Große Quadratzahl ohne 0

[Otmar]

Gesucht ist eine Quadratzahl a². a² hat mindestens 100 Dezimalziffern, aber die Ziffer 0 kommt nicht vor.

Geht mit Zettel und Stift. In der Lösung sollte auch a angegeben werden und eine kurze Erklärung, wie du ohne Computerhilfe zur Lösung gekommen bist. Eine Probe jeglicher Art ist natürlich erlaubt und auch erwünscht. Z.B. mit https://www.wolframalpha.com.

Viel Spass beim Suchen!

[Otmar]

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Es gibt verschiedene Möglichkeiten, zu einer geeigneten Zahl a nach einem bestimmten Schema Dezimalstellen hinzuzufügen, so dass a² keine Nullen enthält. So kann man sogar sehr einfach Quadrate mit beliebiger Stellenzahl finden, die die Dezimalziffer 0 nicht enthalten. Solche Zahlen könnte man auch durch Probieren mit dem Taschenrechner entdecken.

[MadMac]

Ob das ganz ohne Probieren geht, weiß ich nicht. Drum habe ich ...

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mir die binomische Formel angesehen, und Versucht, den Aufwand für die PROBE beim Probieren so weit wie möglich zu verringern.

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Meine Überlegung:
Wenn
10^x * b = 2 * a
mit x so dass 10^x > b > 10^(x-1)
dann generiere ich unabhängige, lückenlose Ziffernfolgen
a^2, b^2, b^2
oder
a^2, 4a^2, 4a^2

Wenn hier keine 0 vorkommt, hab ich schon mal ein wenig Glück gehabt, und die Stellenzahl von a^2 habe ich verdreifacht. Da ich natürlich immer noch nicht mit 34stelligen Zahlen rechnen will, nehme ich das Ergebnis, und schaue ob bei Multiplikation mit 4 (Division käme auch in Frage) AUCH keine 0 vorkommt. Schwupp, Stellenzahl verneunfacht. Wenn ich drei Stufen rechne, komme ich mit sehr kleinen Zahlen aus und hab sehr einfache Rechnungen vor mir, und habe sogar implizit nachgewiesen, dass ich eine Quadratzahl generiert habe.

Der erste Versuch war gleich ein Treffer:
a = 111
usw.
11100222000000022200444000000000000000000000022200444000000044400888^2 =
12321 49284 49284 49285 97137 97136 49285 97137 97136
49284 97137 97137 97143 88551 88545 97143 88549 88544
49284 97137 97137 97143 88551 88545 97143 88549 88544

Gruß,
MadMac

[Otmar]

Sehr schöner Gedanke. am MadMac.

Und

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das Prinzip funktioniert auch deshalb so gut, weil sich die * 4 genommenen Zwischenergebnisse, bis auf wenige Überlappungen aus Addition von nach links verschobenen Quadraten von 111, 222, 444 und 888, die alle ohne 0 sind, ergeben. Sonst wäre es schon ein sehr großes Glück, dass eine mit vier multiplizierte 45 stellige Zahl keine Nullen enthält.

@MadMac

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Bei deinem letzten Schritt ist bei der Vervierfachung ein kleiner Rechenfehler passiert. D.h. du hast wirklich im Kopf gerechnet! Oder wolltest du mich auf die Probe stellen ?

123214928449284492859713797136492859713797136 * 4 =
492859713797137971438855188545971438855188544

und damit ist deine Quadratzahl

12321 49284 49284 49285 97137 97136 49285 97137 97136
49285 97137 97137 97143 88551 88545 97143 88551 88544
49285 97137 97137 97143 88551 88545 97143 88551 88544

Einen kleinen Stolperstein für alle, die die Lösung lesen, würde ich noch rausnehmen:

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Anfangs hat a noch x Nullen, später sind die Nullen weggedacht.
Es ist ganz sicher so gemeint:

(a'+b)^2 = a'^2 + 2a'b + b^2

Meine Überlegung:
Wenn
a' = 10^x * a und 10^x * b = 2 * a'
....

dann passt auch der Rest, weil dort a keine angehängten Nullen mehr hat.

