Zahlenreihe 85

[gp3050]

Dieses mal gibt es sogar 2 Lösungen, eine extrem leichte und eine knackige^^

1->1->2->3->5->8->13->21->???

[Neuling]

Die leichte Lösung weiß ich schon mal:

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1->1->2->3->5->8->13->21->34->55->89

[gp3050]

Da hier echt keine zweite Lösung erscheint, mal ein Hinweis

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Schau dir für die 2te Zahl mal immer 3 Nebeneinander liegende Zahlen an. Hinweis : Binomische Formel

[MatthiasG]

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Das sind die Fibonacci Zahlen

[MadMac]

@gp: Drück Dich bitte klar aus ...

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Schau Dir für die zweite Zahl ....
-> Die zweite Zahl gibt's genau nur einmal
... immer drei nebeneinadner liegende ...
-> immer deutet auf etwas sich wiederholendes hin. Wiederholung zu genau einer Zahl = Widerspruch.

Ich werfe mal den Faktor 4 ins Rennen samt dreifacher Bildungsvorschrift:

Vorschrift 1: a(n) = a(n-3)*4 -/+ 1 (-,+ alternierend, n >= 3, n = 3*m)
Vorschrift 2: a(n) = a(n-3)*4 + 1 (n >= 4, n = 3*m + 1)
Vorschrift 3: a(n) = a(n-3)*4 (n >= 5, n = 3*m+2)

1
1
2
3
5
8
13
21
32
51
85
128
205

Gruß,
MadMac

[Otmar]

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Mir ist der Tipp auch nicht ganz klar, aber man startende Fibonacci Folgen auch anders konstruieren und anders fortsetzen. Ausgehend von einer Diagonale von Einsen:

.
               1
             1
           1
         1
       1
     1
   1

kann man jede begonnene Zeile so fortsetzen, dass jede neue Zahl die Summe aus der Zahl genau darüber und links darüber ist. Dann erhält man:

.
                           1
                        1  1   1
                     1  1  2   2   1
                  1  1  2  3   4   3   1
               1  1  2  3  5   7   7   4   1
            1  1  2  3  5  8  12  14  11   5   1
         1  1  2  3  5  8 13  20  26  25  16   6   1
      1  1  2  3  5  8 13 21  33  46  51  41  22   7   1

In der untersten Zeile hat man dann eine andere Fortsetzung der oben genannten Folge:

1 1 2 3 5 8 13 21 33 46 51 41 22 7 1

[MadMac]

@Otmar:

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Auf die Folge komme ich auch, wenn ich das Pascalsche Dreieck bei der Zeile 1 7 21 ... abbreche und dann die Diagonalensummen (eher Rösselsprungdiagonalen, die die Fibonacci-Zahlen ergeben) bilde.

Eine andere Lösung:

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1 1 2 3 5 8 13 21 21 -41 -320 -1165 -3255 -7786 -16717 ...

Wie das?

a(n) = 1
− 821/210 n
+ 2833/360 n^2
− 4091/720 n^3
+ 301/144 n^4
− 293/720 n^5
+ 29/720 n^6
− 1/630 * n^7

Gruß,
MadMac

[MadMac]

Mit dem ...

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abgebrochenen Pascalschen Dreieck kann man aber auch beliebige andere Folgen generieren ...

1 1 2 3 5 8 13 21 34 54 79 97 92 63 29 8 1 0

[Otmar]

Nachdem jetzt schon ein Polynom herhalten durfte, gibt es noch was:

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z(n) = [p^n] für n = 0, 1, 2, 3,...

wobei [ ] die 1808 von C. F. Gauss eingeführte Gaußklammer bezeichnet, was nichts anderes bedeutet, als auf den Ganzzahlteil der geklammerten Zahl abzurunden. Bei den gegebenen Zahlen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 darf p nicht kleiner als die siebte Wurzel aus 21 sein und muss kleiner sein als die fünfte Wurzel aus 9. Z.B.:

p = 17/11

Ab n=1 kann man mit meinen Taschenrechner das schön testen: 17 / 11 * = = = =..... Dann geht es mit 32, 50, 77, 120 weiter. Darauf kommt man schnell, wenn man weiß, dass der Quotient aufeinanderfolgender Fibonacci Zahlen gegen den Reziprokwert des Goldenen Schnitts konvergiert.

[MadMac]

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