Es sei t=ggT(p,q) der größte gemeinsame Teiler von p und q. Dann ist mit p=t*a und q=t*b
h²=t² * a * b
und eine Primfaktorzerlegung beider Seiten zeigt, dass a und b Quadratzahlen seine müssen, weil a und b teilerfremd sind und auf beiden Seiten der Gleichung alle Primfaktoren in gerader Anzahl auftreten. Somit wären dann p=t*x², q=t*y² und h=t*x*y.
Setzt man das in q-p=h+5 ein und formt um, dann erhält man y²-x²-xy=5/t. D.h. für t gibt es nur zwei Möglichkeiten: t=1 oder t=5. Mit d=5/t geht es weiter:
d=y²-x²-xy=y(y-x)-x²
Hier kommt der Kniff: Offenbar ist y > x und deshalb y-x kleiner als y und größer als 0. Es entsteht eine Gleichung mit kleineren Zahlen, wenn man y=r+x einsetzt:
d=(r+x)r-x²=r²+rx-x² oder
-d=x²-r²-rx
Die Struktur der Gleichung bleibt gleich nur d hat das Vorzeichen getauscht, r steht anstelle von x und x dort wo vorher y war. Eventuell geht das auch öfter. Dazu drei Zahlenfolgen Y, X und D:
Y(0)=y, X(0)=x, D(0)=d
Y(k+1)=X(k)
X(k+1)=Y(k)-X(k)
D(k+1)=-D(k)
Solange Y(k) > X(k) > 0 ist, wird Y(k) mit jedem Schritt kleiner, bleibt aber größer als 0 und auch X(k) bleibt größer als 0. Das kann nicht ewig so weiter gehen, da Y(0) ja endlich war. Bei einem Schritt k=n wird erstmalig Y(n)<=X(n) sein. Dort wird das Zahlenfinden einfach. Es sei Y(n)=u und X(n)=u+v mit u>0 und v>=0. Dann ist:
D(n)=Y(n)²-X(n)²-X(n)Y(n)=u²-(u+v)²-u(u+v)=-(u+v)²-uv
D(n) ist also negativ. Also ist D(n)=-d und
d=(u+v)²+uv.
Hier kann man mühelos für beide Werte von d alle Möglichkeiten für u und v ablesen (u>0, v>=0 nicht vergessen):
d=1 ---> u=1 und v=0
d=5 ---> u=1 und v=1
Von diesen beiden Lösungen muss nur noch rückwärts gerechnet werden mit X(k-1)=Y(k) und X(k-2)=X(k-1)+X(k), bis die "Besonderheit" mit der letzten Ziffer passt:
Erster Fall d=1 (t=5):
Es ist X(n)=Y(n)=1
X(n) = 1
X(n-1)=Y(n) = 1
X(n-2)=Y(n-1) = 2
X(n-3)=Y(n-2) = 3
X(n-4)=Y(n-3) = 5
Es ergibt sich die Fibonacci Folge:
1; 1, 2; 3, 5; 8, 13; 21, 34; 55, 89; ....
Dort habe ich die Paare für d=1 mit ; getrennt.
Beispiel: x=1, y=2 liefert mit t=5:
h=5 * (1 * 2) = 10
p=5 * 1² = 5
q=5 * 2² = 20
Probe: h²=100=5*20=p*q und q-p=20-5=15=h+5
alles passt, nur die Stellenbedingung nicht. Dazu nimmt man ein Paar mit zwei ungeraden Zahlen für Endziffer 5 für die Höhe. Das sind von oben die Paare 3 und 5 oder 55 und 89 und hofft, dass h fünfstellig wird, was bei x=55 und y=89 der Fall ist:
h=5*55*89=24475, p=5*55² und q=5*89²
Das ist schon eine der Lösungen. Da nur jedes dritte Paar für d=1 aus der Fibinacci Folge zwei ungerade Glieder hat, liefern spätere Paare, die für h die Einerstelle 5 haben, Lösungen mit mehr als 5 Stellen. Das nächste h mit Endziffer 5 ist h = 5 * 987 * 1597 ist schon siebenstellig.
Zweiter Fall d=5 (t=1):
Es ist X(n)=2 und Y(n)=1
X(n) = 2
X(n-1)=Y(n) = 1
X(n-2)=Y(n-1) = 3
X(n-3)=Y(n-2) = 4
X(n-4)=Y(n-3) = 7
Es ergibt sich die Lucas Folge nach der gleichen Vorschrift, wie die Fibonacci Folge mit Startwerten 2 und 1:
2; 1, 3; 4, 7; 11, 18; 29, 47; 76, 123; 199, 322; 521, 843; 1364, 2207; 3571, 5778; ....
ab 322 wiederholt sich die Folge der letzten Ziffern. D.h. für die letzten Ziffern h = t X(k)*Y(k) = X(k)*Y(k) geht nur eine der letzten Ziffern von:
1*3 ---> 3
4*7 ---> 8
11*18 ---> 8
29*47 ---> 3
76*213 ---> 8
199*322 ---> 8
Dreistellig passt nicht, da h=1*3 einstellig und ab h=29*47=1363 h mindestens vierstellig ist. Also bleibt als Endziffer nur noch die 8 übrig.
h = 1364 * 2207 ist erst siebenstellig (Überschlag reicht)
h = 3571 * 5778 = 20633238 ist achtstellig und Antons Lösung mit p=3571² und q=5778²
Das nächste Paar hat für h die Endziffer 3 und weitere Paare liefern für h Zahlen mit mehr als 8 Stellen.
Damit ist die Lösung eindeutig:
Anton: h=20633238
Berta: h=24475