Kugelspiel

[Otmar]

Bei einem Kugelspiel verwenden Anton und Berta zwei schwarze und drei weiße Kugeln. Anfangs werden die fünf Kugeln zufällig einer Urne entnommen und in das Spielgerät geworfen. Wenn jetzt schon eine Gewinnstellung erreicht ist, dann ist der Gewinner bekannt und das Spiel beendet. Ansonsten wird die mittlere Kugel dem Gerät entnommen, so dass die äußeren Kugeln ohne Vertauschung ihrer Reihenfolge in die Lücke rollen. Die entnommene Kugel wird oben eingeworfen und fällt per Zufall mit 50 prozentiger Wahrscheinlichkeit an die rechte bzw. linke Außenseite der Auffangschale:

Kugelspiel.png (9.04 KiB) 2264-mal betrachtet

Ergänzung: Das wird nun so oft wiederholt, bis ein Gewinner feststeht.

Jeder der beiden Spieler legt vor Spielbeginn einen Einsatz in Euro und Cent in die Kasse. Der Gewinner darf dann das ganze Geld behalten. Wie groß muss Antons und wie groß muss Bertas Einsatz wenigstens sein, damit das Spiel fair ist
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Zur Lösung reicht Zettel und Stift.
Falls ihr die Grafik nicht ganz seht, bitte mal reinklicken. Dort sind auch die Gewinnstellungen eingetragen.

[Neuling]

Ein paar erste Gedanken dazu:

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Schwarze Kugeln = 1
Weiße Kugeln = 2

Dann gibt es zunächst 10 Möglichkeiten (A bis J) Kugeln aus der Urne zu ziehen.
A) 11222, B) 12122, C) 12212, D) 12221, E) 21122
F) 21212, G) 21221, H) 22112, I) 22121, J) 22211

Beim Einwerfen von 5 unterschiedlich farbigen Kugeln in die Box wären 16 verschiedene Ergebnisse möglich.
Sind es zu Beginn 2 oder gar 3 gleichfarbige Kugeln, sind weniger verschiedene Ergebnisse möglich.

In der folgenden Tabelle habe ich mal die Ergebnisse gelistet, die beim Einwerfen von 5 Kugeln (2x schwarz = 1,
3x weiß = 2) entstehen können.
Zeilenweise zu lesen:
Werfe ich - Zeile A - nacheinander 11222 in die Box, könnten nur die Kombinationen A, E, H und J entstehen und zwar A und J je einmal, E und H je dreimal.
usw.

Kugelspiel Abb. 1.gif (12.23 KiB) 2206-mal betrachtet

Würde das Spiel nach jedem Einwerfen von 5 Kugeln beendet, so hätte Berta (F) eine doppelt so hohe Gewinnchance ???
Bin mir nicht sicher, ob ich bis hierhin nicht schon einen Gedankenfehler drin habe.

Betrachtet man jetzt nur die Möglichkeiten ohne D und F, also die Varianten, bei denen gespielt werden muss, um einen Gewinner zu finden, hat Anton (D) die besseren Chancen. Aber wie genau das Gewinnverhältnis ist, .... habe ich noch nicht herausgefunden.

[Otmar]

@Neuling, habe noch ergänzt, dass die Rückführung der mittleren Kugel so lange wiederholt wird, bis ein Gewinner feststeht.

[Neuling]

Hallo Otmar!

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Es wird wohl nur bei einem Ansatz bleiben, da ich nicht weiß, ob dieser Weg überhaupt zu einem brauchbaren Ergebnis führt.
Ich würde für sämtliche Ausgangspositionen A bis J (D und F ausgeschlossen) eine Tabelle erstellen, wie ich sie unten mal für A erstellt habe. Daraus kann ich die jeweiligen Gewinnchancen für Anton (D) und Berta (F) errechnen. Diese müsste ich dann noch mit der entsprechenden "Häufigkeit" multiplizieren, um zu einem Ergebnis zu kommen. Die Häufigkeiten der möglichen Ausgangspositionen sind aus meiner obigen Tabelle ersichtlich. (z.B. für A wäre es der Faktor 10/124)

Für jede Ausgangsposition existieren nach einer Rückführung 2 neue Ausgangspositionen:
A ---> (E, A), B ---> (A, D), C ---> (F, B), E ---> (B, G),
G ---> (I, F), H ---> (C, I), I ---> (D, J), J ---> (J, H)

Tabelle für Ausgangsposition A:
Nach jeder "Rückführung" halbiert sich die Wahrscheinlichkeit - Werte rechts in der Tabelle.
Beim ersten Schritt kann aus A zu je 50% E oder wieder A entstehen.
Im nächsten Schritt: A zu E und A, E zu B und G (A, E, B und G mit je 25% Wahrscheinlichkeit)
usw.
Die Tabelle müsste man eigentlich immer weiter führen, ... daher sind Berechnungen daraus mit einem Fehler behaftet!