Meine erste Lösung hatte

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eine anfängliche 25 stellige Quadratzahl durch zwei folgende Umformungen in der Länge verdoppelt.

Die im Tipp angesprochene Lösung ist aber völlig anders:

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MacMad hat ja mit der Schnapszahl 111 gestartet. Probiert man andere Schnapszahlen, findet man bei denen mit Ziffer 3 oder Ziffer 6 Regelmäßigkeiten beim Quadrieren. Der einfachste Fall für das Rätsel sind Quadrate von Schnapszahlen mit der Ziffer 6:

6²=36
66²=4356
666²=443556
6666²=44435556
.
.
.
Dass das so weitere geht, kann man explizit oder rekursiv relativ leicht zeigen. z.B. so:

s = 666..666 sei ein Schnapszahl mit n Sechsen.
s' = 10*s + 6 = 6*10^n + s ist die nächste Schnapszahl mit n+1 Sechsen
s'² = (10*s + 6) * (6*10^n + s) = 10 * s² + 10 * 10^n * 6 * s + 6 * 6 * 10^n + 6 * s
= 10 * s² + 36 (10 * 10^n * s/6 + 10^n + s/6)

Nun ist s/6 eine Schnapszahl aus n Einsen und deshalb
10 * 10^n * s/6 + 10^n + s/6 eine Schnapszahl aus n + 1 + n Einsen.
Die kann man durch ein Schnapszahl aus 2n+1 Neunen 10^(2n+1)-1 = 99...999 so schreiben:
10 * 10^n * s/6 + 10^n + s/6 = (10^(2n+1) - 1) / 9
-->
s'² = 10 * s² + 36 * (10^(2n+1) - 1) / 9
= 10 * s² + 4 * (10^(2n+1) - 1)
= 4 * 10^(2n+1) + 10 * (s²-1) + 6
Und damit haben wir den Rekursionsschritt: Beim Anhängen einer 6 an s wird s² um 1 vermindert, hinten eine 6 und vorn eine 4 angehängt.

Ganz allgemein geht so was für beliebige Schnapszahlen s mit Ziffer 3 oder 6 denen vorn und/oder hinten irgendwelche konstante Ziffernböcke angefügt sind. Durch Vergrößern von s werden ab einer bestimmten Länge von s in der rechten und linken Hälfte der Quadrate konstante Ziffern eingefügt (links eine der Ziffern 1, 4 oder 7 und rechts eine 2, 5 oder 8. Welche Ziffer das jeweils ist, hängt von den konstanten Ziffernblöcken ab.) Der Beweis geht ähnlich, ist aber aufwendiger.

[Otmar]

Irgendwie ging das editiern nicht, also noch eine kleine Korrektur:

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mit x so dass 10^x > b > 10^(x-1)

müsste heißen:
mit x so dass 10^x > b² > 10^(x-1)

[MadMac]

Hallo,

ich habe tatsächlich zuerste alles auf dem Papier gerechnet, da ich das Ergebnis aber nicht aus dem Online-Rechner kopieren konnte und schreibfaul war, habe ich das kurz in Excel durchgeeselt und da die beiden Überträge falsch von Hand eingetragen.

Ein bisschen Zufall war natürlich bei meiner Lösung drin, mein Konzept bzw. meine Idee besteht darin, die Anzahl Zufälle so klein wie möglich zu halten.

Wenn ich mit 43 anfange, erhalte ich eine etwas kürzere Zahl. Es waren ja nur 100 Stellen gefordert

Mit den 10er-Potenzen habe ich geschludert, aber ich hoffe es wird klar was ich wollte.

[Otmar]

@MadMac, durch die verwendeten Zahlen ist das dein Konzept schnell klar geworden.

