Übung zum Höhensatz Rätsel ist gelöst

Rätsel, die zum Lösen einen größeren Zeitaufwand erfordern, wie z. B. schwierige Physik- und Matherätsel.

Übung zum Höhensatz

Beitragvon Otmar » Sonntag 5. November 2017, 23:37

Im rechtwinkligen Dreieck ABC teilt der Höhenfußpunkt der Höhe h die Hypotenuse in zwei Abschnitte p und q.
Dreieck.png
Skizze ist nicht maßstabsgerecht!
Dreieck.png (4.82 KiB) 89-mal betrachtet

D.h. es gilt der Höhensatz h²=p*q. Weiterhin soll noch gelten q-p=h+5. In einer Hausaufgabe war h zu bestimmen, unter der Vorgabe, dass h, p und q natürliche Zahlen sind. Anton hatte eine größere Höhe h berechnet als Berta. Beide Lösungen hatten die Besonderheit, dass die letzte Ziffer von h mit der Stellenzahl von h übereinstimmte.

Welche Höhe stand auf Antons Lösung und welche Höhe hatte Berta gefunden?
:spass:
PS: Alle Berechnungen wurden im Dezimalsystem gemacht. Anton und Berta hatten nur einen Taschenrechner benutzt.
Spoilersperre ist festgelegt - Spoiler sind geöffnet
Start: Sonntag 5. November 2017, 23:37
Ende: Mittwoch 8. November 2017, 23:37
Aktuell: Dienstag 21. November 2017, 13:03
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Re: Übung zum Höhensatz

Beitragvon Neuling » Mittwoch 8. November 2017, 16:56

Eine Lösung habe ich noch nicht. Ich vermute, dass
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die Höhe auf die Ziffer 5 endet und damit 5-stellig sein muss.
p und q müssten ebenfalls auf 5 enden.
Die beiden letzten Stellen der Höhe können nicht 05, 25, 45, 65, 85 sein.
Erst mal hören, ob von meinen Vermutungen überhaupt etwas richtig ist.
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Re: Übung zum Höhensatz

Beitragvon Otmar » Mittwoch 8. November 2017, 22:11

@Neuling:
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Neuling hat geschrieben:Ich vermute, dass die Höhe auf die Ziffer 5 endet und damit 5-stellig sein muss.
p und q müssten ebenfalls auf 5 enden.
Die beiden letzten Stellen der Höhe können nicht 05, 25, 45, 65, 85 sein.

Die dritte Vermutung trifft auf beide gesuchten Höhen zu, die ersten beiden Vermutungen treffen auf eine der gesuchten Höhen zu, die andere Lösung endet nicht auf 5.
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Übung zum Höhensatz

Beitragvon Neuling » Donnerstag 9. November 2017, 21:04

Hallo Otmar!
Ich steige an dieser Stelle aus. Was ich noch herausgefunden habe, sofern ich keine Denk- oder Rechenfehler gemacht habe, ist:

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Die Höhen können nicht 2, 3 und 4 stellig sein.
Bei den 5-stelligen konnte ich noch die "Endungen" 15 und 55 ausschließen.

Noch im Rennen für eine 5-stellige Höhe sind:
h = abc35 mit Endungen 45 und 05, bzw. 95 und 55 für q und p (und c darf nicht ungerade sein!)
h = abc75 mit Endungen 105 und 25, bzw. 155 und 75, bzw. 175 und 95 für q und p
h = abc95 mit Endungen 05 und 05, bzw. 45 und 45, bzw. 55 und 55, bzw. 95 und 95 für q und p

Alle diese Werte erfüllen noch die Bedingungen der Aufgabe - allerdings nur in den letzten 2 bzw. 3 Stellen.
Beispiel:
h = abc35, h² = ...225, q*p = 45*05 = 225, q*p = 95*55 = .225,
h + 5 = abc40; q - p = 45 - 5 = 40, q - p = 95 - 55 = 40

Meine Sucherei ist sehr zeitintensiv. Die Veränderung einer Ziffer in der Höhe zieht immer jeweils 10 Überprüfungen für q und p nach sich. Ob ich so überhaupt zum Ziel käme, weiß ich nicht.
LG Neuling


PS: Wenn die Bedingung q - p = h - 5 wäre, hätte ich sofort eine Lösung:
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h = 12, q = 16, p = 9
h² = 144, q*p = 16*9 = 144
q - p = 16 - 9 = 7
h - 5 = 12 - 5 = 7
Neuling
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Re: Übung zum Höhensatz

Beitragvon Otmar » Donnerstag 9. November 2017, 22:00

@Neuling
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Alle deine Überlegungen bezügliche der Lösung mit letzter Ziffer = 5 sind richtig. :zustimm: Ich gebe zu, dass man Tricks braucht, um die Lösungen effizient zu finden. Ganz grob kann man mit Überlegungen zu gemeinsamen Teilern die Lösungsmenge reduzieren und dann baucht man eine Art induktiver Überlegung, um Gruppen von Lösungen zu finden. Das ist natürlich kein Hexenwerk und braucht keine höhere Mathematik, aber sicher etwas Übung. Interessant ist, dass deine zweite Überlegung zu q-p=h-5 äußerst zielführen ist. Mathematisches Bauchgefühl?

