LösungsvorschlagIch nehme mal an, wie es dargestellt ist, dass Donald Duck ein Annuitätendarlehen von der Dagobert-Bank bekommen hat.
@ Otmar:
…. , das ich monatlich in gleichen Raten zurückzahlen kann. Natürlich mit Zinsen.
Annuität:
Ein Annuitätendarlehen ist ein Darlehen mit konstanten Raten und mit gleichbleibenden Zinssatz über die gesamte Laufzeit, wobei sich die Raten, sprich die Annuität aus einem Zins- und einem Tilgungsanteil zusammensetzt. Da mit jeder Rate ein Teil der Restschuld getilgt wird, verringert sich der Zinsanteil zugunsten des Tilgungsanteils. Am Ende der Laufzeit ist die Kreditschuld vollständig getilgt.
Die Annuität ist also die Umkehrung einer Kapitalverrentung.
Hieraus resultiert auch die Berechnung der Annuität.
K = Kreditbetrag (so klein wie möglich!)
A = Annuität Rate pro Monat
L = Laufzeit: 120 Monatsperioden; 10 Jahre
z = Nominalzinssatz pro Monat (<3% = <0,03 pro Jahr) => z < 0,03/12 Mo. z < 0,0025
t = Tilgungssatz pro Monat
ANF(L,z) = Annuitätsfaktor(bez. L, z) oder Wiedergewinnungsfaktor ist der Kehrwert des Rentenbarwertfaktors. (ANF(L,z) = 1/RBF(L,z)
ANF(L,z) = [z * (1+z)^L]/{[(1+z)^L] -1} ersetzt man den Term (1+z) mit q = (1+z)
ANF(L,z) = [z * q^L]/{[(q^L] -1}
A = K * ANF(L,z)
A = K * [z * q^L]/{[(q^L] -1}
Ersetzt man in der Formel für die Annuität, A durch die sich aus vorgegebenem Zinssatz z und dem anfänglichen Tilgungssatz t ergebende Höhe der Annuität mit A = K*(z + t) und man erhält durch Umformung die einfache Beziehung t = A/K – z; bzw. z + t = A/K
K*(z + t) = K * [z * q^L]/{[(q^L] -1} =>
z + t = z * q^L/{[(q^L] -1} => z + t = a (a=Annuitätssatz) =>
Die Laufzeit ist also nur abhängig von Zins- und anfänglichem Tilgungssatz und nicht von der Kreditsumme.
z + t = z * q^L/{[(q^L] -1} =>
t = z {(q^L)/[(q^L) -1] -1} für q=z+1
t = z/{([z+1]^L) -1} =>z + t = z/{([z+1]^L) -1} +z => a = z/{([z+1]^L) -1} +z =>
a = z(z+1)^L/{[(z+1)^L] -1}a(L,z) bzw. z + t < 0,009656074 => 0,9656% mtl. Annuitätssatz bei (z=0,0025) =>
t = z/{([z+1]^L) -1} => t=0,007156074 =>0,7156% anf. mtl. Tilgungssatz bei (z=0,0025)
z => 0 lim z + t = 0,008333333333 ... oder z => 0 lim t = 0,008333333333...
Da die Kreditsumme K so klein wie möglich sein soll, folgt aus, ….
A = K*(z + t) => z + t = A/K => K = A/(z + t) => K = A/a
... das a= (z + t) bzw. Zinssatz (z) so groß wie möglich gewählt werden muss. => z≈0,0025
Zudem sollen die Annuität A=K*(z + t), die Zinsrate (K*z) und die Tilgungsrate (K*t) ganze Zahlen sein, deshalb darf der Zinssatz (z) und der Tilgungssatz (t) keine irrationale Zahl sein.
Da "arndt-bruenner" nicht funktioniert und ich kein anderes Programm kenne, dass mir für (a) alle Stellenanzahlen berechnet und mit dem Kehrwert auch kein Faktor (K) für K*a=A{Z} zu ermitteln ist, geht man folgende Annahme ein.
Wie man erkennt, folgt aus a = z(z+1)^L/{[(z+1)^L]-1}, dass a<1 ist, => aus A=K*a, dass die kleinste ganze Zahl {Z} für (A) A=1 sein muss.
Demzufolge ist der Faktor (K) eine Funktion von A/a bzw. (K)=1/a => (K)= 103,5617, damit die Bedingungen erfüllt werden.
