Zuerst mal ein Blatt mit Formeln und danach die Erklärung:
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(1) z ist der jährliche Nominalzins als rationale Zahl geschrieben, mit positiven ganzen Zahlen A und B. Die Division durch 100 aus der Prozentangabe ist bereits in B enthalten. Also muss z < 3/100 gelten.
(2) p ist der monatliche Zinssatz plus 1. Auch p muss eine rationale Zahl sein, die mit P/Q und positiven ganzen Zahlen P und Q angegeben ist. Da z > 0 gilt, muss P>Q sein.
(2)..(6) zeigen, wie der Saldo auf der Bank nach jedem Monat aus dem anfänglichen Kreditbetrag K und der Annuität A, die jeden Monat gezahlt werden muss, berechnet werden kann.
(6) Zeigt noch, dass nach 120 Monaten das Darlehen getilgt ist.
(7) folgt direkt aus(6)
(8) folgt aus (7) wenn man für p die rationale Zahl P/Q einsetzt.
(9) Die linksseitige Ungleichung folgt daraus, dass P>Q ist (siehe (2)) und die rechte Ungleichung folgt daraus dass z < 3/100 ist.
(10) Die linksseitige Ungleichung folgt wieder aus P>Q und die rechtsseitige erhält man aus (9), wenn man erst mit Q mulipliziert und danach Q subtrahiert. Aus 1<Q/400 folgt dann natürlich, dass Q>400 sein muss.
(11) Folgt direkt aus P>Q
(12) Folgt aus (8), (10) und (11). Und zwar so:
Die rechte Seite von (8) lässt sich nicht mehr kürzen, wenn P und Q teilerfremd sind. Denn wir können die rechte Seite nur durch Primfaktoren von P kürzen, da der Nenner nur Primfaktoren von P enthält. Nehmen wir an, R sei so ein Primfaktor von P. Es sind alle Summanden des Zählers auch durch R teilbar, bis auf den letzten Q^120, der nicht durch R teilbar ist, weil P und Q ja teilerfremd seien sollen. Deshalb lässt der Zähler bei Division durch R immer einen Rest und ist damit durch kein mögliches R teilbar.
Wir können nun P und Q immer so wählen, dass sie für einen bestimmten rationalen Zinssatz teilerfremd sind, denn sind sie es nicht, kürzen wir den gemeinsamen Teiler einfach weg. Würde es jetzt für den erlaubten Zinssatz ein kleinstes P und Q geben, dass teilerfremd ist, dann hätten wir das kleinste K schon als den Zähler der rechten Seite von (8) gefunden, da dieser Zähler bei positiven ganzzahligen P und Q sowohl mit wachsendem P als auch mit wachsendem Q größer wird. Und nun haben wir in (10) und (11) die minimalen möglichen Werte für P und Q schon gefunden und weil diese für das minimale K nötig sind, ist der Zinssatz bekannt.
Der monatliche Zinssatz ist also
(P/Q)-1 = 1/401 oder (100/401)% = 0,2493765...% und der jährliche Nominalzins ist das Zwölffache davon also 2,9925187...%.
Da (8) nicht gekürzt werden kann, ist A = P^120=402^120. Das können die meisten Rechner nicht mehr ausrechnen. Man kann jetzt etwas umformen:
A = 402^120 = (4,02 * 100)^120=4,02^120 * 100^120 = 3,214596.. * 10^72 * 10^(2*120) = 3,214596.. * 10^312
Aus (7) folgt mit der Summenformel für die geometrische Reihe: K = (A/p^120)*(p^120-1)/(p-1) und setzen wir p=P/Q=402/401 ein, dann kommen wir auf
333,02826442.. * 10^312.
Mit einem guten Algebra Programm kann man die Werte für K und A natürlich genau ausrechnen. Hier sind sie mit jeweils 50 Ziffern je Zeile:
K=
33302826442096851299338128683440874790038407817988
36230882859778048110453699449197593292061319894179
66272881945452561818318070127431331018028898471615
64727994929014797362255712699084728391502710041195
59610964798988063466831055053076347008380626584370
91540303188370812647310232014263135657107065542417
730764601550575
A=
32145957791923714213910493511613998517393726762477
05867955413756100288411559282079169777213197809816
43088445163386604685140119754766625980296490244636
99895838245678632788352394513556937231631394932752
41903516269910635631666506322612899978918878775999
44631237532542364081491226401401233887628505717170
5382175768576
Wer noch Lust hat, kann jetzt noch ausrechnen, dass auch die monatlichen Salden s1, s2, ... und damit auch die Aufteilung der Annuität in den Zins- und Tilgungsanteil ganzzahlige Werte sind.