Kugelspiel Abb. 2.gif (17.25 KiB) 2204-mal betrachtet

Für D ergibt sich:
1x12,5 + 2x6,25 + 2x3,125 + 3x1,563 + 6x0,781 + 10x0,391 + 15x0,195 + 24x0,098 + ... = 49,812

Für F ergibt sich:
1x12,5 + 1x6,25 + 1x3,125 + 2x1,563 + 4x0,781 + 6x0,391 + 9x0,195 + 15x0,098 + ... = 33,696

Was mich gerade stutzig macht, in der Summe bin ich erst bei 83,781%, d.h. für 16,219% der Spielausgänge (Bei Beginn mit A) kenne ich den Gewinner noch nicht. Ich wäre fast geneigt, diese 16,219% im Verhältnis 49,8 zu 33,7 dem D bzw. dem F zuzurechnen.

Aber vielleicht bin ich ja sowieso auf dem Holzweg, daher breche ich an dieser Stelle ergebnislos ab.

[Neuling]

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Ich glaube, meine erste Überlegung war schon falsch. Es sind zwar bei 2 oder 3 gleichfarbigen Kugeln weniger unterschiedliche Endergebnisse möglich, aber in der Summe muss ich die Anzahl der gleichfarbigen Ergebnisse entsprechend berücksichtigen.

Kugelspiel Abb. 1 neu.gif (12.64 KiB) 2202-mal betrachtet

Und damit muss ich auch die 1. Aussage korrigieren:
Anton und Berta haben beim Einwerfen der Kugeln die gleiche Gewinnchance, dass da bereits ihr Gewinncode erscheint.

[Otmar]

@Neuling,
viele gute Ideen.

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Die gleichen Wahrscheinlichkeiten für die Muster nach den ersten fünf Würfen kann ich bestätigen. Hab dazu jetzt auch etwas in meine Musterlösung geschrieben. Wie du selbst schon gesagt hast, führt dein Ansatz erstmal auf eine Näherung. Die ist tatsächlich weniger geeignet, um die genauen Geldeinsätze zu bestimmen.

Es gibt eine sehr einfache Lösung, bei der die gesuchten Wahrscheinlichkeiten ohne Näherung direkt berechnet werden können. Aber man kann auch, wesentlich schwieriger, dein Verfahren modifizieren und die Summenformel einer geometrischen Reihe zur exakten Berechnung der Wahrscheinlichkeit verwenden. Aber das ist m.E. nicht so elegant und vor allem nicht leicht.

Für deine Beiträge

[Neuling]

Jeder der beiden Spieler legt vor Spielbeginn einen Einsatz in Euro und Cent in die Kasse. Der Gewinner darf dann das ganze Geld behalten. Wie groß muss Antons und wie groß muss Bertas Einsatz wenigstens sein, damit das Spiel fair ist

Warum "wenigstens" steht, verstehe ich nicht ganz.

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Berta 1 Euro und Anton 1 Euro 62 Cent (bzw. Beträge in diesem Verhältnis) wären fair.

[Otmar]

@Neuling,

das steht da nur, um eine eindeutige Lösung zu erhalten, da ja alle ganzzahligen Vielfachen irgendeines faieren Einsatzes auch fair sind.

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Also in deinem Beispiel wäre noch durch 2 zu kürzen und Anton müsste 81 Cent und Berta 50 Cent legen. Aber das ist nicht die Lösung, obwohl die Tendenz stimmt. Anton muss mehr einzahlen als Berta.

[Neuling]

Neue Berechnung:

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Anton 77 Cent, Berta 50 Cent

[Otmar]

Du kommst der Lösung näher.

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Anton zahlt im Vergleich zu Berta noch ein bischen zu viel ein. Dein genannter Betrag für Berta ist der Gesamtbetrag je Spiel in der Kasse. Weiss nicht, ob dir das was hilft.