Und ganz am Ende sag ich noch, dass die Idee zu diesem Rätsel eigentlich von dir kommt. Beim Auflösen werde ich deinen Lösungsbeitrag (zu einem anderen Rätsel), der mich zu diesem Rätsel inspiriert hat, angeben.
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Übung zum Höhensatz

Beitragvon Neuling » Freitag 10. November 2017, 21:25

Es hat mir keine Ruhe gelassen:

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24475² = 39605 * 15125
39605 - 15125 = 24475 + 5


Nach diesem Fund beende ich jetzt aber wirklich meine Suche. Habe nämlich schon viel zu viel Zeit investiert.
Ich könnte jetzt auch noch nicht beantworten, ob es weitere 5-stellige Lösungen gäbe, denn ich war noch lange nicht durch mit meinen Überprüfungen.
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Re: Übung zum Höhensatz

Beitragvon Otmar » Samstag 11. November 2017, 09:45

@Neuling! :super: Damit wäre eine der beiden Lösungen gefunden!
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Und zwar ist es die von Berta. Die andere ist noch viel größer.
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Übung zum Höhensatz

Beitragvon MadMac » Dienstag 14. November 2017, 10:59

Hallo,

es muss nach einsetzten und ein bisschen Umformen ...

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h = p/2 + w(5*p*(p+4)) / 2 sein.

Abgesehen von möglichen Primfaktoren 2 müssen p und p+4 teilerfremd sein. Damit muss

p = x^2 und p+4 = 5*y^2
oder
p = 2*x^2 und p+4 = 10*y^2
oder
p = 5*x^2 und p+4 = y^2
oder
p = 10*x^2 und p+4 = 2*y^2

Da bleibt eine überschaubare Anzahl Ergebnisse übrig, die Lösungen sind

88555 und 33825


Gruß,
MadMac
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Re: Übung zum Höhensatz

Beitragvon MadMac » Dienstag 14. November 2017, 11:09

ahhh .... mal wieder nicht zu Ende gerechnet.

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20633238 und 24475

Man kann grüppchenweise die letzten Stellen der in Frage kommenden p ausschließen, aber so richtig "einfach" ist das noch nicht. Da hilft schon eine mächtigere Rechen- und Notizhilfe, die einem das ständige Tippen spart.

Aus einem x^2 folgen immerhin eine handvoll mögliche Lösungskandidaten.
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Re: Übung zum Höhensatz

Beitragvon Otmar » Dienstag 14. November 2017, 20:46

Und damit wäre das Rätsel gelöst! :gutgemacht: :glueckwunsch: :respekt: an MadMac und Neuling.

Dieses Rätsel war ein Versuch der "Trägen Masse" die physikalische Einstiegs- und Interpretationshürde zu nehmen. Deshalb sind meine Lösungen zu beiden Rätseln sehr ähnlich:

Mehr ->
Es sei t=ggT(p,q) der größte gemeinsame Teiler von p und q. Dann ist mit p=t*a und q=t*b

h²=t² * a * b

und eine Primfaktorzerlegung beider Seiten zeigt, dass a und b Quadratzahlen seine müssen, weil a und b teilerfremd sind und auf beiden Seiten der Gleichung alle Primfaktoren in gerader Anzahl auftreten. Somit wären dann p=t*x², q=t*y² und h=t*x*y.

Setzt man das in q-p=h+5 ein und formt um, dann erhält man y²-x²-xy=5/t. D.h. für t gibt es nur zwei Möglichkeiten: t=1 oder t=5. Mit d=5/t geht es weiter:

d=y²-x²-xy=y(y-x)-x²

Hier kommt der Kniff: Offenbar ist y > x und deshalb y-x kleiner als y und größer als 0. Es entsteht eine Gleichung mit kleineren Zahlen, wenn man y=r+x einsetzt:

d=(r+x)r-x²=r²+rx-x² oder
-d=x²-r²-rx

Die Struktur der Gleichung bleibt gleich nur d hat das Vorzeichen getauscht, r steht anstelle von x und x dort wo vorher y war. Eventuell geht das auch öfter. Dazu drei Zahlenfolgen Y, X und D:

