Baden bei Kerzenlicht

[Otmar]

Käpt’n Blaubär hat es satt. Der Pinguin Amundsen ist nur noch in der Badewanne des Fischkutters zu finden. Aber seit heute gibt es eine neue Regelung für‘s Baden. Käpt’n Blaubär hat das Bullauge der Badekabine verdunkelt und zur Beleuchtung soll eine auf einem Bernsteinständer geklebte Kerze im Badewasser schwimmen. Sobald das Licht der Kerze erlischt, ist das Bad beendet. Amundsen darf nun eine ganze zweistellige Zahl n nennen und bekommt vom Käpt’n eine n Millimeter lange nichttropfende Wachskerze auf einem 13 mm hohen Bernsteinständer. Welche Zahl n erlaubt Amundsen möglichst lange zu baden, wenn die brennende Kerze je Minute um einen Millimeter kürzer wird, das Badewasser eine Dichte von 1000 g/l (Gramm je Liter) hat, das Wachs eine Dichte von 961 g/l und der Bernsteinständer ein Zylinder mit dem Kerzendurchmesser und einer Dichte von 1096 g/l ist? Wie lange wird der Pinguin Amundsen dann baden?

Die Kerze mit Ständer hat während der ganzen Zeit die Form eines dünnen Zylinders und der Docht darf vernachlässigt werden.



Edit: Habe n nach Friedels Beitrag auf eine zweistellige Zahl limitiert und glaube, dass das Rätsel dadurch etwas besser wird.

[Friedel]

??? Da ich die Aufgaben von Otmar kenne, wundere ich mich über diese triviale Aufgabe.

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Wenn die Kerze noch 32 mm lang ist, erreicht ihr oberes Ende den Wasserspiegel und sie erlischt. Amundsen kann also n-32 Minuten lang baden. Je größer n ist, desto länger kann er baden.

Nicht-trivial wird es erst, wenn man auch berücksichtigt, dass die Kerzenflamme auch nicht zu hoch sein darf. Aber da es keine Angabe gibt, wie hoch sie maximal sein darf, lässt sich da nicht viel berechnen. Wenn als Badewanne ein Waschzuber mit z.B. 1 m Wassertiefe verwendet wird, darf die Kerze (mit Ständer) natürlich nicht tiefer als 1 m eintauchen, weil sie ja sonst nicht schwimmt. Bei 13 mm + 32 mm = 45 mm Gesamtlänge taucht das ganze gerade eben vollständig ein. Bleiben also noch 955 mm, die maximal zusätzlich eintauchen dürfen. Dann sind (39 mm / 961 mm) * 955 mm ≈ 38,8 mm über Wasser. Die Kerze dürfte dann also maximal 955 mm + 38,8 mm = 993,2 mm lang sein. Da n eine natürliche Zahl sein sein muss, muss Amundsen dann 993 nennen.

Wenn man die Wassertiefe in der Badewanne beliebig erhöhen kann, wird das ganze natürlich durch die Deckenhöhe begrenzt…

[Otmar]

@Friedel, da noch Spoilersperre ist, gibt es noch keinen Kommentar zu deinem Beitrag. Allerdings hat mich dein Beitrag bewogen, den Text des Rätsels etwas zu ändern.

[Friedel]

OK. Mit dem geänderten Text habe ich eine Grundlage, mit der ich rechnen kann.

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Die Kerze soll möglichst lang sein. Amundsen sollte also "99" nennen, denn das ist die größte ganze zweistellige Zahl. Wenn die Kerze bis auf 32 mm abgebrannt ist, wiegt sie zusammen mit dem Ständer (der eher ein Ballastgewicht ist) so viel, wie ihr Verdrängungsvolumen und sie geht unter. Es können also 67mm Kerze verbrennen. Amundsen kann also 1 Stunde und 7 Minuten baden.

Er sollte dabei möglichst keine Wellen machen, denn die Kerzenflamme ist dabei am Anfang nur etwa 2,7 mm über der Wasseroberfläche. Diese Höhe nimmt pro Minute um etwa 0,04 mm ab, bis die Flamme nach 67 Minuten auf Höhe der Wasseroberfläche ist. Dann erlischt die Kerze.

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Ich bin dabei davon ausgegangen, dass Amundsen sein Gefieder mit Shampoo oder Seife wäscht oder er einen Badezusatz verwendet, der die Oberflächenspannung des Wassers bricht. Sonst kann es wesentlich länger baden, denn durch die Kohäsion des Wassers wird die Kerze noch eine Weile weiter schwimmen, obwohl sie dann schwerer ist, als das von ihr verdrängt Wasser. Jeder kennt die Experimente mit Büroklammern und Rasierklingen, die man vorsichtig auf eine Wasseroberfläche legen kann und die dann nicht untergehen. obwohl ihre Dichte natürlich viel höher als die von Wasser ist. Wie viel länger Amundsen dann allerdings baden kann, lässt sich mit den bekannten Angaben nicht berechnen. Das Phänomen wird z.B. auf http://www.seilnacht.com/waschm/tenside.html schön beschrieben. Ich schätze, dass Amundsen ohne Seife erreichen könnte dass die Kerze ganz verbrennt, denn das leere Ballastgewicht hängt dann nur etwa 1,2 mm unter der Wasseroberfläche. Das hängt aber u.a. stark vom Durchmesser des Gewichts und der Kerze ab. An dieser Stelle sollte Amundsen das Licht aber selbst ausmachen, denn der Bernsteinständer brennt auch. Und dann darf er am nächsten Tag wohl nicht mehr baden...