Hatte inzwischen etwas Zeit, auch meine erste Lösung aufzuschreiben:

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Ich starte mit dem Quadrat einer Zahl x, die beim üblichen schriftlichen Multiplizieren bei der Addition der Teilprodukte in den Spalten keine Überträge und auch keine Nullen hat. Man sieht schnell, dass die Zahlen beginnend und endend mit 11 und dazwischen 01 geeignete Quadrate in Palindromform liefern, so lange keine Überträge da sind:

x² = 110101011² = 12122232623222121

Eine solche Zahl mit n Nullen hat 2n+3 Stellen und das Quadrat 4n+5 Stellen. Das Quadrat beginnt und endet mit 1 und in der Mitte steht die Quersumme von x also n+3. Das geht für n = 1, 2, ...., 6. Ab n = 7 gibt es Überträge beim Addieren. Nach der ersten 1 ist jede zweite Ziffer eine 2 und die noch verbleibenden Ziffern sind von Rand her 1, 2, 3, ... bis zur Mitte.

Ich starte einer solchen Zahl a mit 5 Nullen (n=5). Dann ist a²=1101010101011²=1212223242528252423222121 eine 25 stellige Zahl. Es geht weiter mit
b=10^25-a. Dann ist:
b²=10^50-2*10^25*a+a²=10^25-2a | a² (Der | bedeutet Ziffenfolgen aneinanderschreiben.)
Ich brauche noch 10^25-2a

10000000000000000000000000
-            2202020202022
 9999999999997797979797978

erhalten damit b²=99999999999977979797979781212223242528252423222121 eine fünfzigstellige Quadratzahl ohne Nullen. Die wird noch mit
(10^25-1)² multipliziert und liefert
c²=(10^25-1)² * b² = 10^50 b² + b² - 2*10^25*b² = b²|b² - 10^25*(b²+b²)

b²+b² ist:

.
 99999999999977979797979781212223242528252423222121
+99999999999977979797979781212223242528252423222121
199999999999955959595959562424446485056504846444242

Man rechnet noch b²|b² - 10^25*(b²+b²) darunter ohne die vorderen 24 Ziffern von b²|b² und ohne die hinteren 25 Ziffern beider Zahlen:

.
 812122232425282524232221219999999999997797979797978
-199999999999955959595959562424446485056504846444242
 612122232425326564636261657575553514941293133353736

Hier gibt es keine Nullen, da die Blöcke mit großen und kleinen Ziffern versetzt sind.
Also ist c²=

9999999999997797979797976 
1212223242531656463626165
7575553514941293133353736 
1212223242528252423222121

und c=(10^25-1) * b = (10^25-1) * (10^25-a) = (10^25-1) * (10^25-1101010101011)

c=
9999999999998898989898988
0000000000001101010101011

[Otmar]

Mir ist beim Wandern gestern noch eine einfache Möglichkeit eingefallen, wie man die kleinste 100-stellige Quadratzahl ohne 0 ganz ohne Zettel und Stift einfach durch Kopfrechnen angeben kann:

Weil ich jetzt doch was aufschreibe, mach ich es für 10 Stellen, ist aber für jede geradzahlige Stellenzahl möglich.

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Ausgehen kann man von der Zahl

a=1/3=0,33333...
a²=1/9=0,11111...

b=100000 * a=33333,33333... = 33333+1/3
b²=100000² * a²=1111111111,11111... = 1111111111+1/9
Offenbar ist 33333² < 1111111111 und nicht die gesuchte Zahl. Die nächste ist
33334²=(b+2/3)²=b²+4/3*b+4/9=b²+4*(b/3)+4/9
=b²+4*(11111+1/9)+4/9
=1111111111+1/9 + (44444+4/9) + 4/9
=1111111111+44444+1/9+4/9+4/9
=1111111111+44444+1
=1111155556
Also die kleinste Quadratzahl ohne Nullen mit 2k Stellen beginnt mit k Einsen gefolgt von k-1 Fünfen und einer Sechs.

Und so gibt es auch die größer 100 stellige Quadratzahl ohne 0

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a = 10^50-33..334=999...999666...666 (24 Dreien, bzw. jeweils 25 Neunen und 25 Sechsen.
a²= 999...999333...332111...111555...556 (25 Neunen, 24 Dreien, eine Zwei, 25 Einsen, 24 Fünfen und eine Sechs)