Y(0)=y, X(0)=x, D(0)=d

Y(k+1)=X(k)
X(k+1)=Y(k)-X(k)
D(k+1)=-D(k)

Solange Y(k) > X(k) > 0 ist, wird Y(k) mit jedem Schritt kleiner, bleibt aber größer als 0 und auch X(k) bleibt größer als 0. Das kann nicht ewig so weiter gehen, da Y(0) ja endlich war. Bei einem Schritt k=n wird erstmalig Y(n)<=X(n) sein. Dort wird das Zahlenfinden einfach. Es sei Y(n)=u und X(n)=u+v mit u>0 und v>=0. Dann ist:

D(n)=Y(n)²-X(n)²-X(n)Y(n)=u²-(u+v)²-u(u+v)=-(u+v)²-uv

D(n) ist also negativ. Also ist D(n)=-d und

d=(u+v)²+uv.

Hier kann man mühelos für beide Werte von d alle Möglichkeiten für u und v ablesen (u>0, v>=0 nicht vergessen):
d=1 ---> u=1 und v=0
d=5 ---> u=1 und v=1
Von diesen beiden Lösungen muss nur noch rückwärts gerechnet werden mit X(k-1)=Y(k) und X(k-2)=X(k-1)+X(k), bis die "Besonderheit" mit der letzten Ziffer passt:

Erster Fall d=1 (t=5):

Es ist X(n)=Y(n)=1

X(n) = 1
X(n-1)=Y(n) = 1
X(n-2)=Y(n-1) = 2
X(n-3)=Y(n-2) = 3
X(n-4)=Y(n-3) = 5

Es ergibt sich die Fibonacci Folge:
1; 1, 2; 3, 5; 8, 13; 21, 34; 55, 89; ....

Dort habe ich die Paare für d=1 mit ; getrennt.

Beispiel: x=1, y=2 liefert mit t=5:
h=5 * (1 * 2) = 10
p=5 * 1² = 5
q=5 * 2² = 20
Probe: h²=100=5*20=p*q und q-p=20-5=15=h+5
alles passt, nur die Stellenbedingung nicht. Dazu nimmt man ein Paar mit zwei ungeraden Zahlen für Endziffer 5 für die Höhe. Das sind von oben die Paare 3 und 5 oder 55 und 89 und hofft, dass h fünfstellig wird, was bei x=55 und y=89 der Fall ist:
h=5*55*89=24475, p=5*55² und q=5*89²
Das ist schon eine der Lösungen. Da nur jedes dritte Paar für d=1 aus der Fibinacci Folge zwei ungerade Glieder hat, liefern spätere Paare, die für h die Einerstelle 5 haben, Lösungen mit mehr als 5 Stellen. Das nächste h mit Endziffer 5 ist h = 5 * 987 * 1597 ist schon siebenstellig.

Zweiter Fall d=5 (t=1):

Es ist X(n)=2 und Y(n)=1

X(n) = 2
X(n-1)=Y(n) = 1
X(n-2)=Y(n-1) = 3
X(n-3)=Y(n-2) = 4
X(n-4)=Y(n-3) = 7

Es ergibt sich die Lucas Folge nach der gleichen Vorschrift, wie die Fibonacci Folge mit Startwerten 2 und 1:
2; 1, 3; 4, 7; 11, 18; 29, 47; 76, 123; 199, 322; 521, 843; 1364, 2207; 3571, 5778; ....
ab 322 wiederholt sich die Folge der letzten Ziffern. D.h. für die letzten Ziffern h = t X(k)*Y(k) = X(k)*Y(k) geht nur eine der letzten Ziffern von:
1*3 ---> 3
4*7 ---> 8
11*18 ---> 8
29*47 ---> 3
76*213 ---> 8
199*322 ---> 8

Dreistellig passt nicht, da h=1*3 einstellig und ab h=29*47=1363 h mindestens vierstellig ist. Also bleibt als Endziffer nur noch die 8 übrig.
h = 1364 * 2207 ist erst siebenstellig (Überschlag reicht)
h = 3571 * 5778 = 20633238 ist achtstellig und Antons Lösung mit p=3571² und q=5778²
Das nächste Paar hat für h die Endziffer 3 und weitere Paare liefern für h Zahlen mit mehr als 8 Stellen.

Damit ist die Lösung eindeutig:

Anton: h=20633238
Berta: h=24475


Ich kam auf die Idee, als ich mit Kugeln für die träge Masse experimentierte und dann eine Gleichung hatte, die zur von Neuling kommentierten angedachten zweiten Lösung der Zahlenreihe 85 passte. Danke an Neuling und gp3050!
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