[Otmar]

@Friedel,
streng genommen, kann ich deiner Lösung nicht widersprechen, aber

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es ist sehr unwahrscheinlich, dass die von Amundsen gewählte Kerze tatsächlich über eine Stunde brennt. Und du hast schon Recht,

Nicht-trivial wird es erst, wenn man auch berücksichtigt, dass die Kerzenflamme auch nicht zu hoch sein darf.

Da Käpt'n Blaubär auch manchmal ein Schlitzohr ist, hat er tief unten in seinem Seemannswissen (er wird sein Kapitänspatent ja nicht im Lotto gewonnen haben) gegraben, um übermäßigen Badezeiten vorbeugen zu können.

Oberflächenspannung und Effekte außerhalb der Mechanik werden zur Lösung nicht benötigt. Deine Annahme, dass im Badewasser etwas Seife ist, die alle Kohäsionskräfte ausschaltet, ist richtig.

[Friedel]

Da Käpt'n Blaubär auch manchmal ein Schlitzohr ist, hat er tief unten in seinem Seemannswissen (er wird sein Kapitänspatent ja nicht im Lotto gewonnen haben) gegraben, um übermäßigen Badezeiten vorbeugen zu können.

Da Amundsen ein Pinguin, der ja normalerweise bekanntlich im Meer lebt, sollte auch ihn nicht unterschätzen. Mit Salzwasser sollte er sich auskennen. Wenn er

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genug Badesalz benutzt, kann er fast die vollen 99 Minuten baden und kann am Anfang wesentlich unbekümmerter planschen, denn die Flamme ist dann deutlich höher über der Wasseroberfläche. Allerdings muss er dabei auf die Salzkonzenration achten. Denn bei etwa 10% Salzlösung (je nach Zusammensetzung des Salzes) ist die Dichte des Wassers so hoch, wie die des Bernsteinsockels. Wenn er diese Konzentration überschreitet, kippt die Kerze um und geht aus.

[Phoenix]

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Die Kerzenhöhe ist in beide Richtungen beschränkt, zu kurze Kerzen gehen unter, zu lange kippen um und treiben an der Oberfläche.
Als Grenzen komme ich auf 32mm und 66,177mm (unter vereinfachenden Annahmen). Amundsen wählt also 66mm und kann ganze 34 Minuten baden.

Wenn die Lösung stimmt, kann ich meine Überlegungen näher erläutern, auch wenn die Rechnung unschön ist.

[Otmar]

@Friedel

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genug Badesalz benutzt, kann er fast die vollen 99 Minuten baden und kann am Anfang wesentlich unbekümmerter planschen, denn die Flamme ist dann deutlich höher über der Wasseroberfläche. Allerdings muss er dabei auf die Salzkonzenration achten. Denn bei etwa 10% Salzlösung (je nach Zusammensetzung des Salzes) ist die Dichte des Wassers so hoch, wie die des Bernsteinsockels.

Da gibt es leider keinen Spielraum, denn die Dichte des Badewassers (inklusive aller Zusätze) ist ja vorgegeben.

Wenn er diese Konzentration überschreitet, kippt die Kerze um und geht aus.

Es ist tatsächlich die Frage, bei welcher Länge die Kerze umkippt. Der Käpt'n würde sagen, sie kentert. Kann das nicht auch passieren, wenn der Bernsteinsockel dichter ist, als das Badewasser?

[Friedel]

Alles klar. Jetzt hab sogar ich kapiert, warum das nicht so trivial ist. Jetzt muss ich "nur" noch ausrechnen, wie lang die Kerze maximal sein darf. Aber heute nicht mehr. (Ich habe eine eigene Definition von "heute". Das jetzige "Heute" endet jedenfalls bald. gn8.)

[Otmar]

@Phoenix, hatte gestern deinen Beitrag gar nicht bemerkt, da er ankam, als ich eine Antwort geschrieben hatte.

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Die Kerzenhöhe ist in beide Richtungen beschränkt, zu kurze Kerzen gehen unter, zu lange kippen um und treiben an der Oberfläche.

Als Grenzen komme ich auf 32mm und 66,177mm (unter vereinfachenden Annahmen).

32mm fürs Untergehen hab ich auch. Bei den 66mm habe ich einen etwas anderen Wert. Wenn du willst, kannst du mal deinen Ansatz beschreiben. Vereinfacht betrachtet habe ich das auch, insbesondere hatte ich angenommen, dass Amundsen auch bei sehr dünnen Kerzen kein Kentern der Kerze befürchten muss. Wenn man es für dicke Kerzen berechnet, wird es viel komplizierter. Wenn die Kerze viel breiter als hoch ist (z.B. ein überdimensionales Teelicht) dann kentert sie gar nicht.

@Friedel,
Viel Spaß, sollte nicht so schwierig sein.