß nicht, ob ich sie ohne mein "Vorwissen" überhaupt hätte lösen können. Zumindest hätte ich sicher länger als nur drei Tage gebraucht.

Liebe Grüße, Neuling
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