äquatoriale Turmkette

[black]

Der höchste Turm der Welt (Burdsch Chalifa in Dubai) ist ca. 828m hoch.

In 828m Höhe seien Signallichter und Kameras angebracht.
Wie viele dieser Türme müsste man entlang des Äquators mindestens verteilen, damit die Kameras jedes Turmes jeweils die Signallichter seines östlichen und westlichen (entspricht der Kamerarichtung) Nachbars erkennen können?

Dazu nehmen wir mal an, die Erdoberfläche wäre eine perfekte Kugel (u.a. keine Gebirge, keine Gezeiten), deren Umfang 40.000km betrüge, und alle Lichtstrahlen verliefen gradlinig. Auch seien die Signallichter hell genug.

[Hans-Peter]

Hi Black,

mein Ansatz wäre der:

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Dreieck des Pythagoras. Vom Mittelpunkt, A genannt in der Entfernung A-C (das ist der Erdradius) ist die Erdoberfläche.
Da gehen wir tangential nach rechts, bis zum Punkt B.
Die Hypothenuse ist dann B-A. Und die ist der Erdradius + Höhe des Gebäudes.
Den Winkel alpha kriege ich mit dem Sinussatz. 360/2*alpha sind die Intervalle.
Bleibt bei der Teilung ein Rest, erhöhe ich die Anzahl der Intervalle um 1.
Damit verschenke ich zwar was, aber das Licht kommt sicherer hin.
Ich rechne das noch irgendwann aus. Wahrscheinlich ist Kurth wieder mal schneller...

Horridoh, H.-P.

[black]

Hallo Hans-Peter,

dein Ansatz klingt sehr gut (Des genannten Satzes bedarf es m.E. nicht.)
Das Rechnen wäre übrigens schneller gegangen, als Kurth hier lange Tipps zu geben.
Aber so ist schon mal die Begründung klar.

Gruß

black

ps: Dachte mir schon, dass das für dich u.a. keine harte Nuss ist, aber gem. Forenbeschreibung gehört's hier rein.

[Hans-Peter]

Hallo Black,

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hatte ich früher mal. Mit der Höhe von Antennenmasten.
Habs mal überschlagen. Das Licht von neinem Turm zum anderen kann man (Rechenschiebergenauigkeit) noch so in 204 km sehen.
Das wären ca 196 Türme. Aber bei den gigantomanen Kosten eines Turms sollte man das eigentlich noch mal genauer rechnen.

Horridoh, H.-P.

[black]

Rechenschieber? Mit welchem Gerät postest du denn hier? Frag besser dieses mal.
(Lt. meiner Rechung wird's deutlich billiger.) [Vertan s.u.]

[Hans-Peter]

Hi Black,
na ja, mit

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phi = 4 * ATN(1)
b = 20000 / phi REM Das is der Radius
c = b + 0.828 REM die Hypothenuse
b2 = b * b REM Radius zum Quadrat
c2 = c * c REM Hypothenuse zum Quadrat
a2 = c2 - b2 REM Quadrat der Gegenkathete
a = SQR(a2) * 2 Doppelte Gegenkathete

kriegt man die Luftlinie zwischen 2 Türmen. Das sind so 205 km. Schätz ich mal. Oder hab ich da nen Gedankenfehler?
Den Kreisbogenabschnitt auf der Erde habe ich halt noch nicht.

Horridoh, H.-P.

[black]

Gleiche Rechnung wie du aber vollkommen anderes Ergbnis.

Erst:
Dann:

Hab versehentlich mit 4*10^6 statt 4*10^7 gerechnet & .


Deine Turmzahl stimmt schon fast.

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(Die ca. 205km auch.)

[Hans-Peter]

Hi Black,

als Ingenieur rechne ich halt mit dem Schätzknüppel 4:2 aus und bekomme sowas wie 1,99.
Dann behaupte ich, das Ergebnis ist 2.
Merkt kein Mensch.

Zu dem Problem. Diesmal genau:

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phi = 4 * ATN(1)
b = 20000 / phi          
c = b + 0.828 
b2 = b * b
c2 = c * c
a2 = c2 - b2
a = SQR(a2)                                 REM   das ist die halbe Luftlinie zwischen 2 Türmen.
                                          REM   Der Tangens ist Gegenkathete / Ankathete, 
                                          REM   draus den Arkus, Umwandeln in Grad, 
                                          REM   dann 180 durch das Ganze gibt die Anzahl der Intervalle. Also:
intervalle = phi / ATN(a/b) 
                                              REM  Und das ist rund 194,75

So ein Intervall hat immer ein Ende. Aber, für das Erste brauche ich auch nen Turm als Anfang.
Fazit: Wenn ich auf 195 aufrunde, ist das Ende vom letzten Intervall gleichzeitig der Anfang vom ersten. Das passt schon.
Mit 195 Türmen komm ich aus.

Horridoh, H.-P.

[black]

Ingenieur und nicht pi = 3 ?

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Auf diese Turmanzahl kam ich auch. Also werte ich sie mal als richtig.

Vor der o.g. Umfangkorrektur kam ich auf 62, was ich natürlich viel erstaunlicher fand.

[Hans-Peter]

Hi Black,

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mit 4*10^6, in meine Rechnung eingesetzt, komme ich auch auf 61,63 Intervalle, d.h. 62 Türme.
Mit dem (um eine Zehnerpotenz anderem) Radius b=4*10^6/2* phi. Und 2 rausgekurzt: b=2000/phi.

Übrigens, phi = irgendwas. Aber was??? Ich lass das immer ausrechnen. Mit dem Tangens z.B.
Tangens = Gegenkathete zu Ankathete. Bei 45° ist das 1 . ArkusTangens nehmen und dann das ganze 4 mal, weil ichs ja für 180° brauche.
Wird schon stimmen.

Horridoh, H.-P.